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一元二次方程解法复习课


一元二次方程复习

2 一 1、含有______个未知数,并且未知数的最高次数为_____的 整式 ______方程,称为一元二次方程。(三个条件缺一不可)

1、判断下列方程是否为一元二次方程.

(1)x2+x=36
1 (3)2 x ? ? 3 x (5)ax2+bx+c=0
2

(2)x2+3xy=36 (4)x2=x(x+1)+36
x (6) ?1 ? 0 7
2

若关于x的方程

(m ?1) x

m2 ?1

? (m ? 2) x ? 3 ? 0

1.是一元二次方程, 则m的取值范围是什么 2.是一元一次方程, 则m的取值范围是什么?

2、一般地,任何一个一元二次方程经过整理,都能化成如下 的形式: _________________________(其中____≠0 ) 二次项 这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中,ax2叫______ 一次项 常数项 二次项 一次项 bx叫_________,c叫________;a叫________系数,b叫_____ 常数项 系数,c叫________.

ax ? bx ? c ? 0
2

a

3、关于x的方程(m-3)x -(m-1)x-m+2=0是一元二次 m-3 方程,则二次项系数是_____, -(m-1) 一次项系数是_____, -m+2 常数项是_____.

2

3、我们学习过的解一元二次方程的方法有: 配方法 公式法 直接开平 ________、_________、__________. 因式分解法 , 方法 4、解一元二次方程的数学思想:降次思想

解一元一次方程

5、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为:

? b ? b ? 4ac 2 x ? (b ? 4ac ? 0) ____________________________________ 2a
2

2、当b2-4ac=0时,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根:

b x1 ? x2 ? ? 2a
3、当b2-4ac<0时,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根:

7、对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 两个不相等 (1)当b2-4ac>0时,方程有__________的实数根。 两个相等 (2)当b2-4ac=0时,方程有_________的实数根。 没有 (3)当b2-4ac<0时,方程______实数根。 有 (4)当b2-4ac≥0时,方程______实数根。

选择合适的方法解题

(1) 3x ? 15 2 解:x ? 5 x?? 5
2

直接开平方法

(2) (2 x ?1) ? 7 ? 0
2

直接开平方法

解:(2x ? 1) ? 7 2x ?1 ? ? 7
2

? 7 ?1 x? 2

选择合适的方法解题

(1) x ? 6 x ? 16 ? 0
2

配方法
公式法

因式分解法

(2) x ? 7 x ? 1 ? 0
2
2

思考 : (3) x ? 8x ? 71 ? 0用什么方法最好,
配方法

解: (2) x ? 7 x ?1 ? 0
2

b2-4ac=(-7)2- 4×1×(-1) =53
?b ? b ? 4ac 7 ? 53 ?x ? ? 2a 2
2

解下列方程: (1) x2-3x-10=0

公式法

因式分解法

(2)(x ? 1)( x ? 3) ? 5
化简 : x ? 2 x ? 8 ? 0
2

先化为一般式.再配 方法,或因式分解法

( x ? 4)( x ? 2) ? 0 x1 ? ?4, x2 ? 2

(3)(2x ? 1) ? 8(2 x ? 1) ? 15 ? 0
2
体现整体思想, 因式分解法

6、解下列方程:

(1)2 x ? 7 x ? 0
2

(2) x( x ? 1) ? 3( x ? 1) (1)(3 (3) x ? 2) ? (2 x ? 3)
2 2

(1)(3 x ? 4) ? 24;
2

直接开平方

(2)t ? 7t ? 10 ? 0;
2 2 2

因式分解法
配方法

公式法

(3) x ? 2 x ? 339 ? 0; (5)5 x ? 17 x ? 0
2 2 2

(4)(2 x ? 1) ? 3(2 x ? 1).
2

因式分解法

因式分解法 因式分解法

(6)(2 x ? 1) ? 4(3 x ? 2) ? 0 (7)40 x ? 600 x ? 640 ?
2

化去系数的最大公因 0 数,再用因式分解法 用整体完全 平方公式

(8)( x ? 8) ? 16( x ? 8) ? 64 ? 0

例.不解方程,判别方程 5?x ? 1? ? x ? 0
2

的根的情况______________
解 : 5x ? x ? 5 ? 0
2

? ? ? ?? 1? ? 4 ? 5 ? ?? 5? ? 101 ? 0
2

? 原方程有两个不相等的 实数根

例.设关于x的方程, x ? 2mx ? 2m ? 4 ? 0
2

证明:不论m为何值,这个方程总有 两个不相等的实数根
? 4m 2 ? 8m ? 16 解 : ? ? 4m ? 4?? 2m ? 4? ?
2

? 4?m 2 ? 2m ? 1? ? 12 2 ? 4?m ? 1? ? 12 ? 0

所以,不论m为何值,这个方程总有两 个不相等的实数根

例.一元二次方程 (m ? 1) x
2

2

? 2mx ? (m ? 2) ? 0

有两个不相等的实数根,则m的取值范围是

解? ? ? ?2m? ? 4?m ? 1??m ? 2?
? 4m ? 4m ? 4m ? 8
2 2

? ?4m ? 8 ? 0 ?m ? 2 又? m ? 1 ? 0即m ? 1

? m ? 2且m ? 1

认真做一做

当m为何值时,方程

? m ?1? x

2

? 2mx ? m ? 3 ? 0
m-1≠0且Δ>0 △≥0或者m-1=0 △<0且m-1≠0

(1)有两个相等实根; (2)有两个不等实根; (3)有实根; (4)无实数根; (5)只有一个实数根; (6)有两个实数根。

m-1≠0且Δ=0

m-1=0
△≥0且m-1≠0

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a=0) 的两个根是x1,x2 那么
b x1+x2=-— a c a

x1.x2= —

如果一元二次方程x2+px+q=0的 两个根是x1,x2 那么

x1+x2=-p
x1.x2= q

1、口答下列方程的两根和与两根积,
(1)x2-6x-7=0 (2)3x2+5x-2=0 2、若方程2 x 2 ? bx ? c ? 0
2 3、 ?
2

的两根分别为

x1 ? 2, x2 ? 3 求b.c的值
5是一元二次方程2 x ? 8x ? c ? 0的一个根

求方程的另一个根及c的值

应用题
? 1. 一个小组有若干人,新年互送贺卡一张, 已知全组共送贺卡72张,则这个小组共有 多少人?

练习:
2.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720 吨,平均每月增长率是多少?

3.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年 的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投

资上的平均增长率为多少?

4、如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周 外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为 246m2,求小路的宽度. A

D

解:设小路宽为x米,则
(20 ? 2 x)(15 ? 2 x) ? 246 ? 15 ? 20

化简得,

B

C

2 x ? 35x ? 123 ? 0 ( x ? 3)(2 x ? 41) ? 0
2

41 ? x1 ? 3, x2 ? ? (舍 ) 去 2 答:小路的宽为3米.


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