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2018年优课系列高中数学北师大版选修2-2 2.2.2导数的几何意义 课件(共20张)_图文

y ? f (x)
y
Q

Q

T

Q

P

o

x

y ? f (x)
y
相交

oP

x
再来一次

直线PQ的斜率为

kPQ

?

yQ xQ

? yP ? xP

?

( y0 ( x0

? ?y) ? y0 ? ?x) ? x0

?

?y ?x

PQ无限靠近切线PT

?y

kPT

?

lim
?x?0

kPQ

? lim ?x?0 ?x

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是 曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率. 相应的 ,
y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为:
y ? y0 ? f ??x0 ??x ? x0 ?

例1、如图,它表示跳水运动中高度随时 间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象。 根据图象,请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2 附近的变化情况。 h
l0

l1

t

o t4 t3 t0 t1

t2 l2

解:我们用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线, 刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的 变化情况。
(1) 当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行 于x轴. 所以,在t=t0附近曲线比较平坦,
几乎没有下降.

(2) 当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率 h′(t1)<0. 所以,在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减.
(3) 当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率 h′(t2)<0. 所以,在t=t2附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些.

例2、如图,它表示人体血管中药物浓度 c=f(t)(单位:mg/mL)随时间t(单位:min) 变化的函数图象。根据图象,估计t= 0.5,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率 (精确到0.1)

c(mg/mL)

1.1

1.0 0.9 0.8

0.7 0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

t(min)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化

率,就是药物浓度f(t)在此时刻的导数。

作t=0.5处的切线,它的斜率约为0 所以, f ?(0.5) ? 0 作t=0.8处的切线,它的斜率约为-1.5 所以, f ?(0.8) ? ?1.5
因此在t=0.5和0.8处药物浓度的瞬时 变化率分别为0和-1.5.

求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是:

(1)求函数的增量 ?y ? f ?x0 ? ?x? ? f ?x0 ?

(2)求平均变化率

?y ? ?x

f ?x0 ? ?x? ? f ?x0 ?
?x

(3)取极限,得导数

f

??x0

?

?

lim
?x?0

?y ?x

例3、某物体的运动方程为s(t)=5t2 (位移单位:m,时间单位:s) 求它在 t=2s 时的速度.
解: 因为
?s ? 5(2 ? ?t)2 ? 5? 22 ? 20?t ? 5?t2
从而 ?s ? 20 ? 5?t
?t
所以 s?(2) ? lim ?s ? lim (20 ? 5?t) ? 20
?t?0 ?t ?t?0

例4、已知曲线

y

?

1 3

x 3上一点

P?? 2, 8 ?? ? 3?

求:点P处的切线的斜率;

点P处的的切线方程.

解:

点P处的切线的斜率即

y

?

1 3

x3

在x=2处的导数.

因为 ?f ? 1 (2 ? ?x)3 ? 1 ? 23

3

3

? 4?x ? 2?x2 ? 1 ? ?x3 3

从而 ?f ? 4 ? 2?x ? 1 ? ?x2

?x

3

所以 f ?(2) ? lim ?f ? lim (4 ? 2?x ? 1 ? ?x2 ) ? 4

?x?0 ?x ?x?0

3

点P处的切线的斜率是4.

点P处的的切线方程
y ? 8 ? 4? (x ? 2) 3
即直线 y ? 4x ? 16
3

练习1、求曲线 y ? 9 在点M(3,3)处的
x
切线的斜率及倾斜角.
斜率为-1,倾斜角为135°

练习2、判断曲线

y

?

1 2

x 2在(1,-12)处

是否有切线,如果有,

求出切线的方程.

有,切线的方程为

y

?

x

?

1 2

注: 学了导数的运算后,

此类题有更简单的解法.

f ?(x0 )是求函数 y ? f (x)在x ? x0处的导数
如果将x0改为x,则求得的是 y ? f ?(x) y ? f ?(x) 被称为函数y=f(x)的导函数.

如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处 都有导数,此时对于每一个x∈(a,b),都 对应着一个确定的导数 f / (x),从而构成
了一个新的函数 f / (x) 。称这个函数 f / (x)
为函数y=f(x)在开区间内的导函数,简 称导数,也可记作 y /,即
f / (x) = y /

= lim ?y ? lim f (x ? ?x) ? f (x)

?x?0 ?x ?x?0

?x

小 结:
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是 曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率. 相应的 , y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为:
y ? y0 ? f ??x0 ??x ? x0 ?