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向量内积的坐标运算与距离公式教学设计


第七章

平面向量

7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式
【教学目标】 1. 掌握向量内积的坐标表示,并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题. 2. 能够根据平面向量的坐标,判断向量是否垂直. 3. 通过学习向量的坐标表示,使学生进一步了解数形结合思想,认识事物之间的相互联系,培养学生 辩证思维能力. 【教学重点】 向量内积的坐标表达式,向量垂直的充要条件,向量长度的计算公式的应用. 【教学难点】 向量内积的坐标表达式的推导,即 a·b=| a | | b | cos?a,b?与 a·b=a1b1+a2b2 两个式子的内在联系. 【教学方法】 本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法.向量内积的坐标表达式,是向量运算内容与形式的统 一.无论是向量的线性运算还是向量的内积运算,最终归结为直角坐标运算.教学中教师要引导学生抓住 这条线索,不断使学生的平面向量知识系统化、条理化,从而有利于学生知识体系的形成. 【教学过程】 环节 教学内容 1.已知非零向量 a 与 b ,则 a 与 b 的内积表达式是怎样的?由内积表达 导 入 式怎样求 cos?a,b?? 2. a?b ? ; 师生互动 教师提出问题. 学生回忆解答.师生共同 回忆旧知识. 师:对平面向量的内积的 研 究不能 仅仅 停留在 几何 角 度,还要寻求其坐标表示.引 出探究问题. 已知 e1,e2 是直角坐标平面上的基 向量,a=(a1,a2),b=(b1,b2),你能推 导出 a·b 的坐标公式吗? 探究过程 a·b=(a1e1+a2e2)·(b1e1+b2e2) 新 课 又因为 =a1b1e1·e1+a1b2e1·e2 +a2b1e1·e2+a2b2e2·e2, 学生讨论并回答,教师再 提出的下列问题: (1)(a1e1+a2e2)·(b1 e1+ b2 e2)是怎样进行运算的? (2) 1· 1, 2· 2 , 1· 2 e e e e e e 的内积是怎样计算的? 教师针对学生的回答进行 点评.师生共同写出详细的探 问题为复习向量 的线性运算和向量的 内积而设计.通过学 生的探究给出结论, 比直接给出更符合学 生的特点,容易被学 生接受.通过结论的 探究,让学生初步感 受到无论是向量的线 性运算还是向量的内 a·b=a1b1+a2b2. 积运算,最终都归结 为直角坐标运算. 设计意图 为知识迁移做准 备.

3. | a | 与 a·a有何关系?

e1·e1=1,e2·e2=1,e1·e2=0, 究过程. 所以

数学基础模块 下册

定理 在平面直角坐标系中,已知 e1,e2 是直角坐标平面上的基向量,两

教师给出向量内积的直角 坐标运算公式.并引导学生用

个非零向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2), 文字叙述. 则 a·b=a1b1+a2b2. 这就是说,两个向量的内积等于它 们对应坐标的乘积的和. 我们还可以得到以下结论: (1)向量垂直的充要条件为 a⊥b? a1 b1+a2 b2=0; (2)两向量夹角余弦的计算公式为 a1b1+a2b2 cos?a,b?= . 2 a1 +a22 b12+b22 在教师的引导下学生讨论 得出.

问题: (1)若已知 a=(a1,a2) ,你能用上面 新 课 的定理求出| a | 吗? 解 因为

教师提出问题, 稍加点拨. 学生讨论解答. 教师总结得出这就是根据 向量的坐标求向量长度的计算 公式.

通过对问题的详 细探究得到性质,比 直接给出结论更容易 被学生接受.同时加 深对 a· b=a1b1+a2b2 的理解.从而提高学 生的思维能力.

| a |2=a·a=(a1,a2)·(a1,a2) =a12+a22, 所以| a |= a12+a22. 这就是根据向量的坐标求向量长度 的计算公式. (2)若已知 A(x1,y1),B(x2,y2),你 → 能求出| AB| 吗? 解 因为 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 → AB=(x2-x1,y2-y1). 因为| a |= a12+a22,所以 → | AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2, 这就是根据两点的坐标求两点之间 的距离公式.

教师提出问题. 学生讨论解答. 教师总结得出这就是根据 两点的坐标求两点之间的距离 公式.

使刚刚学过的知 识及时得到应用.

例 1 设 a=(3,-1),b=(1,-2), 求:

学生尝试解答.教师针对 学生的回答进行点评.

通过例 1 可让学 生加深对向量内积的

第七章

平面向量

(1) a·b; (3) | b |; 解

(2) | a |; (4)?a,b?.

直角坐标运算公式及 向量的长度公式的理 解和记忆.

(1) a·b=3×1+(-1)×(-2) =3+2 =5;

(2) | a |= 32+(-1)2= 10; (3) | b |= 12+(—2)2= 5; (4) 因为 cos?a,b?=

a ?b 5 2 = = , 2 10× 5 | a || b |

π 所以?a,b?= . 4

例 2 已知 A(2,-4),B(-2,3), → 求| AB |. 解 新 课 以 → AB =(-2,3) -(2,-4) =(-4,7), → 所以| AB|= 72+(-4)2= 65. 因为 A(2,-4),B(-2,3),所

教师点拨,学生解答. 教师针对学生的回答进行 点评.

巩固公式,形成 技能.

例 3 已知 A(1,2),B(3,4),C(5, 0),求证:△ABC 是等腰三角形. 证明 因为 → AB =(3-1,4-2)=(2,2), → AC =(5-1,0-2)=(4,-2), → BC =(5-3,0-4)=(2,-4), → | AC|= 42+(-2)2= 20, → | BC|= 22+(-4)2= 20, → → 所以| AC|=| BC |.

教师点拨, 学生讨论解答. 小组讨论时教师巡视,并 针对学生的回答给予补充、完 善. 最后师生共同完成此题. 教 师给出具体的解题步骤.

在板书证明的过 程中,突出解题思路 与步骤.

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因此△ABC 是等腰三角形.

例 4 已知 A(1,2),B(2,3),C(-2, → → 5),求证: AB ? AC. 证明 因为 → AB =(2-1,3-2)=(1,1), → AC =(-2-1,5-2)=(-3,3), 新 课 可得 → → AB · AC =(1,1)·(-3,3)=0. → → 所以 AB ? AC .

教师点拨,学生解答. 教师针对学生的回答进行 点评.

通过学生讨论, 老师点拨,可以突出 解题思路,深化解题 步骤,分解难点.顺 利帮助学生完成.

练习 1.已知 A(1,2),B(2,3),C(-2, π 5),求证: ?BAC= . 2 2.已知点 P 的横坐标是 7,点 P 到 点 N(-1, 5)的距离等于 10, 求点 P 的坐 标. 本节课我们主要学习了平面向量内 积的坐标运算与距离公式,常见的题型 小 结 主要有: (1)直接用两向量的坐标计算内积; (2)根据向量的坐标求模; (3)根据两点坐标求两点间的距离; (4)判定两向量是否垂直. 作 业 教材 P56 练习 A 组第 1 题; 教材 P57 练习 B 组第 1 题(选做). 巩固拓展. 学生阅读课本,畅谈本节 课的收获,老师引导梳理,总 结本节课的知识点. 师生合作共同完成. 学习新知后紧跟 练习,有利于帮助学 生更好的梳理和总结 本节所学内容.有利 于教师检验学生的掌 握情况. 梳理总结也可针 对学生薄弱或易错处 进行强调和总结.


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