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翠园中学高三文数第二轮概率与统计专题复习教案课件


翠园中学高三文数第二轮概率与 统计专题复习学案 1.随机事件的概率范围 :0≤ P(A)≤ 随机事件的概率范围:0 1. 随机事件的概率范围 :0 ≤ P(A) ≤ 1; 1,不可能事件的概率 必然事件的概率为 1,不可能事件的概率 为 0. 2. 在 一 次 试 验 中 , 对 立 事 件 A 和 不会同时发生, 但一定有一个发生, A 不会同时发生 , 但一定有一个发生 , 因此有 P(A) =1?P(A). 3.对于古典概型, 3. 对于古典概型,通常一次试验中的某 对于古典概型 是由几个基本事件组成, 一事件 A 是由几个基本事件组成,如果 n,随机事件 试验的基本事件总数为 n,随机事件 A 包 m,那么事件 含的基本事件数为 m,那么事件 A 的概率 为 P ( A) = m .
n

由此可知, 在古典概型中, 由此可知 , 在古典概型中 , 计算事件 A 的概率, 的概率 , 关键是计算试验的基本事件总 数 n 和事件 A 中包含的基本事件数 m. 4.一般地 一般地, 4.一般地,在几何区域 D 中随机地取一 记事件“ 点,记事件“该点落在其内部一个区域 d A,则事件 内”为事件 A,则事件 A 发生的概率

1

d的测度 . D的测度 0,其中 测度” 其中“ 这里要求 D 的测度不为 0,其中“测度” P( A) =

确定, 分别是线段? 的意义依 D 确定,当 D 分别是线段?平面 图形和立体图形时,相应的“测度” 图形和立体图形时,相应的“测度”分别 是长度?面积和体积等. 是长度?面积和体积等. 很多概率问题都可以归结为几何概型. 很多概率问题都可以归结为几何概型 . 对于几何概型, P(A)与表 对于几何概型,事件 A 的概率 P(A)与表 示它的区域(长度?面积或体积)成正比, 示它的区域(长度?面积或体积)成正比, 而与区域的位置和形状无关, 而与区域的位置和形状无关 , 因此只要 表示两个事件的区域有相同的长度? 表示两个事件的区域有相同的长度?面 积或体积,不管它们的位置和形状如何, 积或体积,不管它们的位置和形状如何, 这两个事件的概率一定相等.由此可知, 这两个事件的概率一定相等.由此可知, 利用公式求概率的关键在于求解产生指 利用公式求概率的关键在于求解产生指 定范围内的随机数或指定范围内的长度 ?面积?体积等. 面积?体积等. 5.抽样方法: 5.抽样方法: 抽样方法 类别 共同点 特点 相 互适 用 联系 范围
2

总 体 简单随 ① 抽 样 从 总 体 个 数 机抽样 过 程 中 中 逐 个 较少 每 个 个 抽取 系统抽 体 被 抽 将 总 体 在 起 总 体 到 的 可分 成 几始 部个 数 样 能 性 相 部 分 , 分 取 较多 等 ; ②按 预 先样 时 , 每 次 抽制 定 的采 用 出 个 体规 则 在简 单 后 不 再各 部 分随 机 将 它 放 中抽取 抽样 分层抽 回 , 即 将 总 体 各 层 总 体 不 放 回分 成 几抽 样由 差 样 抽样 层 , 分 时 采 异 明 层 进 行用 简显 的 抽取 单 随 几 部 机 抽分 组 样 或成 系 统 抽样 6.统计图表
3

(1)频率分布直方图的特征 (1)频率分布直方图的特征:①从频率分 频率分布直方图的特征: 布直方图中可以清楚地看出数据分布的 总体趋势; 总体趋势 ; ② 从频率分布直方图中得不 出原始的数据内容, 出原始的数据内容 , 把数据作成直方图 原有的具体数据信息被抹掉了. 后,原有的具体数据信息被抹掉了. (2)茎叶图的特征 茎叶图的特征: (2)茎叶图的特征:①茎叶图没有原始数 据信息的损失, 据信息的损失 , 所有的数据信息都可以 从茎叶图中找到; 从茎叶图中找到 ; ② 茎叶图中的数据可 随时记录, 随时添加, 方便记录与表示; 随时记录 , 随时添加 , 方便记录与表示 ; ③茎叶图只适合于表示两位有效数字的 数据,当数据很大或有多组数据时, 数据,当数据很大或有多组数据时,茎叶 图就不那么直观?清晰了. 图就不那么直观?清晰了. (3)频率分布折线图的优点是它反映了 (3) 频率分布折线图的优点是它反映了 数据的变化趋势. 数据的变化趋势 . 如果将样本容量取得 足够大,分组的组距取得足够小, 足够大,分组的组距取得足够小,则这条 折线将趋于一条曲线 曲线, 折线将趋于一条 曲线 , 我们称这一曲线 为总体分布的密度曲线. 为总体分布的密度曲线. 7.样本估计总体的方法 (1)样本频率分布与总体频率分布的关 (1) 样本频率分布与总体频率分布的关 系 样本频率分布随着样本容量的增大更加
4

接近总体频率分布, 接近总体频率分布 , 当样本容量无限增 大且分组的组距无限缩小时, 大且分组的组距无限缩小时 , 频率分布 直方图就会变成一条光滑曲线. 直方图就会变成一条光滑曲线 . 一般来 样本的容量越大, 说 , 样本的容量越大 , 这种估计就越精 确. (2)用样本的数字特征估计总体的数字 (2) 用样本的数字特征估计总体的数字 特征 数据的离散程度可以通过极差? ①数据的离散程度可以通过极差?方差 或标准差来描述, 或标准差来描述 , 其中极差反映了一组 数据变化的最大幅度, 数据变化的最大幅度 , 它对一组数据中 的极端值非常敏感. 的极端值非常敏感 . 方差或标准差则反 映一组数据围绕平均数波动的大小. 映一组数据围绕平均数波动的大小.
②一般地, 设样本数据分别是x1 , x 2 , x 3 , …, x n , 样本的平均数为x , 则方差 ( x1 ? x ) 2 + ( x2 ? x )2 + ??? + ( xn ? x ) 2 s2 = , n ( x1 ? x ) 2 + ( x2 ? x ) 2 + ??? + ( xn ? x ) 2 标准差s = . n

8.回归分析
5

(1)如果散点图中点的分布从整体上看 (1) 如果散点图中点的分布从整体上看 大致在一条直线的附近, 大致在一条直线的附近,我们就称变量 x 具有线性相关关系, 和 y 具有线性相关关系,这时回归曲线 就成了回归直线, 就成了回归直线,设 为 y=bx+a.

( 2 ) 用最小二乘法求得
b=
n

( x1 ? x )( y1 ? y ) + ( x2 ? x )( y2 ? y ) + ??? + ( xn ? x )( yn ? y ) ( x1 ? x ) 2 + ( x2 ? x ) 2 + ??? + ( xn ? x ) 2
i i

=

∑ x y ? nxy
i =1 n 2

, a = y ? bx .其中r =

∑ (x ? x )( y ? y )
i =1 i i

n

∑x
i =1 i

? nx 2

∑ (x ? x ) ∑ (y ? y )
2 i =1 i i =1 i

n

n

,
2

叫做相关系数.

(3)样本相关系数 (3)样本相关系数 r 的性质 ①相关系数用来衡量变量 x 与 y 之间的 线性相关程度; 线性相关程度; |r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越 ②|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越 高; |r|≤1,且|r|越接近于 0,相关程度越 ③|r|≤1,且|r|越接近于 0,相关程度越 低. 9.独立性检验
6

(1)2× (1)2×2 列联表 一般地, Y,它 一般地,假设有两个分类变量 X 和 Y,它 们的值域分别为{x },其样 们的值域分别为 {x1,x2} 和 {y1,y2}, 其样 本频数列联表为: 本频数列联表为: Y1 Y2 总计 X1 a b a+b X2 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d

n(ad ? bc) 2 K2 = (a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) (其中n = a + b + c + d为样本容量).
例题与练习 1.雅山中学采取分层抽样的方法从应届 1.雅山中学采取分层抽样的方法从应届 高三学生中按照性别抽出 20 名学生作 为样本, 为样本,其 选报文科理科的情况如下表所示。 选报文科理科的情况如下表所示。

7

(Ⅰ)若在该样本中从报考文科的学生中 人召开座谈会, 随机地选出 3 人召开座谈会,试求 3 人 中既有男生也有女生的概率; 中既有男生也有女生的概率; (Ⅱ)用假设检验的方法分析有多大的 把握认为雅山中学的高三学生选报文理 科与性别有 关? 参 考 公 式 和 数 据 :
n(ad ? bc ) K2 = (a + c )(b + d )(a + b )(c + d )
2

1.解 1. 解 : ( Ⅰ ) 设样本中两名男生分别为 f,g, a,b,5 名女生分别为 c,d,e,f,g,则 基本事件为 基本事件为; (abc) (abd) (abe) (abf) (abg) (acd)(ace) (acf) (acg)(ade) (adf) (adg)(aef) (aeg) (afg) (bcd) (bce) (bcf) (bcg)(bde) (bdf) (bdg) (bef)
8

(beg)(bfg) (cde) (cdf) (cdg) (cef) (dfg) (ceg) (cfg) (def) (deg) (dfg) (efg) ………3 共 35 种, ………3 分 其中, 其中, 既有男又有女的事件为前 25 种, 故 P=
25 5 = 35 7

“ 人中既有男生也有女生” ( 抽出的 3 人中既有男生也有女生” )
20 × (50 ? 6) 2 (Ⅱ) k = 7×13×12×8 = 4.43 ?

>3. 841,

对照参考表格, 对照参考表格,结合考虑样本是采取分 层抽样抽出的, 95%以上的把握 层抽样抽出的,可知有 95%以上的把握 认为学生 选报文理科与性别有关。 选报文理科与性别有关。 2.有甲乙两个班级进行数学考试, 2.有甲乙两个班级进行数学考试,按照 有甲乙两个班级进行数学考试 分为优秀, 大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非 优秀统计成绩后,得到如下的列联表. 优秀统计成绩后,得到如下的列联表. 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 合计 105 已知在全部 105 人中抽到随机抽取 1 人
9

2 为优秀的概率为 7

(Ⅰ)请完成上面的列联表; 请完成上面的列联表; 根据列联表的数据, ( Ⅱ ) 根据列联表的数据 , 若按 95% 的可 靠性要求,能否认为“ 靠性要求,能否认为“成绩与班级有关 系” . (Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生 抽取一人: 抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 进行编号, 到 11 进行编号, 先后两次抛掷一枚均匀 的骰子, 的骰子,出现的点数之和为被抽取人的 序号. 号的概率. 序号.试求抽到 6 或 10 号的概率. 2.解 2.解:(Ⅰ)表格如下 优 秀 10 20 30 非优 总 秀 计 55 45 30 75 50 105

甲 班 乙 班 合 计

10

根据列联表的数据, ( Ⅱ ) 根据列联表的数据 , 若按 95% 的可 靠性要求,能否认为“ 靠性要求,能否认为“成绩与班级有关 系” . 根据列联表中的数据, 解:根据列联表中的数据,得到
105 × (10 × 30 ? 20 × 45) 2 k= ≈ 6.109 > 3.841 55 × 50 × 30 × 75

95%的把握认为 的把握认为“ 因此有 95%的把握认为“成绩与班级有 关系” 关系” 。 (Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生 抽取一人: 抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 进行编号, 先后两次抛掷一枚均匀 到 11 进行编号, 先后两次抛掷一枚均匀 的骰子, 的骰子,出现的点数之和为被抽取人的 序号. 号的概率. 序号.试求抽到 6 或 10 号的概率. 解:设“抽到 6 或 10 号”为事件 A,先 后两次抛掷一枚均匀的骰子, 后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点 数为( 数为(x,y) 所有的基本事件有( (1 (1 所有的基本事件有(1,1)(1,2)(1, 、 、 、… ( (6 ,共 3) …、 6,6) 共 36 个。 、 , 包含的基本事件有: 事件 A 包含的基本事件有: (2 (3 (4 (5 (1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5, 、 、 、 、 (4 (5 (6 ,共 1 ) 4 ,6 )( 5 , 5 ) (6 、 4 ) 共 8 个 ( 、 、 ,
11

8 2 ∴ P ( A) = = 36 9 3.随机抽取某中学甲 乙两班各 10 名同 随机抽取某中学甲、 3.随机抽取某中学甲、 测量他们的身高(单位:cm) ,获得 学,测量他们的身高(单位:cm) 获得 , 身高数据的茎叶图如图所示。 身高数据的茎叶图如图所示。 (1) 根据茎叶图判断哪个班的平均身高 较高; 较高; (2)现从乙班这 10 名同学中随机抽取 的同学, 两名身高不低于 173cm 的同学,求身高 的同学被抽中的概率。 为 176cm 的同学被抽中的概率。

(1 由茎叶图可知: 解: 1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 ( 160— 之间, 160—179 之间, 170— 而乙班身高集中于 170—180 之间 故乙班平均身高高于甲班; ,故乙班平均身高高于甲班;

12

的同学被抽中的事件 2.设身高为 2.设身高为 176 cm 的同学被抽中的事件 为 A, 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低 的同学有: 于 173 cm 的同学有: 181,173)(181 176)(181 178) (181,173)(181,176)(181,178) 、 181, 、 181, 、 181,179)(179 173)(179 176) (181,179)(179,173)(179,176) 、 179, 、 179, 、 179,178)(178 173)(178 176) (179,178)(178,173)(178,176) 、 178, 、 178, 、 176,173) (176,173) 共 10 个基本事件而事件 A 含有 4 个基本 事件: 事件: 181,176)(179 176)(178 176) (181,176)(179,176)(178,176) 、 179, 、 178, 、 ; (176,173) ∴ 176,173)
P ( A) = 4 2 = ???12 10 5

4. 某种产品的广告费支出 x 与销售额
y (单位:万元)之间有如下对应数据: 单位:万元)之间有如下对应数据:

x
y

2 4 30 40

5 60

6 50

8 70

13

(Ⅰ)画出散点图 求回归直线方程; (Ⅱ)求回归直线方程;

参考数据: ( 参考数据 :
5

xi2 = 145 ∑
i =1

5

5

∑y
i =1

2 i

= 13500

) (Ⅲ)试预测广告费支出为 10 万元 销售额多大? 时,销售额多大?
i =1

∑x y
i

i

= 1380

解 (Ⅰ)根据表中所列数据可得散点 图如下: 图如下:

14

2+4+5+6+8 25 x= = =5 5 5 (2)解 (2)解: ,

30+40+60+50+70 250 y= = = 50 5 5
5

5
2 i

又已知 i =1

∑x

= 145
5

∑x y
i =1 i
i i

i

= 1380

? b=

∑ x y ? 5x y
i =1 5

于是可得: 于是可得:

∑ xi2 ? 5x
i =1

2

=

1380 ? 5 × 5 × 50 = 6.5 145 ? 5 × 5 × 5

? ? a = y ? bx = 50 ? 6.5 × 5 = 17.5

因此,所求回归直线方程为: 因此,所求回归直线方程为:

? = 6.5 x + 17.5 y

.

(3): 根据上面求得的回归直线方程, (3): 根据上面求得的回归直线方程, 万元时, 当广告费支出为 10 万元时,

? = 6.5 ×10 + 17.5=82.5 y (万元) 万元)

15

即这种产品的销售收入大约为 82. 5 万 元. 5.甲 乙两人玩一种游戏;在装有质地、 5.甲、乙两人玩一种游戏;在装有质地、 大小完全相同, 大小完全相同,编号分别为 1,2,3,4, 甲先模出一个球, 5, 六个球的口袋中, 6 六个球的口袋中, 甲先模出一个球, 记下编号,放回后乙再模一个球, 记下编号,放回后乙再模一个球,记下 编号, 如果两个编号的和为偶数算甲赢, 编号, 如果两个编号的和为偶数算甲赢, 否则算乙赢。 否则算乙赢。 (1) 求甲赢且编号和为 8 的事件发生的 概率; 概率; 这种游戏规则公平吗? ( 2 ) 这种游戏规则公平吗 ? 试说明理 由。 (1 解: 1)设“两个编号和为 8”为事件 ( A, 包含的基本事件为 (3 则事件 A 包含的基本事件为 2, ) 3, ( 6 , ( (4 (5 (6 5 ) ( 4 , 4) ( 5 , 3) ( 6 , 2 ) 共 5 个 , , , , 又甲、 又甲、乙两人取出的数字共有 6×6=36 等可能的结果, (个)等可能的结果,
5 P ( A) = 故 36
16

这种游戏规则是公平的。 (2): 这种游戏规则是公平的。 B,乙胜为事件 设甲胜为事件 B,乙胜为事件 C, 则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本 事件数有 18 个: (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6 ),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4 ,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4), (6,6) 所以甲胜的概率 P ( B ) = 乙胜的概率 P(C ) = 1 ?
18 1 = , 36 2

1 1 = = P( B) 2 2

所以这种游戏规则是公平的. 所以这种游戏规则是公平的. 6.将一颗质地均匀的正方体骰子( 将一颗质地均匀的正方体骰子 6.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个 面的点数分别为 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 )先后抛掷 两次, 两次, 记第一次出现的点数为 x , 第二次出现 的点数为 y . 求事件“ 的概率; (Ⅰ)求事件“ x + y ≤ 3 ”的概率; 求事件“ 的概率. (Ⅱ)求事件“ | x ? y |= 2 ”的概率.

17

解:将一颗质地均匀的正方体骰子先后 抛 掷 两 次 的 基 本 事 件 总 数 为 N = 6 × 6 = 36 个. (Ⅰ) 因为事件 x + y ≤ 3 ” “ 包含 (1,1) 、
(1 , 2) 、 (2 ,1) 三个基本事件 , 所以事件 三个基本事件,

x + y ≤ 3 ”的概率为 P1 = “

3 1 = ; 36 12

因为事件 | x ? y |= 2 ”包含 (1 , 3) 、 “ (Ⅱ)
(2 , 4) 、 (3 , 5) 、 (4 , 6) 、 (3 , 1) 、 (4 , 2) 、

个基本事件, 8 个基本事件,所以事件 8 2 P = = “ | x ? y |= 2 ”的概率为 2 36 9 . 7.设 7.设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到
2 的点数. 的点数 . 用 ξ 表示方程 x + bx + c = 0 的

(5 , 3) 、 (6 , 4) 共

实 根 的 个 数 ( 重 根 按 一 个 计 ). 求 方 程
x 2 + bx + c = 0 有实根的概率. 有实根的概率.

解:基本事件总数为6×6=36, 基本事件总数为6 若使方程有实根, =b2-4c≥ 若使方程有实根,则Δ=b2-4c≥0, 即b≥2
18

当 c=1 时 ,b=2,3,4,5,6; 当 c=2 时,b=3,4,5,6; c=3时,b=4,5,6;当c=4时 当c=3时,b=4,5,6;当c=4时,b=4,5,6; c=5时 b=5,6;当c=6时 当c=5时,b=5,6;当c=6时,b=5,6, 则目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19, 则目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19, +bx+c=0有实根的概率为 因此方程 x 2 +bx+c=0有实根的概率为 19
36

8.在面积为S ABC内任取一点P,求使 内任取一点P, 8.在面积为S的△ABC内任取一点P,求使 在面积为 PBC的面积小于 的概率. △PBC的面积小于 S 的概率.
2

[解]如图作△ABC的中位线MN. S ∵△PBC与△ABC同底,∴ 事件“△PBC的面积小于 ” 2 1 等价于“△PBC的高与△ABC的高的比值小于 ” , 2 等价于事件“P点落在梯形BCNM区域内” , S梯形BCNM S ∴ P{△PBC的面积小于 } = 2 S△ ABC S梯形AMN 1 3 = 1? = 1? = . S△ ABC 4 4

19

9.甲 乙两人参加普法知识竞赛, 9.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有 10个不同的题目 其中选择题6 个不同的题目, 10个不同的题目,其中选择题6个,判断 乙两人依次各抽一题 人依次各抽一题。 题4个,甲、乙两人依次各抽一题。 甲抽到选择题, ① 甲抽到选择题, 乙抽到判断题的概率 是多少? 是多少? ② 甲、 乙二人中至少有一人抽到选择题 的概率是多少? 的概率是多少? (1 甲抽到选择题, 解: 1)记“甲抽到选择题,乙抽到判 ( 断题”为事件A 断题”为事件A, 种抽法, 甲抽到选择题有 6 种抽法, 种抽法, 乙抽到判断题有 4 种抽法, 所以事件 A 的基本事件数为 6 × 4 = 24
20

6× 4 4 P ( A) = = ∴ 10 × 9 15 乙两人都抽到判断题” (2)记“甲、乙两人都抽到判断题”为 事件 B, 至少一人抽到选择题” “至少一人抽到选择题”为事件 C,

则 B 含基本事件数为 4 × 3 = 12 由古典概率公式得 P( B) =
2 13 P (C ) = 1 ? P ( B ) = 1 ? = 15 15
12 2 = 10 × 9 15

由 对 立 事 件 的 性 质 可 得

10.从某学校高三年级 800 名学生中随机 从某学校高三年级 名测量身高, 抽取 50 名测量身高,据测量被抽取的学 之间, 生的身高全部介于 155cm 和 195cm 之间, 将测量结果按如下方式分成八组: 将测量结果按如下方式分成八组:第一 组 [155,160 ) .第二组 [160,165) ;…第八组

[190,195] , 右图是按上述分组方法得到的
条形图. 条形图 (1)根据已知条件填写下面表格: 根据已知条件填写下面表格: 根据已知条件填写下面表格
21

组 别 样 本 数 (2)估计这所学校高三年级 (2)估计这所学校高三年级 800 名学生中 以上( 的人数; 身高在 180cm 以上(含 180cm )的人数; (3)在样本中 在样本中, 人为男生, (3)在样本中,若第二组有 1 人为男生, 其余为女生, 人为女生, 其余为女生,第七组有 1 人为女生,其余 为男生, 为男生,在第二组和第七组中各选一名 同学组成实验小组, 同学组成实验小组,问:实验小组中恰 为一男一女的概率是多少? 为一男一女的概率是多少?

22

解:(1)由条形图得第七组频率为 (1)由条形图得第七组频率为
1 ? (0.04 × 2 + 0.08 × 2 + 0.2 × 2 + 0.3) = 0.06 , 0.06 × 50 = 3

. ∴第七组的人数为 3 人. 组 1 2 3 4 56 7 8 别 样本 中人 2 4 10 10 15 4 3 2 数 (2) : 由 条 形 图 得 前 五 组 频 率 为 (0.008+0.016+0.04+0.04+0.06) × 5=0.82,后三组频率为 0.82=0.18.估 5=0.82,后三组频率为 1-0.82=0.18. 估 计这所学校高三年级身高在 180cm 以上 180cm)的人数 800×0.18=144(人 (含 180cm)的人数 800×0.18=144(人). (3): (3): 第二组四人记为 a 、 b 、 c 、 d , 为男生, 为女生, 其中 a 为男生,b、c、d 为女生,第七 为男生, 组三人记为 1、2、3,其中 1、2 为男生, 为女生,基本事件列表如下: 3 为女生,基本事件列表如下:
23

a b c d 1 1a 1b 1c 1d 2 2a 2b 2c 2d 3 3a 3b 3c 3d 所以基本事件有 12 个,恰为一男一女的 1b,1c,1d,2b,2c,2d, 事件有 1b,1c,1d,2b,2c,2d,3a 共 因此实验小组中, 7 个,因此实验小组中,恰为一男一女的
7 概率是 12 .

11.假设某人定了鲜奶, 11.假设某人定了鲜奶, 假设某人定了鲜奶 送奶工可能在早 30~ 之间把鲜奶送到他家, 上 6:30~7:30 之间把鲜奶送到他家, 15~ 他离开家去上学的时间是 6:15~7:00 之间, 之间 , 设送奶工到达他家的时间是 x , 他离开家的时间是 y . 用数对 (x, y ) 表示 可能的试验结果, 可能的试验结果,则全部事件组成的集 合 ? = {( x, y ) 6.5 ≤ x ≤ 7.5, 6.25 ≤ y ≤ 7} (1) 用集合表示他能在离家前喝到鲜奶 用集合表示他能在离家前喝到鲜奶 的事件 A; (2) 他能在离家前喝到鲜奶的概率是多 少?
24







1



A = {( x, y ) y ≥ x, 6.5 ≤ x ≤ 7.5, 6.25 ≤ y ≤ 7} .

(注: x , y 的范围写成开区间不扣 分) 如图, (2)如图,
y 7 6.25

O

6.5

7.5

x

? 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积
S? = 1 × 0.75 = 0.75 .

A

表 示 的 平 面 区 域 的 面 积
1 × 0.5 × 0.5 = 0.125 2

SA =

S A 0.125 1 P( A) = = = ∴ S? 0.75 6 .

25

1 答:他能在离家前喝到鲜奶的概率是 6 .

12.将一颗骰子先后抛掷 12.将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上 的点数, 的点数,求: (1)两数之和为 的概率; (1)两数之和为 5 的概率; (2)两数中至少有一个奇数的概率; (2)两数中至少有一个奇数的概率; 两数中至少有一个奇数的概率 (3)以第一次向上点数为横坐标 x,第二 (3)以第一次向上点数为横坐标 x,第二 的点(x,y) (x,y)在 次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在
x 2 + y 2 = 15 的内部的概率. 的内部的概率. 圆

解:将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中 个等可能基本事件. 含有 36 个等可能基本事件. (1)记 A,则事件 (1)记“两数之和为 5”为事件 A,则事件 A 中 含 有 4 个 基 本 事 件 , 所 4 1 以 P( A) = = .
36 9

即两数之和为 5

1 的概率为 9

(2)记 两数中至少有一个奇数” (2)记“两数中至少有一个奇数”为事件 B,则事件 两数均为偶数” B,则事件 B 与“两数均为偶数”为对立 事件, 事件,所
26

9 3 以 P ( B) = 1 ? 36 = 4
3 即两数中至少有一个奇数的概率为 4

.

(x,y) (3) 基 本 事 件 总 数 为 36, 点 (x,y) 在 圆

x 2 + y 2 = 15 的内部记为事件 C,则 C 包含 C,则
个基本事件, 8 个基本事件, 8 2 所以 P(C ) = = 36 9
2 2

.

即点(x,y)在圆 即点(x,y)在圆 x + y = 15 的内部的 (x,y)

2 概率为 9

.

27


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