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2019高考数学考点突破——空间向量与立体几何(理科专用):立体几何中的向量方法(二)求空间角

最新中小学教案、试题、试卷 立体几何中的向量方法(二)求空间角 【考点梳理】 1.异面直线所成的角 设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量,则 a 与 b 的夹角 β 范围 (0,π ) l1 与 l2 所成的角 θ 求法 a·b cos β = |a||b| |a·b| cos θ =|cos β |= |a||b| 2.求直线与平面所成的角 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成的角为 θ ,则 sin |a·n| θ =|cos〈a,n〉|= . |a||n| 3.求二面角的大小 (1)如图①,AB,CD 是二面角 α -l-β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 → → θ =__〈AB,CD〉. (2)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α -l-β 的两个半平面 α ,β 的法向量,则二面角 的大小 θ 满足|cos θ |=|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补 角). 【考点突破】 考点一、利用空间向量求异面直线所成的角 【例 1】在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA =CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( 1 A. 10 C. 30 10 ) 2 B. 5 D. 2 2 [答案] C [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz,设 BC=2,则 B(0,2,0),A(2,0,0), 最新中小学教案、试题、试卷 M(1,1,2),N(1,0,2),所以BM=(1,-1,2),AN=(-1,0,2),故 BM 与 AN 所成角 θ 的 → → |BM·AN| 3 30 余弦值 cos θ = = = . → → 6× 5 10 |BM|·|AN| → → 【类题通法】 1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是:①选好基底或建立空间直角坐标系;②求 |v1·v2| 出两直线的方向向量 v1,v2;③代入公式|cos〈v1,v2〉|= 求解. |v1||v2| ? π? 2.两异面直线所成角的范围是 θ ∈?0, ?,两向量的夹角 α 的范围是[0,π ],当异面 2? ? 直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹 角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角. 【对点训练】 在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,AC 与 B1D 所成的角的大小为( π A. 6 [答案] C [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体边长为 1,则 A(0,0,0),C(1,1, 0),B1(1,0,1),D(0,1,0). → → ∴AC=(1,1,0),B1D=(-1,1,-1), → → ∵AC·B1D=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0, → → ∴AC⊥B1D, π ∴AC 与 B1D 所成的角为 . 2 π B. 4 π C. 3 D. ) π 2 最新中小学教案、试题、试卷 考点二、利用空间向量求直线与平面所成的角 【例 2】如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,B1B=B1A=AB=BC,∠B1BC=90°,D 为 AC 的中点, AB⊥B1D. (1)求证:平面 ABB1A1⊥平面 ABC; (2)求直线 B1D 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值. [解析] (1)取 AB 中点为 O,连接 OD,OB1, ∵B1B=B1A,∴OB1⊥AB. 又 AB⊥B1D,OB1∩B1D=B1, ∴AB⊥平面 B1OD, ∵OD? 平面 B1OD,∴AB⊥OD. ∵∠B1BC=90°,即 BC⊥BB1, 又 OD∥BC,∴OD⊥BB1,又 AB∩BB1=B, ∴OD⊥平面 ABB1A1, 又 OD? 平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 ABB1A1. (2)由(1)知,OB,OD,OB1 两两垂直. → → 以 O 为坐标原点,OB的方向为 x 轴的方向,|OB|为单位长度 1,建立如图所示的空间直角 坐标系 O-xyz. 由题设知 B1(0,0, 3),D(0,1,0),A(-1,0,0),C(1,2,0),C1(0,2, 3). → → → 则B1D=(0,1,- 3),AC=(2,2,0),CC1=(-1,0, 3). → ? ?m·AC=0, ?x+y=0, 设平面 ACC1A1 的一个法向量为 m=(x,y,z),则由? 得? 取 m= → - x + 3 z = 0 , ? ? ?m·CC1=0, 最新中小学教案、试题、试卷 ( 3,- 3,1). → B1D·m → ∴cos〈B1D,m〉= → |B1D||m| = 0× 3+1×(- 3)+(- 3)×1 0 +1 +(- 3) × ( 3) +(- 3) +1 21 . 7 2 2 2 2 2 2 =- 21 , 7 ∴直线 B1D 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值为 【类题通法】 利用向量法求线面角的方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或 其补角); (2)通过平面的法向量来求, 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补 角,取其余角就是斜线和平面所成的角. 【对点训练】 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面 ABC 为等腰直角三角形,AB=AC=1,BB1=2,∠ABB1= 60°. (1)证明:AB⊥B1C; (2)若 B1C=2,求 AC1 与平面 BCB1 所成角的正弦值. [解析] (1)连接 AB1,在△ABB1 中,AB=1,BB1=2,∠ABB1=60°, 由余弦定理得,AB1=AB +BB1-2AB·BB1·cos∠ABB1=3, ∴AB1= 3,∴BB1=AB +AB1, ∴AB1⊥AB. 又△ABC 为等腰直角三角形,且 AB=