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甘肃省天水市一中2015届高三上学期第三次数学题(文)试题及答案


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天水市一中 2014—2015 学年度第一学期 2012 级第三次考试试题

数学(文科)
命题:张永国 审核:张志义

一、选择题(本大题共 12 个小题,每个 5 分,共计 60 分)
1.已知全集 ?=?1,2,3,4, 3, 4, 5? , B ? ?5, 6? ,则 CU ( A ? B) ? ( 5,6? , A ? ?1, A. ?1,3, 4? B. ?5, 6? C. ?1,3,4,5,6? D. ?2? ) D. y ? 2 x )

2.下列函数中,在(0,+ ? )上单调递增,并且是偶函数的是( A. y ? x 2 3.已知 cos( A. B. y ? ? x 3 C. y ? ? lg | x |

?

18 25

3 ) ? x) ? ,那么 sin 2 x =( 4 5 24 7 B. ? C. ? 25 25
1 ”的( a

D. )

7 25

4.若 a, b 为实数,则“ 0 ? ab ? 1 ”是“ b ? A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知向量 a ? (2,3), b ? (?1, 2) ,若 ma ? 4b 与 a ? 2b 共线,则 m 的值为( A.

?

?

?

?

?

?



1 2

B. 2

C. ?

1 2

D. ?2

6. .一个几何体的三视图是一个正方形,一个矩形,一个半圆,尺寸大小如图所示,则该几何体的 表面积是( )

A. ?

B. 3? ? 4

C. ? ? 4

D. 2? ? 4

7.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数 学之和为偶数的概率是( )
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A.

1 2

B.

1 3

C.

2 3

D.

3 4


?y ? x ? 8.已知 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ,则 z=2x+y 的最大值与最小值的比值为( ?x ? 2 ?
A.

1 2

B.2

C.

9.将 y ? cos 2 x ? 1的图象向右平移 式为() A. y ? sin 2 x

? 个单位,再向下平移 1 个单位后得到的函数图象对应的表达 4
C. y ? cos 2 x D. y ? cos( 2 x ?

3 2

D.

4 3

B. y ? sin 2 x ? 2

?
4

)

10.已知数列 {an } 是等差数列,若 a9 ? 3a11 ? 0 ,a10 ? a11 ? 0 ,且数列 {an } 的前 n 项和 Sn 有最大值, 那么 Sn 取得最小正值时 n 等于( ) A.20 B.17 C.19 D.21

x2 y 2 11 . 在 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 中 , F1 , F2 分 别 是其 左 右 焦 点 , 若 椭 圆 上存 在 一 点 P 使得 a b

PF1 ? 2 PF2 ,则该椭圆离心率的取值范围是(
A. ? ,1?

)

?1 ? ?3 ?

B. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

C. ? 0, ?

? ?

1? 3?

D. ? 0, ? 3

? ?

1? ?


12.当 x ? (1, 2) 时,不等式 x 2 ? 1 ? 2 x ? loga x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A. (0,1) B. ?1, 2? C. (1,2) D. ?2,??)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每个 5 分,共计 20 分) 13.已知| a |=1,| b |= 3 ,且 a , b 的夹角为 14 . 已 知 直 线 l1 : a x ? 是 .

?

?

?

?

? ? ? ,则| a - b |的值为_________. 6

, l2 : (2a ?1) x ? ay ? a ? 0 互 相 垂 直 , 则 实 数 a 的 值 y ?2 a ?0

15. 若函数 f ?x ? 在定义域 D 内某区间 I 上是增函数, 且
2

f ?x ? 在 I 上是减函数, 则称 y ? f ?x ? 在 I 上 x

是“弱增函数”.已知函数 h?x? ? x ? ?b ?1?x ? b 在( 0 , 1] 上是“弱增函数”,则实数 b 的值
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为 16.有下列命题



设 m,n 是两条不同的直线,α 、β 、γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: (1)若 m⊥α ,n∥α ,则 m⊥n (2)若α ∥β ,β ∥γ ,m⊥α ,则 m⊥γ (3)若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n (4)若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ∥β 其中真命题的序号是 . 三、解答题(本大题共 6 个小题,共计 70 分) 17. (本小题满分为 10 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 a ? b ? c ? bc .
2 2 2

(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1, b ? 2 ,试求△ABC 的面积. 18. (本小题满分为 10 分) 已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 , (Ⅰ)若直线 l1 过定点 A (1,0),且与圆 C 相切,求 l1 的方程; (Ⅱ) 若圆 D 半径为 3,圆心在 l2 : x ? y ? 2 ? 0 上,且与圆 C 外切,求圆 D 的方程. 19. (本小题满分为 12 分) 已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a 4 是 a 2 与 a8 的等比中项. (I)求数列 ?an ? 的通项公式: (II)若 an?1 ? an .求数列 {2n?1 ? an } 的前 n 项和. 20. (本小题满分为 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PD⊥底面 ABCD,M,N 分别是 PA,BC 的中点,且 PD=AD=1.

(Ⅰ)求证:MN∥平面 PCD;
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(Ⅱ)求证:平面 PAC⊥平面 PBD. 21. (本小题满分为 12 分) 已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 ,左右焦点分别为 F1 , F2 , 4

? (I)若 C 上一点 P 满足 ?F 1 PF2 的面积; 1PF 2 ? 90 ,求 ?F

(II)直线 l 交 C 于点 A, B ,线段 AB 的中点为 (1, ) ,求直线 l 的方程。 22. (本小题满分为 14 分)
2 若二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 16 x 且 f (0) =2.

1 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若存在 x ? [1,2] ,使不等式 f ( x) ? 2 x ? m 成立,求实数 m 的取值范围.参考答案(文) 1.D. 2.A 11. B 【解析】 3.C 4.D 5. D 6. B 7.B 8. 11.B 9. A 10. C

4a ? | PF1 |? ? ?| PF1 | ? | PF2 |? 2a 2a a c 1 ? 3 4a 2a ? 2c , ? 2c , 试题分析:? , 得? , ? 即 即 ? c, 即 ? , 3 3 3 a 3 ? | PF1 |? 2 | PF2 | ?| PF |? 2a 3 2 ? 3 ?
即e ?

1 1 1 ,∴ ? e ? 1 ,即 e ? [ ,1) . 3 3 3

12 . B . 【解析】 : x 2 ? 1 ? 2 x ? loga x 对 于 x ? (1, 2)恒 成 立 , 即 ( x ? 1) 2 ? loga x 恒 成 立 , 令

f ( x) ? ( x ? 1) 2 ,

g ( x) ? loga x ;两者图像如下图,由图像,得 f (2) ? g (2) ,即 1 ? loga 2 ,解得1 ? a ? 2 .

13. 1

14. a ? 0 ,或 a ? 1
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15.1 【解析】 : 由 于 函 数 h?x? ? x 2 ? ?b ?1?x ? b 在 ( 0 , 1] 上 是 “ 弱 增 函 数 ”, 因 此 函 数 (0, 1]上是增函数”,h??x ? ? 2 x ? ?b ? 1? ? 0 在 ?0,1? 恒成立, 只需 h?? x ?min h?x? ? x2 ? ?b ?1?x ? b 在 成立即可;? x ? 0 时,有最小值,所以 0 ? ?b ?1? ? 0 ,即 b ? 1 ;令 g ? x ? ?

h? x ? b ? x ? ? ?b ? 1? 在 x x

?0,1? 为减函数,因此
g ??x ? ? 1 ? b x2 ? b ? ? 0 在区间 ?0,1? 成立,? x 2 ? b ? 0 恒成立,因此 b ? 1 ,综上 b ? 1 . 2 2 x x

16. (1) (2) 17.(1) A ? 120 ;(2) S ?
?

3.

18. (Ⅰ) x ? 1 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 ; (Ⅱ) (x ? 3) ? ( y ? 1) ? ( 9 x ? 2) ? ( y ? 4) ? 9
2 2 2 2

19.(I)当 d ? 0 时, an ? 4 ;当 d ? 2 时, an ? 2n ;(II) Sn ? (n ?1)2n?1 ? 2 .
2 解析:(I)由题意, a4 ? a2 a8 ,即 (4 ? 2d ) 2 ? 4(4 ? 6d ) ,化简得 d ?2d ? 0 ,∴ d ? 0 或 2

2

∵ a2 ? 4 ,∴当 d ? 0 时, an ? 4 ;当 d ? 2 时, an ? 2n . (II)∵ an?1 ? an ,∴ an ? 2n ,∴ 2n?1 an ? n ? 2n ,∴ Sn ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? n ? 2n ① ??①

? 2 , 得
1 2 3

2Sn ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ?? n ? 2n?1
n n?1

?? ② , ① - ② , 得

? Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 ,∴ Sn ? (n ?1)2n?1 ? 2 . = 1? 2

20.解析: (Ⅰ)证明 取 AD 中点 E,连接 ME,NE,由已知 M,N 分别是 PA,BC 的中点,所以 ME∥PD, NE∥CD, 又 ME,NE?平面 MNE,ME∩NE=E, 所以平面 MNE∥平面 PCD, 所以 MN∥平面 PCD. (Ⅱ)证明 因为 ABCD 为正方形, 所以 AC⊥BD, 又 PD⊥平面 ABCD,所以 PD⊥AC, 所以 AC⊥平面 PBD, 所以平面 PAC⊥平面 PBD.

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21. (1) S ?F1PF2 ?

1 1 PF1 PF2 ? 1 .(2) y ? ? x ? 1 。 2 2
2 2

PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 ? 16 解析: (1)由第一定义, PF 1 ? PF 2 ? 2a ? 4 ,即
由勾股定理, PF1 ? PF2
2 2

? (2c) 2 ? 12 ,所以 PF 1 PF 2 ? 2 , S ?F1PF2 ?

1 PF1 PF2 ? 1 . 2

( 2 ) 设 A( 1x , 1y ) , B 2 ( x ,2 , 满 y 足 )

x12 x2 ? y12 ? 1 , 2 ? y2 2 ? 1 , 两 式 作 差 4 4

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 4

, 将

x1 ? x2 ? 2 ,

y1 ? y2 ? 1 代 入 , 得

( x1 ? x2 ) 1 y ? y2 1 ? ( y1 ? y2 ) ? 0 ,可得 k AB ? 1 ? ? ,直线方程为: y ? ? x ? 1 。 2 2 x1 ? x2 2
22.(Ⅰ) a =4, b =2, c =2, d =2;(Ⅱ) [1, e ]
' ' x 解析:(Ⅰ) 由已知得 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 ,而 f ( x) ? 2 x ? a , g ( x) ? e (cx ? 2

?b ? 2 ?d ? 2 ? d ? c) ,代入得 ? ,故 a =4, b =2, c =2, d =2; a ? 4 ? ? ?d ? c ? 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x ? 4 x ? 2 g ( x) ? 2e ( x ? 1) ,
2 x x 2 设函数 F ( x) = kg ( x) ? f ( x) = 2ke ( x ? 1) ? x ? 4 x ? 2 ( x ? ?2 ),

F ?( x) = 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 = 2( x ? 2)(ke x ? 1) , 由题设知 F (0) ? 0 ,即 k ? 1 ,令 F ' (x) ? 0 ,得

x1 ? ? ln k ,

x2 ? ?2 ,
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(1)若 1 ? k ? e ,则 ?2 ? x1 ? 0 ,∴当 x ? (?2, x1 ) 时,F ' (x) ? 0 ,当 x ? ( x1, ?? ) 时,F ' (x) ? 0 ,
2

记 F ( x) 在 x ? (?2, x1 ) 时单调递减, x ? ( x1 , ??) 时单调递增,故 F ( x) 在 x ? x1 时取最小值 F ( x1 ) , 而 F ( x1 ) ? 2x1 ? 2 ? x12 ? 4 x1 ? 2 ? ? x1 ( x1 ? 2) ? 0 ,∴当 x ? ?2 时, F ( x) ? 0 ,即 f ( x) ≤ kg ( x) ; (2)若 k ? e ,则 F ' (x) ?2e 2 (x ? 2)( e x? e )2 ,∴当 x ? ?2 时, F ' ( x) ? 0 ,∴ F ( x) 在 (?2, ??) 单
2

调递增,而 F (?2) ? 0 .∴当 x ? ?2 时, F ( x) ? 0 ,即 f ( x) ≤ kg ( x) ; ( 3 ) 若 k ?e
2

时 ,

F ' (x ? )

0 , 则 F ( x) 在 (?2, ??) 单 调 递 增 , 而

F (?2) = ?2ke ?2 ? 2 = ?2e ?2 (k ? e 2 ) <0,
∴当 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) 不可能恒成立, 综上所述, k 的取值范围为[1, e ].
2

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