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2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)—数学(理)解析版

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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)

数学(理科)
一、选择题 1. 集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x2 ? 4} ,则 M A. (1, 2) B. [1, 2)

N ?(

) D. [1, 2]

C. (1, 2]

【解析】 M ? x x ? 1 , N ? x ? 2 ? x ? 2 ,则 M ? N ? x 1 ? x ? 2 ,故选 C 2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y ? x ? 1 B. y ? ? x 3 ) C. y ?

?

?

?

?

?

?

1 x

D. y ? x | x |

【解析】选项中是奇函数的有 B、C、D,增函数有 D,故选 D 3. 设 a, b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【解析】 “ ab ? 0 ”则 a ? 0 或 b ? 0 , “复数 a ? “ ab ? 0 ”是“复数 a ?

b 为纯虚数”的( i



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

b 为纯虚数”则 a ? 0 且 b ? 0 ,则 i

b 为纯虚数”的必要不充分条件,故选 B i


4. 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , l 过点 P(3, 0) 的直线,则( A. l 与 C 相交 C. l 与 C 相离

B. l 与 C 相切 D.以上三个选项均有可能

【解析】点 P(3, 0) 在圆内,则 l 必与 C 相交,故选 A 5. 如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC ? A1B1C1 , CA ? CC1 ? 2CB ,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余 弦值为( A. )

5 5 2 5 5

B.

5 3
3 5

C.

D.

【解析】设 CB ? 1 ,则 AB1 ? ?? 2,2,1? , BC1 ? ?0,2,?1? , 则 cos ? AB1 , BC1 ??

AB1 ? BC1 AB1 BC1

?

5 ,故选 A 5

6. 从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示) , 西安恒谦教育科技股份有限公司
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设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 , x乙 ,中位数分别为 m甲 , m乙 ,则( A. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 B. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 C. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 D. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 【解析】经计算得: x 甲=21.5625, x 乙=28.5625, m 甲=20, m 乙=29,故选 B 7. 设函数 f ( x) ? xe x ,则( A. x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点 C. x ? ?1 为 f ( x ) 的极大值点 ) B. x ? 1 为 f ( x ) 的极小值点 D. x ? ?1 为 f ( x ) 的极小值点 )

[来源:学,科,网]

【解析】 f ( x) ? xe x , f x' ? e x ?x ? 1? , e x ? 0 恒成立,令 f x' ? 0 ,则 x ? ?1 当 x ? ?1 时, f x' ? 0 ,函数单调减,当 x ? ?1 时, f x' ? 0 ,函数单调增, 则 x ? ?1 为 f ( x ) 的极小值点,故选 D

8. 两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为 不同情形)共有( ) A.10 种 B.15 种 C.20 种 D.30 种 【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的,所以假设甲赢的情况如下: 若两人进行 3 场比赛,则情况只有是甲全赢 1 种情况;
1 若两人进行 4 场比赛,第 4 场比赛必为甲赢前 3 场任选一场乙赢为 C3 ? 3 种情况;
2 若两人进行 5 场比赛,第 5 场比赛必为甲赢前 4 场任选一场乙赢为 C 4 ? 6 种情况;

综上,甲赢有 10 种情况,同理,乙赢有 10 种情况, 则所有可能出现的情况共 20 种,故选 C
2 2 2 9. 在 ?ABC 中角 A 、 B 、 C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cos C 的最小值为(



A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

【解析】 cosC ?

a 2 ? b 2 ? c 2 2c 2 ? c 2 1 ? 2 ? ,故选 C 2ab 2 a ? b2
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10. 右图是用模拟方法估计圆周率 ? 的程序框图, P 表示估计结果,则图中空白框内应填 入( )

N 1000 4N B. P ? 1000 M C. P ? 1000 4M D. P ? 1000
A. P ?

【解析】M 表示落入扇形的点的个数,1000 表示落入正方形的点的个数, 则点落入扇形的概率为

M , 1000

由几何概型知,点落入扇形的概率为 则P ?? ?

? , 4

4M ,故选 D 1000

二. 填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 观察下列不等式

1 3 ? 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? , 2 3 4 4 1?
…… 照此规律,第五个 不等式为 ... 【答案】 1 ? .

1 1 1 1 1 11 ? 2? 2? 2? 2 ? 2 2 3 4 5 6 6

【解析】观察不等式的左边发现,第 n 个不等式的左边= 1 ?

1 1 1 , ? 2 ?L? 2 2 3 ?n ? 1?2

右边=

2?n ? 1? ? 1 1 1 1 1 1 11 ,所以第五个不等式为 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? . n ?1 2 3 4 5 6 6
2

12. (a ? x)5 展开式中 x 的系数为 10, 则实数 a 的值为 【答案】1
r 5? r r 2 3 2 【解析】∵ Tr ?1 ? C5 a x ,令 r ? 2 ,则 T3 ? C5 ax ,
2 2 3 又∵ x 的系数为 10,则 C5 a ? 10,∴ a ? 1



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13. 右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米.

【答案】 2 6 【解析】建立如图所示的直角坐标系,使拱桥的顶点 O 的坐标为(0,0) , 设 l 与抛物线的交点为 A、B,根据题意知 A(-2,-2) ,B(2,-2) 设抛物线的解析式为 y ? ax2 ,则有 ? 2 ? a ? ?? 2? ,∴ a ? ?
2

1 2

∴抛物线的解析式为 y ? ?

1 2 x 2

水位下降 1 米,则 y=-3,此时有 x ? ∴此时水面宽为 2 6 米。 14. 设函数 f ( x) ? ?

6或x?? 6

?ln x, x ? 0 ,D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 (1, 0) 处的切线所围成的封闭区 ??2 x ? 1, x ? 0


域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为 【答案】2
' 【解析】当 x ? 2 时, f ? x ? ?

1 , f ' ?1? ? 1 ,∴曲线在点 (1, 0) 处的切线为 y ? x ? 1 x

则根据题意可画出可行域 D 如右图: 目标函数 y ?

1 1 x? z, 2 2

当 x ? 0 , y ? ?1 时,z 取得最大值 2 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A. (不等式选做题)若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围是 【答案】 ? 2 ? a ? 4 【解析】 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 表示在数轴上,a 到 1 的距离小于等于 3,即 a ? 1 ? 3 , 则?2 ? a ? 4 B. (几何证明选做题)如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E, EF ? DB ,垂足为 F,若 AB ? 6 , AE ? 1 ,则 DF ? DB ? . 【答案】5 【解析】∵ AB ? 6 ,则圆的半径为 3,连接 OD,则 OD=3 又 AE ? 1 ,则 OE=2
[来源:学科网 ZXXK] [来源:学+科+网]



2 2 2 在直角三角形 OED 中, ED ? OD ? OE ? 5

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根据射影定理,在直角三角形 EDB 中, DF ? DB ? ED2 ? 5

C. (坐标系与参数方程)直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2cos ? 相交的弦长为 【答案】 3 【解析】 2 ? cos ? ? 1 是过点 ? ,0 ? 且垂直于极轴的直线,
2



?1 ? ?2 ?

?1? ? ? 2cos? 是以 ?1,0? 为圆心,1 为半径的圆,则弦长= 2 1 ? ? ? ? 3 . ?2?
三、解答题 16.(本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ?

[来源:学&科&网]

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为

? , 2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

【解析】 (Ⅰ)∵函数 f ? x ? 的最大值是 3,∴ A ? 1 ? 3 ,即 A ? 2 。

? ,∴最小正周期 T ? ? ,∴ ? ? 2 。 2 ? 故函数 f ? x ? 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 。 6 ? ? ? 1 (Ⅱ)∵ f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 2 ,即 sin(? ? ) ? , 2 6 6 2 ? ? ? ? ? ? ? ∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ,故 ? ? 。 2 6 6 3 6 6 3
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 17.(本小题满分 12 分) 设 ?an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 a5 , a3 , a4 成等差数列. (1)求数列 ?an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列.

【解析】 (1)设数列 ?an ? 的公比为 q ( q ? 0,q ? 1) 。 由 a5,a3,a4 成等差数列,得 2a3 ? a5 ? a4 ,即 2a1q2 ? a1q4 ? a1q3 。 西安恒谦教育科技股份有限公司
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由 a1 ? 0,q ? 0 得 q2 ? q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? ?2 , q2 ? 1 (舍去) ,所以 q ? ?2 。 (2)证法一:对任意 k ? N ? ,

Sk ?2 ? Sk ?1 ? 2Sk ? ? Sk ?2 ? Sk ? ? ? Sk ?1 ? Sk ?

? ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?1

? 2ak ?1 ? ak ?1 ? ? ?2? ? 0 ,
所以,对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列。

证法二:对任意 k ? N ? , 2 S k ?

2a1 ?1 ? q k ? 1? q ?



Sk ?2 ? Sk ?1 ?

a1 ?1 ? q k ? 2 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q k ?1 ? 1? q

a1 ? 2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ? 1? q



2Sk ? ? Sk ? 2 ? Sk ?1 ? ?
?

2a1 ?1 ? q k ? 1? q

?

a1 ? 2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ? 1? q

a1 ? 2 ?1 ? q k ? ? ? 2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ?? ? 1? q ?

?

a1q k 2 ? q ? q ? 2? ? 0 , 1? q
Sk , Sk ?1 成等差数列。

因此,对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

18. (本小题满分 12 分) (1)如图,证明命题“ a 是平面 ? 内的一条直线, b 是 ? 外的一条直线( b 不垂直于 ? ) , c 是直线 b 在 ? 上的 投影,若 a ? b ,则 a ? c ”为真. (2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)

【解析】 (Ⅰ)证法一 如图,过直线 b 上一点作平面 ? 的垂线 n ,设直线 a , b , c , n 的方向向量分别是 a ,

b , c , n ,则 b , c , n 共面.根据平面向量基本定理,存在实数 ? , ?
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使
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c ? ?b ? ?n ,则 a ? c ? a ? (?b ? ?n) ? ? (a ? b) ? ? (a ? n) ,因为 a ? b ,所以 a ? b ? 0 ,
又因为 a ? ? , n ? ? ,所以 a ? n ? 0 ,故 a ? c ? 0 ,从而 a ? c . 证法二 如 图 , 记 c ? b ? A , P 为 直 线 b 上 异 于 点 A 的 任 意 一 点 , 过 P 作 PO ? ? , 垂 足 为 O , 则

O ? c .? PO ? ? , a ? ? , b ? 平面 PAO , PO ? b ? P ,? a ? 平面 PAO , ? 直线 PO ? a , 又a ? b , 又c ?
平面 PAO , ? a ? c . (Ⅱ)逆命题为:a 是平面 ? 内的一条直线,b 是平面 ? 外的一条直线 ( b 不垂直于

?) , c 是直线 b 在 ? 上的投影,若 a ? b ,则 a ? c .逆命题为真命题
19. (本小题满分 12 分)

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 已知椭圆 C1 : 4
(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程. 【解析】 (Ⅰ)由已知可设椭圆 C2

y2 x2 ? ? 1?a? 2? 的方程为 a 2 , 4

a2 ? 4 3 3 a?4 ? 其离心率为 2 ,故 , a 2 ,则
C 故椭圆 2 的方程为
y2 x2 ? ?1 16 4

(Ⅱ)解法一 A, B 两点的坐标分别为 ?x A , y A ?, ?x B , y B ? , 由 AB ? 2OA 及(Ⅰ)知, O, A, B 三点共线且点 A, B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y ? kx .

将 y ? kx 代入

x2 4 2 ? ? y 2 ? 1 中,得 1 ? 4k 2 x 2 ? 4 ,所以 x A , 4 1 ? 4k 2

?

?

将 y ? kx 代入

y2 x2 16 2 2 2 xB ? ? ?1 4 ? k x ? 16 中,得 ,所以 4? k2 , 16 4

?

?

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2 2 ,即 ? 4x A AB ? 2OA ,得 xB

又由 解得

16 16 ? , 2 4?k 1 ? 4k 2

k ? ?1 ,故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x
A, B 两点的坐标分别为 ?x A , y A ?, ?xB , y B ? ,

解法二

由 AB ? 2OA 及(Ⅰ)知, O, A, B 三点共线且点 A, B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y ? kx .

将 y ? kx 代入

x2 4 2 ? ? y 2 ? 1 中,得 1 ? 4k 2 x 2 ? 4 ,所以 x A , 4 1 ? 4k 2 16k 2 16 2 y ? , , B 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

?

?

2 ? AB ? 2OA ,得 x B 又由

y2 x2 4? k2 ? ?1 ? 1 ,即 4 ? k 2 ? 1 ? 4k 2 , 将 x , y 代入 2 中,得 16 4 1 ? 4k
2 B 2 B

解得

k ? ?1 ,故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x

20.(本小题满分 13 分) 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务 所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频 率 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望. 【解析】设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,的 Y 的分布如下: Y P 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

(1) A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务” ,则时间 A 对应三种情形: ① 一个谷歌办理业务所需时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟; ② 第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟; ③ 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟。 所以 P( A) ? P(Y ? 1) P(Y ? 3) ? P(Y ? 3) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2) P(Y ? 2)
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? 0.1? 0.3 ? 0.3 ? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.22
(2)解法一:X 所有可能的取值为:0,1,2. X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 P( X ? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5 ;X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所 需时间超过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟,所以

P( X ? 1) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2)

0.1 ? 0.9 ? 0.4 ? 0.49 ;
X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟,所以

P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01;
所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

EX ? 0 ? 0.5 ? 1 ? 0.49 ? 2 ? 0.01 ? 0.51 .
解法二:X 所有可能的取值为 0,1,2. X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,所以

P( X ? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5 ;
X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟,所以

P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01; P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 2) ? 0.49 ;
所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

EX ? 0 ? 0.5 ? 1 ? 0.49 ? 2 ? 0.01 ? 0.51 。
21. (本小题满分 14 分) 设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c (1)设 n ? 2 , b ? 1,
[来源:学科网]

(n ? N? , b, c ? R)

?1 ? c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ?
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(2)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设 xn 是 f n ( x) 在 ?

?1 ? ,1? 内的零点,判断数列 x2 , x3 , ?2 ?

, xn

的增减性.

【解析】 (1) b ? 1, c ? ?1, n ? 2时,f n ( x) ? x n ? x ? 1

1 1 1 1 ? f n ( ) f n (1) ? ( n ? ) ? 1 ? 0,? f n ( x)在( , 1) 内存在零点。 2 2 2 2 1 ' n ?1 又当 x ? ( ,1)时, f n( x) ? nx ? 1 ? 0, 2 1 1 ? f n ( x)在( , 1)上是单调递增的,? f n ( x)在( , 1)内存在唯一零点。 2 2
(2)当 n=2 时, f 2 ( x) ? x 2 ? bx ? c 对任意 x1 , x2 ?[?1,1]都有 f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ? 4等价于 f 2 ( x)在[?1,1] 上的最大值与最小值之差 M ? 4 , 据 此分类讨论如下: (Ⅰ) 当

b ? 1,即 b ? 2时, 2

M ? f 2 (1) ? f 2 (?1) ? 2 b ? 4, 与题设矛盾。
b ? 0,即0 ? b ? 2时, 2 b b M ? f 2 (1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4, 恒成立 。 2 2 b (Ⅲ) 当0 ? - ? 1, 即 - 2 ? b ? 0时, 2 b b M ? f 2 (-1) ? f 2 (? ) ? ( - 1) 2 ? 4, 恒成立 。 2 2
(Ⅱ) 当 - 1 ? 综上可知, - 2 ? b ? 2 。 注:(Ⅱ) (Ⅲ)也可合并并证明如下:

a, b}表示a, b中的较大者 用 max{
当 -1 ? -

b ? 1, 即 - 2 ? b ? 2时, 2

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b M ? max{f 2 (1), f 2 (?1), f 2 (? )} 2 f (?1) ? f 2 (1) f 2 (?1) ? f 2 (1) b ? 2 ? ? f 2 (? ) 2 2 2 2 b ? 1 ? c ? b ? (? ? c) 4 b ? (1 ? ) 2 ? 4恒成立。 2 1 1)内的唯一零点( n ? 2) (3)证法一:设 x n 是f n ( x)在( , , 2 1 n n ?1 f n ( xn ) ? xn ? x n ? 1 ? 0, f n ?1 ( x n ?1 ) ? x n ?1 ? x n ?1 ? 1 ? 0, x n ?1 ? ( ,1) 2
n?1 于是有 f n ( xn ) ? 0 ? f n?1 ( xn?1 ) ? xn ?1 ? xn?!? 1 ? f n ( xn?1 ) ,

1)上市递增的,故 x n ? x n ?1 (n ? 2) , 又由(1)知 f n ( x)在( ,
所以,数列 x2 , x3 ,....xn ,....... 是递增数列

1 2

1)内的唯一零点 , 证法二:设 x n 是f n ( x)在( ,
n?1 n?1 n f n?1 ( xn ) f n?1 (1) ? ( xn ? xn ? 1)(1n?1 ? 1 ? 1) ? xn ? xn ? 1 ? xn ? xn ? 1 ? 0 ,

1 2

则 f n?1 ( x)的零点xn?1在(xn ,1 )内,故xn ? xn? ( ) , 1 n?2 所以,数列 x2 , x3 ,....xn ,....... 是递增数列

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