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学案21正弦、余弦定理


学案 21

正弦定理和余弦定理

自主梳理 1.三角形的有关性质 (1)在△ABC 中,A+B+C=________; (2)a+b____c,a-b<c; (3)a>b?sin A____sin B?A____B; 1 1 1 (4)三角形面积公式:S△ABC= ah= absin C= acsin B=_________________; 2 2 2 (5)在三角形中有:sin 2A=sin 2B?A=B 或________________?三角形为等腰或直角三 角形; A+B C sin(A+B)=sin C,sin =cos . 2 2 2.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 2 a =____________, ________________ 内容 b2=____________, =2R c2=____________. ①a=__________, b=__________, c=__________; ②sin A=________, cos A=________________; 变形 sin B=________, cos B=________________; 形式 sin C=________; cos C=_______________. ③a∶b∶c=__________; a+b+c a ④ = sin A sin A+sin B+sin C ①已知两角和任一边,求另一角和其他 两条边. ①已知三边,求各角; 解决 ②已知两边和其中一边的对角,求另一 ②已知两边和它们的夹角, 求第三边和 的问题 其他两个角. 边和其他两角. 自我检测 1. ( 2013 年高考陕西卷(文) ) 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为 ( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
2 . ( 2013 年 高 考 辽 宁 卷 ( 文 )) 在 ?ABC , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 长 分 别 为



1 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 且a ? b, 则?B ? 2 ? ? 2? A. B. C. 3 6 3

( D.



5? 6

3. 【2012 高考广东文 6】在△ ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC ?

A. 4 3

B. 2 3

C.

3

D.

3 2
1 ,则 sin B ? 3
D.1 ( )

4(2013 年高考北京卷(文) )在△ABC 中, a ? 3, b ? 5 , sin A ?

A.

1 5

B.

5 9

C.

5 3

5、 【2012 高考陕西文 13】在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2 , B=

? ,c=2 3 ,则 b= 6

.

探究点一 正弦定理的应用 例 1 【2012 高考浙江文 18】 (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分 别为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB。 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. .

π 变式迁移 1[2014· 湖北卷 13] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 A= , 6 a=1,b= 3,则 B=______. 探究点二 余弦定理的应用 例 2 [2014· 安徽卷 16] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c =1,△ABC 的面积为 2. 求 cos A 与 a 的值.

变式迁移 2 .[2014· 新课标全国卷Ⅱ17] 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC= 3,CD=DA=2. (1)求 C 和 BD;(2)求四边形 ABCD 的面积.

探究点三 正、余弦定理的综合应用 例 3 .[2014· 陕西卷 16] △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cos B 的值.

变式迁移 3 [2014· 重庆卷 18] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a +b+c=8. 5 (1)若 a=2,b= ,求 cos C 的值; 2 A 2B (2)若 sin Acos +sin Bcos2 =2sin C, 2 2

1、 [2014· 广东卷 7] 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c, 则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 2.[2014· 江西卷 5] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 3a=2b,则 2sin2B-sin2A 的值为( ) sin2A 1 1 7 A.- B. C.1 D. 9 3 2 3. 、[2014·江苏卷 14] 若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值 是______. 【答案】 4、[2014· 山东卷 17] △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cos A= π B=A+ . 2 (1)求 b 的值;(2)求△ABC 的面积. 6 , 3

5、 [2014· 浙江卷 18] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 4sin2 +4sin Asin B=2+ 2. (1)求角 C 的大小;(2)已知 b=4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值.

A-B 2


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