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湖南省长沙市浏阳一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)


湖南省长沙市浏阳一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知命题 p: A. C. B. D. ,则命题 p 的否定?p 是 ()

2. (5 分)图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是()

A.x+y﹣1<0

B.x+y﹣1>0

C.x﹣y﹣1<0

D.x﹣y﹣1>0

3. (5 分)给出下列四个命题:其中真命题的是() A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” 2 2 B. 命题“?x∈R,x +x﹣1<0”的否定是“?x∈R,x +x﹣1>0” C. 命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 D.“x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 4. (5 分)设 a<b<0,则下列不等式中不成立的是() A. B. C.|a|>﹣b D.
2 2 2

5. (5 分)已知等比数列{an}中,an>0,a1,a9 为方程 x ﹣10x+16=0 的两根,则 a2a5a8 的值 为() A.32 B.64 C.128 D.256 6. (5 分)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 A.
2

2

的最小值是() C. D.5

B. 4

7. (5 分)“x>3”是“x >4”的() A.必要不充分条件

B. 充分不必要条件

C. 充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

8. (5 分)在等差数列{an}中,a3+a5+2a10=4,则此数列的前 13 项的和等于() A.13 B.26 C. 8 D.162 9. (5 分)下列各式中,最小值等于 2 的是() A. B. C. D.2 +2
x
﹣x

10. (5 分)在 R 上定义运算⊕:x?y=x(1﹣y)若对任意 x>2,不等式(x﹣a)?x≤a+2 都 成立,则实数 a 的取值范围是() A. B. (﹣∞,3] C. (﹣∞,7] D. (﹣∞, ﹣1]∪ (0<t<1) , 且数列{cn} 中的每一项总小于它后面的项,求实数 t 的取值范围.

湖南省长沙市浏阳一中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 个小题,每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知命题 p: A. C. B. D. ,则命题 p 的否定?p 是 ()

考点: 命题的否定. 专题: 常规题型. 分析: 这个一个全称命题,否定方法是:先将关键词任意改成存在,再否定后面的结论, 由此可以得出正确选项. 解答: 解析:全称命题的否定是特称命题,同时否定结论, 将“?”改成“?”,再将结论改成“ ”即可

故选 A. 点评: 本题考查了“含有量词的命题的否定”,属于基础题.解决的关键是看准量词的形式, 根据公式合理更改,同时注意符号的书写. 2. (5 分)图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是()

A.x+y﹣1<0

B.x+y﹣1>0

C.x﹣y﹣1<0

D.x﹣y﹣1>0

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由图形中所给的数据求边界所对应的方程,代入原点坐标,判断原点对应的符号, 由图形的位置及二元一次不等式与区域的关系判断出正确选项. 解答: 解:由图知过两点(1,0)与(0,1)两点的直线方程为 x+y﹣1=0, 当 x=0,y=0 时,x+y﹣1<0 而原点不在阴影表示的区域内 故图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式 x+y﹣1>0 故选 B 点评: 本题考查二元一次不等式与区域,解题的关键是确定边界对应的直线方程,以及边 界是虚线还是实线, 区域与直线的相对位置, 熟练掌握区域与直线的位置关系与相应不等式的 对应关系是解本题的知识保证.本题考查了数形结合的思想,推理判断的能力. 3. (5 分)给出下列四个命题:其中真命题的是() A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” 2 2 B. 命题“?x∈R,x +x﹣1<0”的否定是“?x∈R,x +x﹣1>0” C. 命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 D.“x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: ①否命题分别否定条件及结论, ②条件特称改全称, 然后否定结论, ③原命题为真, 其逆否命题逻辑值相同,④先将④“x ﹣5x﹣6=0”化简为等价命题“x=﹣1,或 x=6”,然后判 断. 2 2≠ 解答: 解:①命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x 1,则 x≠1”,A 错误, 2 2 ②命题“?x∈R,x +x﹣1<0”的否定是“?x∈R,x +x﹣1≥0”,B 错误, ③命题“若 x=y,则 sinx=siny”为真命题,则其逆否命题为真命题,C 正确, ④“x ﹣5x﹣6=0”?“x=﹣1,或 x=6”,则“x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件,D 错误, 故选 C. 点评: 本题考查命题真假判断,难点 C 要直接判断原命题真假,如写出逆否命题,不好判 断. 4. (5 分)设 a<b<0,则下列不等式中不成立的是() A. B. C.|a|>﹣b D.
2 2 2 2 2 2

考点: 不等关系与不等式. 分析: 利用特殊值代入法进行求解,可以令 a=﹣2,b=﹣1,分别代入 A、B、C、D 四个选 项进行求解. 解答: 解:∵a<b<0, ∴令 a=﹣2,b=﹣1, A、﹣ >﹣1,正确; B、﹣1<﹣ ,故 B 错误; C、2> 1,正确; D、 >1,正确; 故选 B. 点评: 此题主要考查不等关系与不等式之间的关系,利用特殊值代入法求解比较简单. 5. (5 分)已知等比数列{an}中,an>0,a1 ,a9 为方程 x ﹣10x+16=0 的两根,则 a2a5a8 的值 为() A.32 B.64 C.128 D.256 考点: 根与系数的关系;等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用一元二次方程的根与系数的关系可得 a1 ?a9=16,再由等比数列的定义和性质可 得 a1 ?a9= ,求出 a5 的值,再由 a2a5a8 = 求出结果. ,故 a5=4.
2

解答: 解:由题意可得 a1 +a9=10,a1 ?a9=16= ∴a2a5a8 = =64,

故选 B. 点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,一元二次方程的根与系数的关系,属于中档 题.

6. (5 分)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 A. B. 4

的最小值是() C. D.5

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 利用题设中的等式,把 y 的表达式转化成( 求得 y 的最小值. 解答: 解:∵a+b=2, ∴ =1 ) ( )展开后,利用基本不等式



=(

) (

)= +

+

≥ +2= (当且仅当 b=2a 时等号成立)

故选 C 点评: 本题主要考查了基本不等式求最值.注意把握好一定,二正,三相等的原则. 7. (5 分)“x>3”是“x >4”的() A.必要不充分条件 C. 充分必要条件
2

B. 充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析: 可先判断:p?q 与 q?p 的真假,也可判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁 大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系. 解答: 解:①∵x>3,x >9,∴x >4 成立. 2 ②当 x >4 时得 x<﹣2 或 x>2, ∴x>3 不一定成立, 2 故 x>3 是 x >4 的充分不必要条件. 故选 B 点评: 判断充要条件的方法是: ①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p?q 为假命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. ⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系. 8. (5 分)在等差数列{an}中,a3+a5+2a10=4,则此数列的前 13 项的和等于() A.13 B.26 C. 8 D.162 考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 先根据等差数列的性质若 m+n=k+l 则 am+an=ak+al 可得 a3+a5+2a10=2(a4+a10)=2 (a1+a13)=4.再根据等差数列前 n 项和的计算公式得到答案即可. 解答: 解:在等差数列{an}中若 m+n=k+l 则 am+an=ak+al 因为 2(a3+a5)+2a10=4 所以由等差数列上述性质得:a4+a10=a1+a13=2. 所以 S13= .
2 2

故选 A. 点评: 解决此类问题的关键是熟悉等差数列的性质 与等差数列的前 n 项和的计算公式,在 高考中一般以选择题与填空题的形式出现,属中档题 9. (5 分)下列各式中,最小值等于 2 的是()

A.

B.

C.

D.2 +2

x

﹣x

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: A 不正确,例如 x,y 的符号相反时; B 不正确,由于 = = + ≥2,但等号不可能成立;

C 不正确,当 tanθ<0 时,它的最小值显然不是 2; D 正确,因为 2 +2 =2 +
x
﹣x

x

≥2,当且仅当 x=0 时,等号成立.

解答: 解:A 不正确,例如 x,y 的符号相反时,式子的最小值不可能等于 2. B 不正确,∵ = = + ≥2,但等号不可能成立,故最小值不是

2. C 不正确,当 tanθ<0 时,它的最小值显然不是 2. D 正确,∵2 +2 =2 +
x
﹣x

x

≥2,当且仅当 x=0 时,等号成立,

故选 D. 点评: 本题考查基本不等式的应用,通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命题不正确, 是一种简单有效的方法. 10. (5 分)在 R 上定义运算⊕:x?y=x(1﹣y)若对任意 x>2,不等式(x﹣a)?x≤a+2 都 成立,则实数 a 的取值范围是() A. B. (﹣∞,3] C. (﹣∞,7] 求出结果. 解答: 解:∵x?y=x(1﹣y) , ∴(x﹣a)?x≤a+2 转化为(x﹣a) (1﹣x)≤a+2, 2 ∴﹣x +x+ax﹣a≤a+2, 2 a(x﹣2)≤x ﹣x+2, ∵任意 x>2,不等式(x﹣a)?x≤a+2 都成立, ∴a≤ . D. (﹣∞,﹣1]∪min,x<2.由此能

令 f(x)= 则 a≤min,x>2 而 f(x)=

,x>2,

=

=(x﹣2)+ ≥2

+3 +3=7,

当且仅当 x=4 时,取最小值. ∴a≤7. 故选:C. 点评: 本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用 .关于新定义型的题,关键是理解 定义,并会用定义来解题. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)不等式 x +x﹣2≤0 的解集是{x|﹣2≤x≤1}. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 分析: 把不等式 x +x﹣2≤0 化为(x﹣1) (x+2)≤0,求出 x 的取值范围,写出不等式的解 集. 解答: 解:不等式 x +x﹣2≤0 可化为 (x﹣1) (x+2)≤0, 解得﹣2≤x≤1; ∴原不等式的解集是{x|﹣2≤x≤1}. 故答案为:{x|﹣2≤x≤1}. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,解题时应按照解一元二次不等式的 基本步骤进行解答,是基础题.
2 2

12. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣3y 的最小值﹣8.

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 作出变量 x,y 满足约束条件所对应的平面区域,采用直线平移的方法,将直线 l: 平移使它经过区域上顶点 A(﹣2,2)时,目标函数达到最小值﹣8 解答: 解:变量 x,y 满足约束条件所对应的平面区域为△ ABC 如图,化目标函数 z=x﹣3y 为 将直线 l: 平移,因为直线 l 在 y 轴上的截距为﹣ ,所以直线 l 越向上移,

直线 l 在 y 轴上的截距越大,目标函数 z 的值就越小,故当直线经过区域上顶点 A 时, 将 x=﹣2 代入,直线 x+2y=2,得 y=2,得 A(﹣2,2) 将 A(﹣2,2)代入目标函数,得达到最小值 zmin=﹣2﹣3×2=﹣8

故答案为:﹣8 点评: 本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题,看准直线在 y 轴上的截距的与 目标函数 z 符号的异同是解决问题的关键. 13. (5 分)已知数列{an}是等差数列,a10=10,前 10 项和 S10=70,则其公差 d= .

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的前 n 项和公式表示出前 10 项的和,把 a10 的值代入即可求出 a1 的值, 然后由等差数列的通项公式由 a10 的值即可求出公差 d 的值. 解答: 解:由 a10=10, 得到 S10= 解得:a1=4, 所以 a10=a1+9d=4+9d=10, 解得:d= . 故答案为: 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的前 n 项和公式化简求值,掌握等差数列的性质, 是一 道基础题. =5(a1+10)=70,

14. (5 分)已知椭圆 7. 考点: 椭 圆的定义.

上的点 P 到一个焦点的距离为 3,则 P 到另一个焦点的距离为

专题: 计算题. 分析: 椭圆 的长轴长为 10,根据椭圆的定义,利用椭圆 上的点 P 到一

个焦点的距离为 3,即可得到 P 到另一个焦点的距离. 解答: 解:椭圆 的长轴长为 10

根据椭圆的定义,∵椭圆

上的点 P 到一个焦点的距离为 3

∴P 到另一个焦点的距离为 10﹣3=7 故答案为:7 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的定义,属于基础题.
2 n﹣1

15. (5 分) 设函数 ( f x) =a1+a2x+a3x +…+anx 则数列{an}的通项 an 等于



, 数列{an}满足 ( f 1) =n an (n∈ N ) ,

2

*



考点: 数列的概念及简单表示法. 分析: 由 f(0)= ,得到 ,由 f(1)=n an 得到 sn=n2an,这样数列变为已知首项和
2

前 n 项和求数列的通项的问题,仿写一个等式,两式相减,合并同类项,约分化简,得到数列 连续两项之间关系,叠乘得到结果 . 解答: 解:∵ ∴ ,
2



∵f(1)=n an,∴sn=n2an,∴sn+1=(n+1)2an+1,两式相减得:an+1=(n+1)2an+1﹣
n2an∴\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n}{n+2},用叠乘得到{a}_{n}=\frac{1}{(n+1)n}故答案为:{a}_{n}=\frac{1}{(n+1)n}

点评: 在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、 换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构 造数列模型,将现实问题转化为数学问题来解决. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、演算步聚或推证过程. ) 16. (12 分)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(﹣2,0) , (2,0) ,并且经过点( ,﹣ ) , 求它的标准方程. 考点: 专题: 分析: 解答: 椭圆的标准方程. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 由已知条件利用椭圆定义求解. 解:∵椭圆的焦点在 x 轴上,

∴设它的标准方程为 由椭圆的定义知:



, ∴ . (6 分) 又∵c=2, (8 分) 2 2 2 ∴b =a ﹣c =6, (10 分) ∴椭圆的标准方程为 . (12 分)

点评: 本题考查椭圆标准方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意椭圆定义的合 理运用. 17. (12 分)已知不等式 x +bx+c>0 的解集为{x|x>2 或 x<1} (1)求 b 和 c 的值; 2 (2)求不等式 cx +bx+1≤0 的解集. 考点: 一元二次不等式与一元二次方程;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: (1)利用二次不等式的解集与相应的二次方程的根的关系,判断出 1,2 是相应方 程的两个根,利用韦达定理求出 b,c 的值 (2)将 b,c 的值代入不等式,将不等式因式分解,求出二次不等式的解集. 解答: 解: (1)∵不等式 x +bx+c>0 的解集为{x|x>2 或 x<1} 2 ∴1,2 是方程不等式 x +bx+c=0 的两个根 由根与系数的关系得到 b=﹣(1+2)=﹣3; c=1×2=2 (2)cx +bx+1≤0?2x ﹣3x+1≤0?(2x﹣1) (x﹣1)≤0? 所以 cx +bx+1≤0 的解集为 点评: 解决一元二次不等式解集问题,要注意它的解集与相应的一元二次方程的根有着密 切的联系. 18. (12 分)已知 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负根;q:方程 x +(m﹣2)x+1=0 无实 根.若 p∨q 为真,p∧q 为假,求 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题. 分析: 根据韦达定理(一元二次方程根与系数的关系)我们可以求出命题 p 和命题 q 为真 是参数 m 的范围,根据 p∨q 为真,p∧q 为假,则 p,q 一真一假,构造不等式组,即可求出 满足条件的 m 的取值范围.
2 2 2 2 2 2 2

解答: 解:p 满足 m ﹣4>0,x1+x2=﹣m<0,x1x2=1>0. 解出得 m>2; (2 分) q 满足 ﹣4<0 解出得 0<m<4(4 分) 又因为“p 或 q”为真,“p 且 q”为假 所以 m∈(0,2]∪ 考点: 数列与不等式的综合;数列递推式. 专题: 综合题. 分析: (I)由 (II) 由 (I) 知 因此可化简为 解答: 解: (I) 由 公差 d=2 ∴ ∴ (II)∵ ∴ = 可得: , 从而有 ,故问题得解. 可得: 所以数列 是等差数列, 首项 , ,从而可证; ,
2

2



解得 n>16

点评: 本题主要考查构造法证明等差数列的定义及裂项法求和,属于中档题. 21. (13 分)已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,且有 a1=2,3Sn=5an﹣an﹣1+3Sn﹣1(n≥2) . (1)若 bn=(2n﹣1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn; n (2)若 cn=t (0<t<1) ,且数列{cn} 中的每一项总小于它后面的项,求实数 t 的取值范围. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 3Sn=5an﹣an﹣1+3Sn﹣1(n≥2) ,利用 an=Sn﹣Sn﹣1 可得 3an=5an﹣an﹣1,化为 . 利用等比数列的通项公式即可得出 an,进而得到 bn.再利用“错位相减法”即可得出 Tn.

(2)利用(1)得出 cn,再利用 cn<cn+1,可化为 n>(n+1)t,即 即可得出. 解答: 解: (1)∵3Sn=5an﹣an﹣1+3Sn﹣1(n≥2) ,∴3an=5an﹣an﹣1,化为 ∴数列{an}是以 2 为首项, 为公比的等比数列, ∴ ∴
0
﹣1

,利用

单调性



=2

2﹣n




3﹣n 2﹣n

∴Tn=1×2+3×2 +5×2 +…+(2n﹣3)×2 +(2n﹣1)?2 2 1 4﹣n 3 ﹣n 2Tn=1×2 +3×2 +…+(2n﹣3)?2 +(2n﹣1)?2 . 1 0 3﹣n 2﹣n ∴Tn=4+2×2 +2×2 +…+2×2 ﹣(2n﹣1)?2 .
2﹣n



=

﹣4﹣(2n﹣1)?2
2﹣n

= =12﹣ (2)

﹣4﹣(2n﹣1)2 ﹣(2n﹣1)?2
2﹣n

. =nt .
n

∵cn<cn+1,∴nt <(n+1)t . (*) ∵0<t<1,∴0<2t<2,∴lg(2t)<1. ∴(*)化为 n>(n+1)t,∴ ∵ ∴ 随着 n 的增大而减小, . .

n

n+1

而 0<t<1. 得到 .即为 t 的取值范围.

点评: 熟练掌握利用

即可得出 an;变形利用等比数列的通项公

式、“错位相减法”、等比数列的前 n 项和公式及其数列的单调性等是解题的关键.


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