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河南省洛阳市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题含答案


洛阳市 2012-2013 学年第一学期学期期末考试 高二数学(理)试卷
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.已知集合 A ? x x ? x ? 2 ? 0 , B ? ? x
2

?

?

? 2x ?1 ? ? 0 ? ,则 A ? B 等于 ? 3? x ?

A.

? x ?1 ? x ? 3?
? ? 1 ? ? x ? 2? 2 ?

B.

? x 2 ? x ? 3?
? ? 1? 2?

C. ? x ?

D. ? x ?1 ? x ? ? ?
2 2

2.设 x, y ? R ,则“ x ? 2 且 y ? 2 ”是“ x ? y ? 4 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 3.双曲线 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y 2 则该双曲线的离心率是 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 , a 2 b2
B.

A.

2

7 2
*

C.

5 2

D.

5

4.已知 ? an ? 为等比数列, an ? 0(n ? N ) ,且 a1 , A. 3 ? 2 2 B. 3 ? 2 2

a ? a20 1 = a3 , 2a2 成等差数列,则 19 a17 ? a18 2
D. 1 ? 2

C. 1 ? 2

5.若直线 l 的方向向量为 a ? (1, 0, 2) ,平面 ? 的法向量为 u ? (?2, 0, 4) ,则 A. l ∥ ? B. l ? ? C. l 与 ? 斜交 D. l ? ?

?

?

6.设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?11, a4 ? a6 ? ?6 ,则 S n 的最小值是 A.-6 B.6 C.-36 D.36

7.下列命题正确的是 ①“|x-2|≤3”是“0≤x≤5”的必要条件; ②命题“若 m>0,则关于 x 的方程 x +x-m=0 有实根”的否命题是真命题; ③若 p:有的三角形是等边三角形,则?p:所有的三角形都不是等边三角形;
2

④若 p:函数 f(x)=2 -2 是 R 上的增函数,q:函数 g(x)= sin ? x 的一个对称中心是
x
-x

1 ( , 0),则 p∧q 是真命题。 2 A.①② B.①③
2

C.②③

D.②④

8.直线 y ? kx ? 2 与抛物线 y ? 8 x 交于 A,B 两点,若线段 AB 的中点横坐标为 2,则 k 的 值是 A.2 B.-1 C.2 或-1 D.4

9.在△ABC 中,B=60°, a ? 1,S? ABC ? A.1 B. C.

3 c ,则 = 2 sin C
D.2

2

3

10.已知 F (?3,0), F2 (3,0) 是椭圆 1 当? ? A.1

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上, ?F1PF2 ? ? , m n

2? 时, ?F1 PF2 面积最大,则 m ? n 的值是 3
B.9
2

C.15

D.41

11.在△ABC 中,若 cos A.直角三角形 C.等边三角形

A b?c ,则△ABC 是 ? 2 2c
B.等腰三角形或直角三角形 D.等腰三角形

? y ? ? nx ? 4n, ? * x ? 0, 12. 记不等式组 ? 所表示的平面区域为 ? n (n ? N ) , ? n 内的整数点(指横、 ? y ? 0. ?
纵坐标都是整数的点)的个数构成数列 ?a n ? ,则 A.4021 B.3021

1 (a 2 ? a 4 ? a 6 ? ? ? a 2012 ) = 2012
D.1021

C.2021

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:共 4 小题,每题 5 分,共 20 分。 13.若点 A(a,1) 和原点在直线 x ? y? 2a ? 0 的同一侧,则实数 a 的取值范围是 。

14.双曲线

y 2 x2 ? ? 1 上一点 P 到它的一个焦点 F 的距离为 2,M 为 FP 的中点,O 为坐标原 64 16


点,则 OM ?

15.过原点的直线与圆 x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程
2 2





16. 已知函数 f (x) ? m(x ? 2m)(x ? m? 3),g(x) ? x ? 1,若实数 m 同时满足下列条件: ①对 ?x ? R ,都有 f (x) ? 0 或 g(x) ? 0 0;②? x ∈(-∞,-1),使得 f (x) g(x) ? 0 . 则实数 m 的取值范围是 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。 17.(本小题满分 10 分) 已知 p:方程

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆,q:满足不等式 3 ? t t ?1

t 2 ? (a ? 1) t ? a ? 0(a ? R) 。
(1)若 p 为真,求实数 t 的取值集合; (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围。

18.(本小题满分 12 分) 已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 acos C ? 3 a sin C ? b ? c ? 0 。 (1)求角 A; (2)若 a=2,求 b+c 的最大值。

19.(本小题满分 12 分) 已知公差不为 0 的等差数列 ? an ? 满足 a3 ? 9, a1 , a7 的等比中项是 a2 , an ? 的前 n 项和为 S n 。 ? (1)求 an 及 S n ; (2)令 bn ?

1 1 , ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ? 。 a ?4 12
2 n ?1

20. (本小题满分 12 分) 如图, 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 底面边长为 2, 侧棱长为 2 , 经过 AB1 的平面交棱 A1C1 于点 D。

(1)试确定 D 点的位置,使 BC1 / / 平面AB1 D ,并证明你的结论; (2)在(1)的条件下,求二面角 A1 ? AB1 ? D 的大小。

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 2 x2 y 2 椭圆上任意一点到右焦点 F 的距离最大值 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 2 a b

为 2 ?1。 (1)求椭圆方程; (2)过右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,若△ABC 的面积是

2 ,求直线 l 的方程。 3

22. (本小题满分 12 分) 如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AB+AD=4,CD= 2 ,∠CDA=45°。

(1)求证:平面 PBA⊥平面 PAD; (2)设 AB=AP,若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30°,求 AB 的长。


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