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河北省保定市定兴三中2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试卷(文科) Word版含解析


2015-2016 学年河北省保定市定兴三中高二(上)第一次月考数 学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P、Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1,﹣1) ,则直 l ( ) 线 的斜率为 A. B.﹣ C.﹣ D.

2.下列赋值语句正确的是( ) A.a+b=5 B.5=a C.a+b=c

D.a=a+1 )

3.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图所示,则(

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 4.直线 l 过点(﹣1,2)且与直线 2x﹣3y+4=0 平行,则直线 l 的方程是( A.3x+2y﹣1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x﹣3y+5=0 D.2x﹣3y+8=0 )

5. 从编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验, 若 ) 采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能是( A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43 C.1,2,3,4,5 D.2,4,8,16,32 6.已知圆 C:x2+y2﹣4x=0,l 为过点 P(3,0)的直线,则( A.l 与 C 相交 B.l 与 C 相切 C.l 与 C 相离 D.以上三个选项均有可能 7.下列各数中最小的数是( A.111 111(2) B.210(6) ) C.1 000(4) D.110(8) )

8.某班级统计一次数学测试后的成绩,并制成了如下的频率分布表,根据该表估计该班级 ) 的数学测试平均分为( [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 分组 5 15 20 10 人数 0.1 0.3 0.4 0.2 频率 A.80 B.81 C.82 D.83 9.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y﹣5=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A、B 两点,则弦 AB ) 的长等于( A.3 B.2 C. D.1 10.执行两次如图所示的程序框图,若第一次输入的 a 的值为﹣1.2,第二次输入的 a 的值 ) 为 1.2,则第一次、第二次输出的 a 的值分别为(

A.0.2,0.2 B.0.2,0.8 C.0.8,0.2 D.0.8,0.8 11.已知 x 与 y 之间的一组数据: x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程为 =2.1x+0.85,则 m 的值为( A.1 B.0.85 C.0.7 D.0.5 )

12.如图给出的是计算 + + +…+

的值的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是

(

)

A.i≤1 005? B.i>1 005?

C.i≤1 006? D.i>1 006?

二、填空题: (本大题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分,把最简答案填写在答题卡的横线上) 13.直线 ax+my﹣2a=0(m≠0)过点(1,1) ,则该直线的倾斜角为__________. 14. 某市为增强市民的节约粮食意识, 面向全市征召务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中 随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组[20,25) ,第 2 组[25,30) ,第 3 组[30,35) ,第 4 组 [35,40) ,第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示.若用分层抽样的方法从第 3, 4,5 组中共抽取了 12 名志愿者参加 l0 月 16 日的“世界粮食日”宣传活动,则从第 4 组中抽 取的人数为__________.

15. 某程序的框图如图所示, 执行该程序, 若输入的 p 为 l6, 则输出的 n 的值为__________.

16.已知 f(x)=x4+4x3+6x2+4x+1,则 f(9)=__________. 17.一个总体分为 A,B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本.已知 B 层中每个个体被抽到的概率都为 ,则总体中的个体数为__________.

18.如图是某高三学生进入高中三年来第 1 次到 14 次的数学考试成绩茎叶图,根据茎叶图 计算数据的中位数为__________.

三. 解答题 (本大题共 5 小题, 共 60 分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) . 19.给出 30 个数:1,2,4,7,…,其规律是:第 1 个数是 1,第 2 个数比第 1 个数大 1, 第 3 个数比第 2 个数大 2,第 4 个数比第 3 个数大 3,依此类推.要计算这 30 个数的和,现 已给出了该问题算法的程序框图(如图所示) : (1)图中①处和②处应填上什么语句,使之能完成该题算法功能; (2)根据程序框图写出程序.

20.如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图, 已知图中第一组的频数为 4000.请根据该图提供的信息解答下列问题: (图中每组包括左端 [1000 1500 点,不包括右端点,如第一组表示收入在 , ) (1)求样本中月收入在[2500,3500)的人数; (2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系,必须从样本的各组中按月收入再用 分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析,则月收入在[1500,2000)的这段应抽多少人? (3)试估计样本数据的中位数.

21.某单位有 2000 名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门 中,如表所示: 人数 管理 技术开发 营销 生产 共计 40 40 40 80 200 老年 80 120 160 240 600 中年 40 160 280 720 1 200 青年 160 320 480 1 040 2 000 小计 (1)若要抽取 40 人调查身体状况,则应怎样抽样? (2)若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人? (3)若要抽取 20 人调查对广州亚运会举办情况的了解,则应怎样抽样? 22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2﹣6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x﹣y+a=0 交与 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. 23.一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如表所示: A1 A2 A3 A4 A5 学生 89 91 93 95 97 数学(x 分) 87 89 89 92 93 物理(y 分) (1)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图. (2)并求这些数据的线性回归方程 =bx+a.附:线性回归方程 y=bx+a 中,

b=

=

其中 , 为样本平均值,线性回

归方程也可写为

=

x+



2015-2016 学年河北省保定市定兴三中高二(上)第一次 月考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P、Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1,﹣1) ,则直 ) 线 l 的斜率为( A. B.﹣ C.﹣ D.

【考点】斜率的计算公式. 【专题】直线与圆. 【分析】利用中点坐标公式可得 P,Q,再利用斜率的计算公式即可得出, 【解答】解:设 P(x,1) ,Q(7,y) . ∵线段 PQ 的中点坐标为(1,﹣1) ,



,解得 x=﹣5,y=﹣3.

∴P(﹣5,1) , ∴直线 l 的斜率= =﹣ .

故选:B. 【点评】本题考查了中点坐标公式、斜率的计算公式,属于基础题. 2.下列赋值语句正确的是( ) A.a+b=5 B.5=a C.a+b=c

D.a=a+1

【考点】赋值语句. 【专题】对应思想;定义法;算法和程序框图. 【分析】根据赋值语句的格式是“赋值号的左边是变量,右边可以是任意表达式”,进行分析 判断即可. 【解答】解:a+b=5 中,赋值号的左边是表达式,所以 A 错误; 5=a 中,赋值号的左边是常量,所以 B 错误; a+b=c 中,赋值号的左边是表达式,所以 C 错误; a=a+1 中,赋值号的左边是赋值变量,右边是表达式,所以 D 正确. 故选:D. 【点评】本题考查了赋值语句的应用问题,解题的关键是熟练掌握赋值语句的功能和格式, 是基础题目. 3.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图所示,则( )

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 【考点】极差、方差与标准差;分布的意义和作用;众数、中位数、平均数. 【专题】计算题. 【分析】根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数,然后利用方差公式求出甲与乙的方差, 从而可得到结论. 【解答】解: = ×(4+5+6+7+8)=6,

= ×(5+5+5+6+9)=6, 甲的成绩的方差为 ×(22×2+12×2)=2, 以的成绩的方差为 ×(12×3+32×1)=2.4. 故选:C. 【点评】本题主要考查了平均数及其方差公式,同时考查了计算能力,属于基础题. 4.直线 l 过点(﹣1,2)且与直线 2x﹣3y+4=0 平行,则直线 l 的方程是( A.3x+2y﹣1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x﹣3y+5=0 D.2x﹣3y+8=0 )

【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】直线与圆. 【分析】设与直线 2x﹣3y+4=0 平行的直线方程为 2x﹣3y+c=0,把点(﹣1,2)代入求得 c 的值,即可求得所求的直线的方程. 【解答】解:设与直线 2x﹣3y+4=0 平行的直线方程为 2x﹣3y+c=0,把点 P(﹣1,2)代入 可得﹣2﹣6+c=0,c=8, 故所求的直线的方程为 2x﹣3y+8=0, 故选:D. 【点评】本题主要考查利用待定系数法求直线的方程,属于基础题. 5. 从编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验, 若 5 ( ) 采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 枚导弹的编号可能是 A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43 C.1,2,3,4,5 D.2,4,8,16,32 【考点】系统抽样方法. 【专题】计算题.

【分析】由系统抽样的特点知,将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔 要求相等, 这时间隔一般为总体的个数除以样本容量. 从所给的四个选项中可以看出间隔相 等且组距为 10 的一组数据是由系统抽样得到的. 【解答】解:从 50 枚某型导弹中随机抽取 5 枚, 采用系统抽样间隔应为 =10,

只有 B 答案中导弹的编号间隔为 10, 故选 B. 【点评】一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的若干 部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本. 6.已知圆 C:x2+y2﹣4x=0,l 为过点 P(3,0)的直线,则( A.l 与 C 相交 B.l 与 C 相切 C.l 与 C 相离 D.以上三个选项均有可能 )

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题. 【分析】将圆 C 的方程化为标准方程,找出圆心 C 坐标和半径 r,利用两点间的距离公式求 出 P 与圆心 C 间的长,记作 d,判断得到 d 小于 r,可得出 P 在圆 C 内,再由直线 l 过 P 点, 可得出直线 l 与圆 C 相交. 【解答】解:将圆的方程化为标准方程得: (x﹣2)2+y2=4, ∴圆心 C(2,0) ,半径 r=2, 又 P(3,0)与圆心的距离 d= ∴点 P 在圆 C 内,又直线 l 过 P 点, 则直线 l 与圆 C 相交. 故选 A. 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,两点间的距离公 式,以及点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系由 d 与 r 的关系来确定:当 d<r 时,直 线与圆相交;当 d=r 时,直线与圆相切;当 d>r 时,直线与圆相离(d 表示圆心到直线的距 离,r 为圆的半径) . 7.下列各数中最小的数是( A.111 111(2) B.210(6) ) C.1 000(4) D.110(8) =1<2=r,

【考点】进位制. 【专题】计算题;操作型;分析法;算法和程序框图. 【分析】2 进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数×该数位的权重,其他进制 数转化为十进制方法相同. 【解答】解:把 A、B、C、D 项数都换成十进制数,那么, 111 111(2)=1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20=63, 210(6)=2×62+1×6+0×60=78, 1 000(4)=1×43=64, 110(8)=1×82+1×81+0×80=72, 故通过比较可知 A 中数最小. 故选:A.

【点评】本题主要考查了任意进制数转化为十进制数的方法,属于基础题. 8.某班级统计一次数学测试后的成绩,并制成了如下的频率分布表,根据该表估计该班级 ) 的数学测试平均分为( [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 分组 人数 频率 A.80 5 0.1 B.81 C.82 15 0.3 D.83 20 0.4 10 0.2

【考点】众数、中位数、平均数. 【专题】概率与统计. 【分析】根据频率分布表,利用平均数的计算公式即可得到结论. 【解答】解:根据平均数的公式可知该班的数学测试平均数为 65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82, 故选:C 【点评】本题主要考查统计的知识,利用频率分别表中的数据,结合平均数的计算公式是解 决本题的关键,比较基础. 9.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y﹣5=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A、B 两点,则弦 AB ) 的长等于( A.3 B.2 C. D.1 【考点】直线与圆相交的性质. 【专题】直线与圆. 【分析】由直线与圆相交的性质可知, 线 3x+4y﹣5=0 的距离 【解答】解:由题意可得,圆心(0,0)到直线 3x+4y﹣5=0 的距离 , ,要求 AB,只要求解圆心到直

则由圆的性质可得,



即 . 故选 B 【点评】本题主要考查了直线与圆相交性质的应用,点到直线的距离公式的应用,属于基础 试题 10.执行两次如图所示的程序框图,若第一次输入的 a 的值为﹣1.2,第二次输入的 a 的值 ) 为 1.2,则第一次、第二次输出的 a 的值分别为(

A.0.2,0.2 B.0.2,0.8 C.0.8,0.2 D.0.8,0.8 【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图. 【分析】计算循环中 a 的值,当 a≥1 时不满足判断框的条件,退出循环,输出结果即可. 【解答】解:若第一次输入的 a 的值为﹣1.2,满足上面一个判断框条件 a<0, 第 1 次循环,a=﹣1.2+1=﹣0.2, 第 2 次判断后循环,a=﹣0.2+1=0.8, 第 3 次判断,满足上面一个判断框的条件退出上面的循环,进入下面的循环, 不满足下面一个判断框条件 a≥1,退出循环,输出 a=0.8; 第二次输入的 a 的值为 1.2,不满足上面一个判断框条件 a<0,退出上面的循环,进入下面 的循环, 满足下面一个判断框条件 a≥1, 第 1 次循环,a=1.2﹣1=0.2, 第 2 次判断后不满足下面一个判断框的条件退出下面的循环,输出 a=0.2; 故选 C. 【点评】本题考查循环结构的应用,注意循环的结果的计算,考查计算能力. 11.已知 x 与 y 之间的一组数据: x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程为 =2.1x+0.85,则 m 的值为( A.1 B.0.85 C.0.7 D.0.5 )

【考点】线性回归方程. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数,写出这组数据的样本中心点,把样本中心点 代入线性回归方程求出 m 的值.

【解答】解:∵ =

= , ) ,

=



∴这组数据的样本中心点是( ,

∵关于 y 与 x 的线性回归方程 =2.1x+0.85, ∴ =2.1× +0.85,解得 m=0.5,

∴m 的值为 0.5. 故选:D. 【点评】本题考查回归分析,考查样本中心点满足回归直线的方程,考查求一组数据的平均 数,是一个运算量比较小的题目,并且题目所用的原理不复杂,是一个好题.

12.如图给出的是计算 + + +…+

的值的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是

(

)

A.i≤1 005? B.i>1 005?

C.i≤1 006? D.i>1 006?

【考点】程序框图. 【专题】计算题;图表型;试验法;算法和程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,计算出 S 的值, 再根据已知判断退出条件. 【解答】解:第一次循环:S= ,i=2; 第二次循环:S= + ,i=3; … 第 1 006 次循环:S= + + +…+ ,i=1 007,此时跳出循环,

故判断框内应填入 i≤1 006?, 故选:C. 【点评】本题根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,属于基础题. 二、填空题: (本大题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分,把最简答案填写在答题卡的横线上) 13.直线 ax+my﹣2a=0(m≠0)过点(1,1) ,则该直线的倾斜角为 135°.

【考点】直线的倾斜角. 【专题】计算题. 【分析】将(1,1)代入,直线 ax+my﹣2a=0(m≠0)可得答案. 【解答】解:∵直线 ax+my﹣2a=0(m≠0)过点(1,1) , ∴a+m﹣2a=0, ∴m=a. 设直线 ax+my﹣2a=0(m≠0)的倾斜角为 θ(0°≤θ<180°) ,其斜率 k=tanθ=﹣ =﹣1, ∴θ=135° 故答案为:135° 【点评】本题考查直线的倾斜角,求得直线的斜率是关键,属于基础题. 14. 某市为增强市民的节约粮食意识, 面向全市征召务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中 随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组[20,25) ,第 2 组[25,30) ,第 3 组[30,35) ,第 4 组 [35,40) ,第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示.若用分层抽样的方法从第 3, 4,5 组中共抽取了 12 名志愿者参加 l0 月 16 日的“世界粮食日”宣传活动,则从第 4 组中抽 取的人数为 4.

【考点】频率分布直方图;分层抽样方法. 【专题】概率与统计. 【分析】直接利用频率分布直方图,求出各组的频率,然后求出频数.再利用分层抽样的方 法求出第 4 组中抽取的人数. 【解答】解:由题意可知第 3 组的频率为 0.06×5=0.3, 第 4 组的频率为 0.04×5=0.2, 第 5 组的频率为 0.02×5=0.1; 第 3 组的人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的人数为 0.1×100=10; 因为第 3,4,5 组共有 12 名志愿者, 所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者, 第 4 组中抽取的人数为 ×12=4.

故答案为:4. 【点评】本题考查分层抽样方法,频率分布直方图,考查计算能力. 15.某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的 p 为 l6,则输出的 n 的值为 4.

【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,n 的值,可得当 S=18 时不满足 条件 S<p,退出循环,输出 S 的值为 18,n 的值为 4. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 p=16,n=1,S=0 满足条件 S<p,S=3,n=2 满足条件 S<p,S=9,n=3 满足条件 S<p,S=18,n=4 不满足条件 S<p,退出循环,输出 S 的值为 18,n 的值为 4. 故答案为:4. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,正确写出每次循环得到的 S 的值是解题的关键, 属于基础题. 16.已知 f(x)=x4+4x3+6x2+4x+1,则 f(9)=10000. 【考点】函数的值. 【专题】计算题;方程思想;综合法;函数的性质及应用;算法和程序框图. 【分析】由已知得 f(x)=( ( (x+4)x+6)x+4)x+1,由此能求出 f(9)的值. 4 【解答】解:∵f(x)=x +4x3+6x2+4x+1, ∴f(x)=( ( (x+4)x+6)x+4)x+1, v0=1,v1=9+4=13,v2=13×9+6=123, v3=123×9+4=1111,v4=1111×9+1=10000, ∴f(9)=10000. 故答案为:10000. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意秦九韶算法的合理运 用. 17.一个总体分为 A,B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本.已知 B 层中每个个体被抽到的概率都为 ,则总体中的个体数为 120.

【考点】分层抽样方法;等可能事件的概率. 【专题】计算题.

【分析】本题考查分层抽样,抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同,这是解决一部分抽 样问题的依据,样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率,这三者可以知二求一. 【解答】解:∵B 层中每个个体被抽到的概率都为 ∴总体中每个个体被抽到的概率是 , =120 ,

∴由分层抽样是等概率抽样得总体中的个体数为 10÷

故答案为:120. 【点评】抽样选用哪一种抽样形式,要根据题目所给的总体情况来决定,若总体个数较少, 可采用抽签法,若总体个数较多且个体各部分差异不大,可采用系统抽样,若总体的个体差 异较大,可采用分层抽样. 18.如图是某高三学生进入高中三年来第 1 次到 14 次的数学考试成绩茎叶图,根据茎叶图 计算数据的中位数为 94.5.

【考点】茎叶图. 【专题】概率与统计. 【分析】根据中位数的概念和茎叶图中的数据,即可得到数据中的中位数. 79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114, 【解答】 解: 从茎叶图中可知 14 个数据排序为: 所以中位数为 94 与 95 的平均数 94.5. 故答案为:94.5. 【点评】本题主要考查茎叶图的应用,以及中位数的求法,要注意在求中位数的过程中,要 把数据从小到大排好,才能确定中位数,同时要注意数据的个数. 三. 解答题 (本大题共 5 小题, 共 60 分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) . 19.给出 30 个数:1,2,4,7,…,其规律是:第 1 个数是 1,第 2 个数比第 1 个数大 1, 第 3 个数比第 2 个数大 2,第 4 个数比第 3 个数大 3,依此类推.要计算这 30 个数的和,现 已给出了该问题算法的程序框图(如图所示) : (1)图中①处和②处应填上什么语句,使之能完成该题算法功能; (2)根据程序框图写出程序.

【考点】伪代码;循环结构. 【专题】综合题. 【分析】 (1)由已知中参加累加的数共有 30 个,且循环变量 i 的初值为 1,步长为 1,故进 入循环的条件应为 i≤30,再由满足①处条件时,进行循环,即可得到满足条件的结论,而 ②的功能显然是累加,由已知中的累加法则,即可得到答案. (2)由已知中程序的框图,我们可使用“当”型 循环结构来编写程序,根据已知中各变量的 初值及循环体中的语句,可得程序语句. 【解答】解: (1)①处应填 i≤30. ; ②处应填 p=p+i; (2)程序如下所示 i=1 p=1 S=0 WHILE i<=30 S=S+p p=p+i i=i+1 WEND PRINT S 【点评】本题考查的知识点是伪代码及循环结构,其中根据已知中累加运算的规则,求出满 足条件的语句,进而再写出对应的程序语句是解答本题的关键. 20.如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图, 已知图中第一组的频数为 4000.请根据该图提供的信息解答下列问题: (图中每组包括左端 点,不包括右端点,如第一组表示收入在[1000,1500) (1)求样本中月收入在[2500,3500)的人数; (2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系,必须从样本的各组中按月收入再用 分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析,则月收入在[1500,2000)的这段应抽多少人? (3)试估计样本数据的中位数.

【考点】众数、中位数、平均数;频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)根据频率分布直方图,求出各段的频率,然后再求[2500,3500)的人数; (2)根据抽样方法,选取抽样的人数, (3)根据求中位数的方法即可. 【解答】解: (1)∵月收入在[1000,1500]的频率为 0.0008×500=0.4,且有 4000 人, ∴样本的容量 n= ,

月收入在[1500,2000)的频率为 0.0004×500=0.2, 月收入在[2000,2500)的频率为 0.0003×500=0.15, 月收入在[3500,4000)的频率为 0.0001×500=0.05, ∴月收入在[2500,3500)的频率为;1﹣(0.4+0.2+0.15+0.05)=0.2, ∴样本中月收入在[2500,3500)的人数为:0.2×10000=2000. (2)∵月收入在[1500,2000)的人数为:0.2×10000=2000, ∴再从 10000 人用分层抽样方法抽出 100 人,则月收入在[1500,2000)的这段应抽取 (人) . (3)由(1)知月收入在[1000,2000)的频率为:0.4+0.2=0.6>0.5, ∴样本数据的中位数为: =1500+250=1750(元) .

【点评】本题考查了频率分布直方图,样本,中位数,只有会识图,问题就很好解决. 21.某单位有 2000 名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门 中,如表所示: 人数 管理 技术开发 营销 生产 共计 40 40 40 80 200 老年 80 120 160 240 600 中年 40 160 280 720 1 200 青年 160 320 480 1 040 2 000 小计 (1)若要抽取 40 人调查身体状况,则应怎样抽样? (2)若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人? (3)若要抽取 20 人调查对广州亚运会举办情况的了解,则应怎样抽样? 【考点】分层抽样方法. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)用分层抽样方法从老年人、中年人和青年人中抽取对应的人数即可; (2)用分层抽样法从管理层、技术开发部、营销部以及生产部抽取对应的人数即可;

(3)用分层抽样方法从老年人、中年人和青年人中抽取对应的人数即可. 【解答】解: (1)因为总体是由差异比较明显的几部分组成, 所以要抽取 40 人调查身体状况,应用分层抽样方法, 从老年人中抽取 40× 从中年人中抽取 40× 从青年人中抽取 40× =4 人, =12 人, =24 人;

(2)要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,应用分层抽样法, 从管理层抽取 25× 从技术开发部抽取 25× 从营销部抽取 25× 从生产部抽取 25× =2 人, =4 人, =6 人, =13 人;

(3)要抽取 20 人调查对广州亚运会举办情况的了解,应用分层抽样方法, 从老年人中抽取 20× 从中年人中抽取 20× 从青年人中抽取 20× =2 人, =6 人, =12 人.

【点评】本题考查了分层抽样方法的灵活应用问题,是基础题目. 22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2﹣6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x﹣y+a=0 交与 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. 【考点】圆的标准方程;直线与圆相交的性质. 【专题】直线与圆. 【分析】 (Ⅰ)法一:写出曲线与坐标轴的交点坐标,利用圆心的几何特征设出圆心坐标, 构造关于圆心坐标的方程,通过解方程确定出圆心坐标,进而算出半径,写出圆的方程; 法二:可设出圆的一般式方程,利用曲线与方程的对应关系,根据同一性直接求出参数, (Ⅱ)利用设而不求思想设出圆 C 与直线 x﹣y+a=0 的交点 A,B 坐标,通过 OA⊥OB 建立 坐标之间的关系,结合韦达定理寻找关于 a 的方程,通过解方程确定出 a 的值. 1) 【解答】 解: (Ⅰ) 法一: 曲线 y=x2﹣6x+1 与 y 轴的交点为 (0, , 与 x 轴的交点为 (3+2 , 0) , (3﹣2 ,0) .可知圆心在直线 x=3 上,故可设该圆的圆心 C 为(3,t) ,则有 32+(t ﹣1)2=(2 )2+t2,解得 t=1,故圆 C 的半径为 ,所以圆 C 的方程

为(x﹣3)2+(y﹣1)2=9. 法二:圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 x=0,y=1 有 1+E+F=0

y=0,x2 ﹣6x+1=0 与 x2+Dx+F=0 是同一方程,故有 D=﹣6,F=1,E=﹣2, 即圆方程为 x2+y2﹣6x﹣2y+1=0 (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,其坐标满足方程组 ,消去 y,得到方程 2x2+(2a﹣8)x+a2﹣2a+1=0,由已 知可得判别式△ =56﹣16a﹣4a2>0. 在此条件下利用根与系数的关系得到 x1+x2=4﹣a,x1x2= ①,

由于 OA⊥OB 可得 x1x2+y1y2=0,又 y1=x1+a,y2=x2+a,所以可得 2x1x2+a(x1+x2)+a2=0② 由①②可得 a=﹣1,满足△ =56﹣16a﹣4a2>0.故 a=﹣1. 【点评】本题考查圆的方程的求解,考查学生的待定系数法,考查学生的方程思想,直线与 圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想, 考查垂直问题的解决思想, 考查学生分析问题 解决问题的能力,属于直线与圆的方程的基本题型. 23.一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如表所示: A1 A2 A3 A4 A5 学生 89 91 93 95 97 数学(x 分) y 87 89 89 92 93 物理( 分) (1)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图. (2)并求这些数据的线性回归方程 =bx+a.附:线性回归方程 y=bx+a 中,

b=

=

其中 , 为样本平均值,线性回

归方程也可写为

=

x+



【考点】线性回归方程. 【专题】综合题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】 (1)利用所给数据,可得散点图; (2)由已知求出 x,y 的平均数,从而求出物理分 y 对数学分 x 的回归方程. 【解答】解: (1)散点图如图所示



(2)可求得 = b=

=93, =

=90,…

=0.75,a=90﹣0.75×93=20.25,…

故 y 关于 x 的线性回归方程是:y=0.75x+20.25.… 【点评】本题考查回归方程的求法,考查学生的计算能力,属于中档题.


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