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平面向量练习题(一) 菁优网


平面向量练习题(一)
一.选择题(共 30 小题) 1. (2015?河南二模)若平面向量 , 满足|3 ﹣ |≤1,则 ? 的最小值是( A . ﹣ B ﹣ . C ﹣ . ) D . ﹣

2. (2015?重庆一模)在边长为 2 的正△ ABC 中,P 是 BC 边上的动点,则 A 有最大值 8 . B 有最小值 2 . C 是定值 6 . D 与 P 的位置有 . 关





3.(2015?泸州模拟)已知 D 为△ ABC 的边 BC 的中点,△ ABC 所在平面内有一个点 P,满足 则 A 1 . 的值为( ) B . C . D 2 . ) ,C(3,0) ,动点 D 满足|



4. (2014?湖南)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(﹣1,0) ,B(0, | + A . + |的取值范围是( [4,6] ) B. [ ﹣1, +1] C. [2 ,2

|=1,则

]

D .

[

﹣1,

+1]

5. (2014?福建)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点,则 等于( A . B 2 . ) C 3 . D 4 .

6. (2014?陕西模拟)已知平面上不共线的四点 O、A、B、C,若 A . B . C 3 . D 2 .

,则

=(



7. (2014?抚顺一模)在△ ABC 中,如果| A ∠ A<90° . B ∠ A>90° .

|=5 且| A=90° C ∠ .

|=4,则下列结论一定正确的是( A=60° D ∠ .



8. (2014?郑州一模)已知 , 是两个互相垂直的单位向量,且 ? = ? =1,则对任意的正实数 t,| +t + 最小值是( )
1

|的

A 2 .

B 2 .

C 4 .

D 4 .

9. (2014?淮南二模)如图,四边形 OABC 是边长为 1 的正方形,OD=3,点 P 为△ BCD 内(含边界)的动点,设 =α +β (α,β∈R) ,则 α+β 的最大值等于 ( )

A .

B .

C .

D 1 . 的取值

10. (2014?市中区二模)已知点 G 是△ ABC 的重心,点 P 是△ GBC 内一点,若

范围是( ) A B C D (1,2) . . . . 11. (2014?东莞二模)如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三个点,CO 的延长线与线段 AB 交于圆内一点 D,若 ,则( )

A 0<x+y<1 .

B x+y>1 .

C x+y<﹣1 .

D ﹣1<x+y<0 .

12. (2014?河南二模) 如图, △ ABC 中, ∠ A=60°, ∠ A 的平分线交 BC 于 D, 若 AB=4, 且 则 AD 的长为( )



A .

B .

C .

D .

13. (2014?湖北模拟)给出下列命题中 ① 向量 , 满足| |=| |=| ﹣ |,则 与 + 的夹角为 30°; ② ? >0,是 , 的夹角为锐角的充要条件; ③ 将函数 y=|x﹣1|的图象按向量 =(﹣1,0)平移,得到的图象对应的函数表达式为 y=|x|;

2

④ 若 以上命题正确的个数是( ) A 4个 B 1个 . .

,则△ ABC 为等腰三角形;

C 3个 .

D 2个 . )

14. (2014?成都三模)在平面直角坐标中,△ ABC 的三个顶点 A、B、C,下列结论正确的个数是( (1)平面内点 G 满足 (2)平面内点 M 满足| (3)平面内点 P 满足 A 0 . B 1 . + =| = + |=| = ,则 G 是△ ABC 的重心; |,点 M 是△ ABC 的内心; ,则点 P 在边 BC 的垂线上. C 2 . D 3 .

15. (2014?大港区二模)如图,在△ ABC 中, ( )

,P 是 BN 上的一点,若

,则实数 m 的值为

A .

B .

C 1 .

D 3 .

16. (2014?达州二模)在△ ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且 合)若 A (0,1) . B . ,则 λ 的取值范围( C (﹣1,0) .
2 2

,点 O 在线段 CD 上(与点 C,D 不重

) D .

17. (2014?合肥一模)过坐标原点 O 作单位圆 x +y =1 的两条互相垂直的半径 OA、OB,若在该圆上存在一点 C, 使得 =a +b A. B. C. D. (a、b∈R) ,则以下说法正确的是( 点 P(a,b)一定在单位圆内 点 P(a,b)一定在单位圆上 点 P(a,b)一定在单位圆外 当且仅当 ab=0 时,点 P(a,b)在单位圆上 )

18. (2014?重庆三模)如图所示,在△ ABC 中,AD=DB,F 在线段 CD 上,设 的最小值为( )

= ,

= ,

=x +y ,则 +

3

A 6+2 .

B 9 .

C 9 .

D 6+4 .

19. (2014?泰安二模)设



是平面内两个不共线的向量, )

=(a﹣1)

+



=b

﹣2

(a>0,b>0) ,

若 A,B,C 三点共线,则 + 的最小值是( A 2 . B 4 . C 6 .

D 8 .

20. (2014?东昌区二模)如图,在△ ABC 的边 AB、AC 上分别取点 M、N,使 于点 P,若 , ,则 的值为( )

,BN 与 CM 交

A .

B .

C .

D 12 .

21. (2014?南开区二模)如图,在△ ABC 中, =m , =n ,则 m+n 的最小值为(

=2 )

,过点 M 的直线分别交射线 AB、AC 于不同的两点 P、Q.若

A 1+ .

B 2 .

C 3 .

D .

22. (2014?郴州三模) 已知在△ ABC 中, AB=BC=3, AC=4, 设 O 是△ ABC 的内心, 若 A 5:3 . B 4:3 . C 2:3 . D 3:4 .

=m

+n

, 则 m: n= (



23. (2014?海南模拟)△ ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 2, 向上的投影为( )
4



,则向量





A .

B 3 .

C .

D ﹣3 .

24. (2014?江西二模)若 , , 均为单位向量,且 A . B 1 . C . +1

=0,则| + ﹣ |的最小值为( D .



25. (2014?岳阳二模)边长为 1 的等边三角形 ABC 中,设 A . B . C . D .





,则

=(



26. (2014?银川模拟)若向量 、 、 两两所成的角相等,且| |=1,| |=1,| |=3,则| + + |等于( A 2 . B 5 . C 2或5 . D . 或



27. (2014?宁波模拟)已知 、 、 均为单位向量,且满足 ? =0,则( + + )?( + )的最大值是( A 1+2 . B 3+ . C 2+ . D 2+2 .



28. (2014?湖北模拟)已知点 M 是△ ABC 的重心,若 A=60°, A . B . C .

?

=3,则|

|的最小值为(



D 2 .

29. (2014?南平模拟)若 P 是锐角△ AOB 所在的平面内的动点,且 ① | |=| |恒成立 |

?

=

?

.给出下列命题:

② | |的最小值为|

③ 点 P 的轨迹是一条直线 ④ 存在 P 使| + |=| |

其中正确的命题个数是( ) A 1 B 2 . .

C 3 .

D 4 .

30. (2014?舟山三模)已知 , 是空间中两个相互垂直的单位向量,且| |=3, ? =1, ? =2,则对于任意实数 t1,t2,| ﹣t1 ﹣t2 |的最小值是( A . B . ) C 2 . D 4 .

5

平面向量练习题(一)
参考答案与试题解析
一.选择题(共 30 小题) 1. (2015?河南二模)若平面向量 , 满足|3 ﹣ |≤1,则 ? 的最小值是( A ﹣ . 考点: 专题: 分析: B ﹣ . C ﹣ . D ﹣ . 平面向量数量积的运算. 平面向量及应用. 由平面向量 , 满足|3 ﹣ |≤1, 知9 故9 求出 + ≥2 的最小值. =6 + ≥﹣6 ≤1+6 , )

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, 由此能

解答:

解:∵ 平面向量 , 满足|3 ﹣ |≤1, ∴ 9 ∵ 9 ∴ 1+6 ∴ 6 ≥ + + ≤1+6 ≥2 ≥﹣6 . , , =6 ≥﹣6 ,

点评:

故选 B. 本题考查平面向量数量积的求法,是基础题.解题时要 认真审题,仔细解答.

6

2. (2015?重庆一模)在边长为 2 的正△ ABC 中,P 是 BC 边上的动点,则 A 有最大值 8 . 考点: 专题: 分析: B 有最小值 2 . C 是定值 6 . D 与 P 的位置有 . 关 平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.





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先设

= , =

= , +

=t ,将

,然后用 = , =t



表示出 ,代入可

,再由 用 和

表示出

, 最后根据向量的线性运算和数量 的值,从而可得到答案.

积运算可求得

解答:

解:设 ﹣ , = + = ∴ t)

= , ?

= ,

=t

,则

=



=

=2×2×cos60°=2, ,

= +t﹙ ﹣ ﹚=﹙1﹣t﹚ +t ,

=( (1﹣t) +t )?( + )=(1﹣ +[(1﹣t)+t] +t =(1﹣t)×4+2+t×4=6.

故选 C.

7

点评:

本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算. 高 考对向量的考查一般不会太难,以基础题为主,而且经 常和三角函数练习起来考查综合题, 平时要多注意这方 面的练习.

3. (2015?泸州模拟)已知 D 为△ ABC 的边 BC 的中点,△ ABC 所在平面内有一个点 P,满足 的值为( A 1 . 考点: 专题: 分析: ) B . C . D 2 . 向量在几何中的应用. 平面向量及应用. 由

,则

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, 由向量加法的平行四边形法则知, PA

必为以 PB,PC 为邻边的平行四边形的对角线,故有 P, D, A 三点共线, 由平行四边形对角线的性质易得.

解答:

解:因为



所以 PA 必为以 PB,PC 为邻边的平行四边形的对角 线, 因为 D 为边 BC 的中点, 所以 D 为边 PA 的中点, 的值为 1. 故选 A. 点评: 本题考查向量加法的几何意义, 由向量的关系得到几 何图形中的位置关系, 向量关系表示几何关系是向量 的重要应用.

8

4. (2014?湖南)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(﹣1,0) ,B(0, | + + |的取值范围是( B [ . ) ﹣1, +1] C [2 . ,2 ] D [ . ﹣1, +1]

) ,C(3,0) ,动点 D 满足|

|=1,则

A [4,6] . 考点: 专题: 分析:

向量的加法及其几何意义. 平面向量及应用.

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由于动点 D 满足|

|=1,C(3,0) ,可设 D(3+cosθ,

sinθ) (θ∈[0,2π) ) .再利用向量的坐标运算、数量积 性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出.

解答:

解:∵ 动点 D 满足|

|=1,C(3,0) ,

∴ 可设 D(3+cosθ,sinθ) (θ∈[0,2π) ) . 又 A(﹣1,0) ,B(0, ) , ∴ + ∴ | + + + = |= = = , (其中 sinφ= ,cosφ= ) .

∵ ﹣1≤sin(θ+φ)≤1, ∴ ≤ ∴ | + = + = , |的取值范围是 . sin(θ+φ)

故选:D.

9

点评:

本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算 公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方 法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.

5. (2014?福建)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点,则 等于( A . 考点: 专题: 分析: B 2 . ) C 3 . D 4 . 向量在几何中的应用.

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计算题;平面向量及应用. 虑用特殊值法去做,因为 O 为任意一点,不妨把 O 看成是特殊点,再代入 满足哪一个选项,就选哪一个. 计算,结果

解答:

解:∵ O 为任意一点,不妨把 A 点看成 O 点,则 = ,

∵ M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点, ∴ 故选:D. =2 =4

点评:

本题考查了平面向量的加法,做题时应掌握规律, 认真解答.

10

6. (2014?陕西模拟)已知平面上不共线的四点 O、A、B、C,若 A . 考点: B . C 3 . D 2 .

,则

=(



向量的模;向量加减混合运算及其几何意义.

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专题: 分析:

计算题;平面向量及应用. 因为要求的结论中不涉及点 O,所以运用向量的减 法运算,把已知等式中的向量 和 ,整理后可求结果 , , 换为

解答:

解:由若

,得:

所以

,所以

,即

. 故选 C. 本题考查了向量的模,向量加减运算的几何意义, 考查计算能力, 解答此题的有效途径是把 O 点替换 掉.

点评:

7. (2014?抚顺一模)在△ ABC 中,如果| A ∠ A<90° . 考点: B ∠ A>90° .

|=5 且| A=90° C ∠ .

|=4,则下列结论一定正确的是( A=60° D ∠ .



向量的模;向量的加法及其几何意义;向量的减法 及其几何意义.
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专题: 分析:

平面向量及应用. 由| 得 |=5 且| |=4,利用数量积的性质可 , ,可得 判断出∠ A 的大小. ,即可

解答:

解:∵ | ∴

|=5 且| , ,

|=4,

可得 ∴ ∴ ∠ A<90°. 故选:A. 点评:

, ,

本题考查了数量积的性质及其运算法则,属于基础 题.

8. (2014?郑州一模)已知 , 是两个互相垂直的单位向量,且 ? = ? =1,则对任意的正实数 t,| +t + 最小值是( A 2 . 考点: 专题: ) B 2 . C 4 . D 4 . 向量的模. 平面向量及应用.
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|的

12

分析:

利用

=0,

, ,

.建立

如图所示的直角坐标系,取 . 设

,可得(x,y)?(1,0)=(x,y) .再利用数量

?(0,1)=1.即可得到 积的性质、基本不等式即可得出.

解答:

解:∵

=0,



. ,

建立如图所示的直角坐标系,取 . 设 ,

∴ (x,y)?(1,0)=(x,y)?(0,1)=1. ∴ x=y=1.∴ ∴ ∵ t>0. ∴ = . .

= 仅当 t=1 时取等号. 故选:B.
13

=

,当且

点评:

本题考查了向量的运算法则和数量积的性质、基本 不等式,属于中档题.

9. (2014?淮南二模)如图,四边形 OABC 是边长为 1 的正方形,OD=3,点 P 为△ BCD 内(含边界)的动点,设 =α +β (α,β∈R) ,则 α+β 的最大值等于 ( )

A . 考点: 专题: 分析:

B .

C .

D 1 . 相等向量与相反向量. 计算题;压轴题. 先建立以 O 为原点,以 OD 所在直线为 x 轴的直 角坐标系,根据条件求出点 P 的坐标与 α,β 之间 的关系;再根据点 P 的位置,借助于可行域即可 求解.

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14

解答:

解:以 O 为原点,以 OD 所在直线为 x 轴建立直 角坐标系, 点 P(x,y) ,则(x,y)=α(0,1)+β(3,0) =(3β,α) , 所以 因为:0≤x=3β≤3,0≤y=α≤1? 设 z=α+β,根据可行域知, 当点 P 为点 E(1,1)时,α+β=z 最大,其最大值 为 , 故选 B. .

点评:

本题主要考查相等向量以及线性规划的简单应 用,是对知识点的综合考查,考查计算能力.

10. (2014?市中区二模)已知点 G 是△ ABC 的重心,点 P 是△ GBC 内一点,若 范围是( )
15

的取值

A . 考点:

B .

C .

D (1,2) . 相等向量与相反向量;三角形五心.

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专题:

平面向量及应用.

分析:

由点 P 是△ GBC 内一点,则 λ+μ≤1,当且仅当点 P 在线 段 BC 上时,λ+μ 最大等于 1;当 P 和 G 重合时,λ+μ 最小, 此时, = , λ=μ= , λ+μ= .

16

解答:

解:∵ 点 P 是△ GBC 内一点,则 λ+μ<1,当且仅当点 P 在线段 BC 上时,λ+μ 最大等于 1, 当 P 和 G 重合时,λ+μ 最小, 此时, ∴ λ=μ= ,λ+μ= . 故 <λ+μ<1, 故选 B. = = × ( ) = ,

点评:

本题考查三角形的重心的性质,两个向量的加减法的法 则,以及其几何意义,属于基础题.

11. (2014?东莞二模)如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三个点,CO 的延长线与线段 AB 交于圆内一点 D,若 ,则( )

A 0<x+y<1 .

B x+y>1 .

C x+y<﹣1 .

D ﹣1<x+y<0 .

17

考点: 专题: 分析:

向量的加法及其几何意义. 平面向量及应用.

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如图所示由

=

,可得 x<0 y =

<0,故 x+y<0,故排除 A、B.再由 x
2 2

+y
2

2

+2xy?

,得

1=x +y +2xy?cos∠ AOB. 当∠ AOB=120°时, 由 (x+y) 2 =1+3xy>1, 可得 x+y<﹣1,从而得出结论.

解答:

解:如图所示:∵ y<0, 故 x+y<0,故排除 A、B. ∵ |OC|=|OB|=|OA|, ∴ =x
2 2 2

=

,∴ x<0,

+y

2

+2xy?



∴ 1=x +y +2xy?cos∠ AOB. 2 2 2 当∠ AOB=120°时, x +y ﹣xy=1, 即 (x+y) ﹣3xy=1, 2 即(x+y) =1+3xy>1, 故 x+y<﹣1, 故选 C.

18

点评:

本题主要考查了平面向量的几何意义,平面向量加 法的平行四边形法则,平面向量基本定理,平面向 量 数量积运算的综合运用,排除法解选择题,属于中 档题.

12. (2014?河南二模) 如图, △ ABC 中, ∠ A=60°, ∠ A 的平分线交 BC 于 D, 若 AB=4, 且 则 AD 的长为( )



A . 考点:

B .

C .

D . 向量加减混合运算及其几何意义.

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专题: 分析:

平面向量及应用. 利用已知和向量的平行四边形法则可得四边形 AEDF 是菱形,再利用平行线分线段成比例定理可得 ED,再利用向量的三角形法则可得 用数量积的性质即可得出. ,利

19

解答:

解:如图所示. ∵ ∠ A 的平分线交 BC 于 D,且 , ∴ 四边形 AEDF 是菱形. ∵ ,∴ . ,

∵ DE∥ AB,∴ ∵ AB=4,∴ ED=3. 又∠ FAE=60°, ∴ 7. ∴ 故选:B. .

, =3 +3 +2×3×3×cos60°=2
2 2

点评:

本题考查了向量的平行四边形法则、菱形的性质、角 平分线的性质、平行线分线段成比例定理、向量的三 角形法则、数量积的性质,属于中档题.

13. (2014?湖北模拟)给出下列命题中 ① 向量 , 满足| |=| |=| ﹣ |,则 与 + 的夹角为 30°; ② ? >0,是 , 的夹角为锐角的充要条件; ③ 将函数 y=|x﹣1|的图象按向量 =(﹣1,0)平移,得到的图象对应的函数表达式为 y=|x|; ④ 若 以上命题正确的个数是( ) A 4个 B 1个 . . ,则△ ABC 为等腰三角形;

C 3个 .

D 2个 .

20

考点:

向量加减混合运算及其几何意义;必要条件、充分 条件与充要条件的判断.
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专题: 分析:

证明题;平面向量及应用.

对于① ,当 , 中有一个为 0 时,结论不成立.对 ② ? >0 时, , 的夹角为锐角或零角. 按向量平移的意义③ 正确.由向量的数量积满足分 配律运算,以及 =|AB| ,故④ 正确.
2

解答:

解:对于① ,取特值零向量时,命题错误,若前提 为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与夹 角的概念正确. 对② ? >0 时, , 的夹角为锐角或零角,不一 定是锐角,故充分性不成立. 对于③ ,注意按向量平移的意义, 就是图象向左移 1 个单位,故结论正确. 对于④ ;由于向量的数量积满足分配律运算,故结 论正确, 故选 D.

21

点评:

本题考查两个向量的加减混合运算及其几何意义, 用两个向量的数量积表示两个向量的夹角.

14. (2014?成都三模)在平面直角坐标中,△ ABC 的三个顶点 A、B、C,下列结论正确的个数是( (1)平面内点 G 满足 (2)平面内点 M 满足| (3)平面内点 P 满足 A 0 . 考点: B 1 . + =| = + |=| = ,则 G 是△ ABC 的重心; |,点 M 是△ ABC 的内心; ,则点 P 在边 BC 的垂线上. C 2 . D 3 . 向量加减混合运算及其几何意义.



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专题:

平面向量及应用.

分析:

结合向量的运算法则和几何意义, 推出

= ﹣2



得 G 为△ ABC 的重心说明(1)的正误; 通过距离直接判断(2)正误即可; 通过向量的数量积判断 P 所在的直线,判断(3)的 正误即可.

22

解答:

解:对于(1) ,取 BC 的中点 D,连接 GD,并延长 至 E,使|DE|=|GD|,则四边形 BECG 为平行四边形, ∴ + ∴ + = + =2 .又 + + =0,

= ,即 G、A、D 三点共线,且 G 为三

等分点,故 G 为△ ABC 的重心; (1)正确. 对于(2) ,平面内点 M 满足| △ ABC 的外心;∴ (2)不正确; 对于(3) ,平面内点 P 满足 = , =| |=| |,点 M 是

∴ 与



方向上的单位向量数量积相等,P 在

∠ APC 的平分线上,不一定与 BC 垂直,∴ (3)不正 确. 故选:B.

点评:

本题考查向量在几何中的应用,三角形的五心的判 断,考查理解判断分析能力.

15. (2014?大港区二模)如图,在△ ABC 中, ( )

,P 是 BN 上的一点,若

,则实数 m 的值为

A . 考点:

B .

C 1 .

D 3 . 平面向量的基本定理及其意义.

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专题:

计算题;证明题;平面向量及应用.

23

分析:

根据题意, 设



, 将向量

表示成向量



的一个线性组合,再结合题中向量的等式,建立关 于 m、λ 的方程组,解之即可得到实数 m 的值. 解答: 解:∵ ∴ 设 ∴ m= 故选:A =λ , (λ>0)得 且 = = + ,

,解之得 λ=8,m=

点评:

本题给出三角形的一边的三等分点,求某向量关于 已知向量的线性关系式,着重考查了向量的线性运 算、平面向量的基本定理及其意义等知识,属于中 档题.

16. (2014?达州二模)在△ ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且 合)若 A (0,1) . 考点: B . ,则 λ 的取值范围( C (﹣1,0) . ) D .

,点 O 在线段 CD 上(与点 C,D 不重

平面向量的基本定理及其意义.

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专题: 分析:

函数的性质及应用. 根据所给的数量关系,写出要求向量的表示式,注意 共线的向量之间的相等关系,根据表示的关系式和所 给的关系式进行比较,得到结果.

解答:

解:

=

+ , =

=

+y

=

+y(



)=﹣y

+

(1+y) 再根据

,可得 y∈(0,1) ,∴ λ∈(﹣1,0) ,

故选:C.

25

点评:

本题考查向量的基本定理,是一个基础题,这种题目 可以出现在解答题目中,也可以单独出现,注意表示 向量时,一般从向量的起点出发,绕着图形的边到终 点,属于中档题.

17. (2014?合肥一模)过坐标原点 O 作单位圆 x +y =1 的两条互相垂直的半径 OA、OB,若在该圆上存在一点 C, 使得 =a +b A. B. C. D. (a、b∈R) ,则以下说法正确的是( 点 P(a,b)一定在单位圆内 点 P(a,b)一定在单位圆上 点 P(a,b)一定在单位圆外 当且仅当 ab=0 时,点 P(a,b)在单位圆上 )

2

2

考点:

平面向量的基本定理及其意义.

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专题: 分析:

平面向量及应用. 根据点 P 到圆心 O 的距离判断点 P 与圆的位置关系.

解答:

解:易知| ∵ ∴ | |= ∴ OP=

|= ,| |= =1

=1

又圆的半为 1 ∴ 点 P 一定在单位圆上 故选:B

26

点评:

本题主要考察了向量的求模运算,以及点与圆的位置关 系的判断,属于中档题.

18. (2014?重庆三模)如图所示,在△ ABC 中,AD=DB,F 在线段 CD 上,设 的最小值为( )

= ,

= ,

=x +y ,则 +

A 6+2 . 考点:

B 9 .

C 9 .

D 6+4 . 平面向量的基本定理及其意义.

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专题: 分析:

平面向量及应用.

F 在线段 CD 上,

=x +y =

+y ,利用向量共线

定理可得:2x+y=1.再利用“乘 1 法”和基本不等式的性 质即可得出.

27

解答:

解:∵ F 在线段 CD 上, ∴ 2x+y=1.x,y>0. ∴ + =(2x+y) =6+ y=2 x=2﹣ 故选:D.

=x +y =

+y ,

=6+4 时取等号.

,当且仅当

点评:

本题考查了向量共线定理、“乘 1 法”和基本不等式的性 质,属于基础题.

19. (2014?泰安二模)设



是平面内两个不共线的向量, )

=(a﹣1)

+



=b

﹣2

(a>0,b>0) ,

若 A,B,C 三点共线,则 + 的最小值是( A 2 . 考点: B 4 . C 6 .

D 8 . 平面向量的基本定理及其意义.

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专题: 分析:

平面向量及应用.

利用向量共线定理推出 a,b 的关系,进而解出 的最小值

28

解答:

解:∵ A,B,C 三点共线, ∴ , 共线,

∴ 存在实数 λ,使得 可解得 ,b=2﹣2a

∵ a>0,b>0∴ 0<a<1 ∴ = =

当 a= 时,取最小值为 4 故选:B. 本题主要考察了向量的共线定理,属于中等题.

点评:

20. (2014?东昌区二模)如图,在△ ABC 的边 AB、AC 上分别取点 M、N,使 于点 P,若 , ,则 的值为( )

,BN 与 CM 交

A . 考点:

B .

C .

D 12 . 平面向量的基本定理及其意义.

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专题: 分析:

平面向量及应用. 为基向量,分别在△ ANP、△ AMP 中利 ,根据平面向量基本定理可

选取

用三角形法则表示出

知表示唯一,从而得到方程组,解出 μ、λ,进而得 到答案.

29

解答:

解: = = = , +

= = = ,

所以

,解得



所以



点评:

故选 D. 本题考查平面向量基本定理及其意义, 考查向量的线 性运算,属中档题.

21. (2014?南开区二模)如图,在△ ABC 中, =m , =n ,则 m+n 的最小值为(

=2 )

,过点 M 的直线分别交射线 AB、AC 于不同的两点 P、Q.若

A 1+ . 考点:

B 2 .

C 3 .

D . 平面向量的基本定理及其意义.

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专题:

平面向量及应用.

30

分析:

首先根据的向量的几何意义,利用 P,M,Q 三点 共线,得出 m,n 的关系,分别令 ,f

(x)=m+n,得到关于 x 的函数关系式,在求导, 根据导数求最小值. 解答: 解:如图:

∵ ∴ ∴ ∵ =m ∴ , = =



=2



=n



∵ P,M,Q 三点共线, ∴ 令 ∴ ∴ y=3﹣2x, ∵ x>0,y>0 ∴ , = , , ,

令 f(x)=m+n=

∴ f′ (x)= 令 f′ (x)=0, ∴

解得, 当 x=

,或 时,f(x)有最小值,

(舍去)

31

∴ f(x)min=1+ 故选:A.



32

点评:

本题考查了向量的几何意义以及三点共线定理以及 利用到导数来求函数的最小值问题,是一道综合题 目,涉及知识点比较多,考查了化归思想,方程的 思想.属于难题.

22. (2014?郴州三模) 已知在△ ABC 中, AB=BC=3, AC=4, 设 O 是△ ABC 的内心, 若 A 5:3 . 考点: B 4:3 . C 2:3 . D 3:4 .

=m

+n

, 则 m: n= (



平面向量的基本定理及其意义.

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专题: 分析:

平面向量及应用. 利用三点共线定理、共面向量基本定理、三角形内角 平分线的性质即可得出.

解答:

解:如图所示, 设三角形的三条内角平分线 BD、 AE、 CF 相交于点 O. ∵ B,O,D 三点共线, ∴ 存在实数 λ 使得 ∵ AB=BC=3,O 是△ ABC 的内心, ∴ BD 平分 AC, ∴ ∴ . , ,

同理由 C,O,F 三点共线和角平分线的性质可得 = ,



,解得



33



=m

+n

比较可得:m= ,



则 m:n=4:3. 故选:B.

点评:

本题考查了三点共线定理、共面向量基本定理、三角 形内角平分线的性质,考查了推理能力和计算能力, 属于难题.

23. (2014?海南模拟)△ ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 2, 向上的投影为( A . 考点: ) B 3 . C . D ﹣3 .



,则向量





平面向量数量积的含义与物理意义.

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专题: 分析:

计算题. 由题意画出图形,借助与图形利用向量 上的投影的定义即可求解. 在 方向

34

解答:

解: 由题意因为△ ABC 的外接圆的圆心为 O, 半径为 2, 且 对于 ? , , ,所以四边形 ,所以三

所以可以得到图形为:因为 ABOC 为平行四边形,又由于

角形 OAB 为正三角形且边长为 2, 所以四边形 ABOC 为边长为 2 且角 ABO 为 60°的菱形, 所以向量 方向上的投影为: = 故选:A 在

点评:

此题考查了两个向量的夹角定义,还考查向量在另外 一个向量上的投影的定义及学生的分析问题的数形结 合的能力.

24. (2014?江西二模)若 , , 均为单位向量,且 A . 考点: B 1 . C . +1

=0,则| + ﹣ |的最小值为( D .



平面向量数量积的性质及其运算律.

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专题: 分析:

计算题;平面向量及应用.

易求 断 与

,表示出
2

,由表达式可判

同向时| + ﹣ | 最小, 最小值可求, 再开

方可得答案.

35

解答:

解:因为 所以 所以

=0, = = +2 =2,则 +2 ﹣ 2( = , )

=3﹣2( 则当 与



, ) = , ,故| + ﹣ |≥ ﹣1, ﹣1, 最大,| + ﹣ |
2

同向时, ( ) ≥3﹣2

最小,此时, ( 所以

即| + ﹣ |的最小值为 故选 A.

36

点评:

本题考查平面向量数量积的性质及其运算律,考查向 量模的求解,考查学生分析问题解决问题的能力.

25. (2014?岳阳二模)边长为 1 的等边三角形 ABC 中,设 A . 考点: B . C . D .





,则

=(



平面向量数量积的性质及其运算律.

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专题: 分析:

计算题. 由题设知 和 , 和 , 和 的夹角都是 120°, ,由向量的数量积公式能够求解 .

解答:

解:∵ 边长为 1 的等边三角形 ABC 中, , ∴ =1×1×cos120°+1×1×cos120°+1×1×cos120° =﹣ . 故选 D.





37

点评:

本题考查向量的数量积公式的运用,解题时要注意 和 , 和 , 和 的夹角都是 120°, .

26. (2014?银川模拟)若向量 、 、 两两所成的角相等,且| |=1,| |=1,| |=3,则| + + |等于( A 2 . 考点: 专题: 分析: B 5 . C 2或5 . D . 或



平面向量数量积的运算. 计算题.

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设向量所成的角为 α, 则先求出 的值即可求出,

解答:

解:由向量 、 、 两两所成的角相等,设向量所成 的角为 α,由题意可知 α=0°或 α=120° 则 ( + + = )=11+2 + + +2

(| |?| |cosα+| |?| |cosα+| |?| |cosα)=11+14cosα 所以当 α=0°时,原式=5; 当 α=120°时,原式=2. 故选 C

38

点评:

考查学生会计算平面向量的数量积,灵活运用 =| |?| |cosα 的公式.

27. (2014?宁波模拟)已知 、 、 均为单位向量,且满足 ? =0,则( + + )?( + )的最大值是( A 1+2 . 考点: 专题: 分析: B 3+ . C 2+ . D 2+2 . 平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.



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先求得( + + )?( + )=2+ ?(2 + ) ,再 根据|2 + |= ,| |=1,利用两个向量的数量积的

定义求得( + + )?( + )的最大值.

解答:

解:∵ 、 、 均为单位向量,且满足 ? =0, 则( + + )?( + ) = + +1 =2+2 + , ×cos< ,2 + >, =2+ ?(2 + ) , + + + + =1+0+2 +

又|2 + |=

∴ 2+ ?(2 + )=2+1×

故当< ,2 + >=0 时, ( + + )?( + )取

39

得最大值为 2+ 故选:C.



点评:

本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几 何意义,两个向量数量积的定义,属于中档题.

28. (2014?湖北模拟)已知点 M 是△ ABC 的重心,若 A=60°, A . 考点: 专题: 分析: B . C .

?

=3,则|

|的最小值为(



D 2 . 平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.

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根据已知及向量夹角的定义可得∴ 因为点 M 是△ ABC 的重心,所有有

=6.又

,结合基本不等式即可求出| 的最小值.

|

解答:

解:∵ A=60°,

?

=3,

40

cosA=





=6.

又∵ 点 M 是△ ABC 的重心, ∴ ∴ | |= | = = ≥ = = . . | .

∴ | |的最小值为

点评:

故选:B. 本题考查向量的模,三角形的重心,基本不等式等知 识的综合应用,属于中档题.

29. (2014?南平模拟)若 P 是锐角△ AOB 所在的平面内的动点,且 ① | |=| |恒成立 |

?

=

?

.给出下列命题:

② | |的最小值为|

③ 点 P 的轨迹是一条直线 ④ 存在 P 使| + |=| |

其中正确的命题个数是( ) A 1 B 2 . . 考点: 专题:

C 3 .

D 4 . 平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.

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41

分析:

① 由

?

=

?

,可得

,利

用向量垂直与数量积的关系可得: ,| |=| |不一定成立; |<

② 根据① ,及由于△ AOB 是锐角三角形,可得| | |;

③ 由① 可知: ④ 当

, 可知: 点 P 的轨迹是一条直线; 时,以 PO、PB 为邻边所作的平行四边

形是矩形,利用矩形的对角线的性质即可得出. 解答: 解: ① 由 即 不正确; ② 根据① ,及由于△ AOB 是锐角三角形,可得| | |,因此② 不正确; ,因此点 P 的轨迹是一条直线, |< ? = ? , 可得 ,| |=| , |不一定成立,因此

③ 由① 可知: 正确; ④ 当

时,以 PO、PB 为邻边所作的平行四边 + |=| |,正确.

形是矩形,因此存在 P 使| 综上可知:只有③ ④ 正确. 故选:B. 点评:

本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的平行 四边形法则、矩形的对角线的性质等基础知识与基 本技能方法,考查了推理能力,属于难题.

30. (2014?舟山三模)已知 , 是空间中两个相互垂直的单位向量,且| |=3, ? =1, ? =2,则对于任意实数 t1,t2,| ﹣t1 ﹣t2 |的最小值是( A . B . ) C 2 .
42

D 4 .

考点: 专题: 分析:

平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.

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根据题意,

,且

,将

此代入| ﹣t1 ﹣t2 |的式子,并且结合| |=3, ? =1, ? =2,化简整理得到关于实数 t1,t2 的方 程,当且仅当 t1=1,t2=2 时,| ﹣t1 ﹣t2 | 的最小 值为 4,
2

解答:

解:| ﹣t1 ﹣ t2 | =
2



∵ , 是空间中两个相互垂直的单位向量,且| |=3, ? =1, ? =2, ∴ | ﹣t1 ﹣ t2 | =
2

= ,

由此可得,当且仅当 t1=1,t2=2 时,| ﹣t1 ﹣t2 | 的最小值为 4, ∴ | ﹣t1 ﹣t2 |的最小值是 故选:C. .

2

43

点评:

本题主要考查了平面向量的数量积及其运算性质和 二次式的最值等知识,属于中档题.

44


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