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高等数学数列极限_图文

高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学(1) —— 一元微积分学 第三讲 数列的极限 ? 欢迎观看 第 二 章 极 限 本章学习要求: ? 了解数列极限、函数极限概念,知道运用“ε-δ”和 “ε-X ” 语言描 述函数的极限。 ? 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 ? 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较,能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 ? 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 第 二 章 极 限 第一节 数列的极限 一、数列及其简单性质 二、数列的极限 三、数列极限的性质 四、数列的收敛准则 一、数列及其简单性质 1. 定义 数列也称为序列 设 f (n) 是以正整数集 Z+ 为定义域的函数 . 将 f 的值域 f ( Z ? ) ? { xn | xn ? f (n), n ? N } 中的元素 xn , 按自变量 n 增大的次序排列出来所 得到的一串数: x1 , x2 , ? , xn , ? 称为一个数列, 记为{ xn }. 数列中的每一个数称为数列的一项 xn = f (n) 称为数列的通项或一般项 2. 数列的表示法 公式法 运用数轴表示 图示法 运用直角坐标系表示 表格法 例1 介绍几个数列 (1) {2n } : 2, 4, 8, ?, 2n , ? 通项 : xn ? 2n. x1 0 2 x2 … xn … ????? 4 … 2n … ? ? ? ? ?? ? ? ? ? x 1? 1 1 1 1 ? ( 2) ? n ? : , , , ?, n , ? 2 ?2 ? 2 4 8 1 通项 : xn ? n . 2 ????? ????? … xn … x3 1 2n x2 1 4 x1 1 2 0 1 8 x (3) { ( ?1)n ?1} : 1, ? 1, 1, ? 1, ?, ( ?1)n ?1 ,? 通项 : xn ? ( ?1) n ?1. x2n –1 所有的偶数项 x2 n?1 0 1 所有的奇数项 x ?1 ? ( ?1) n ? 1 1 1 ? ( ?1) n ( 4) ? ,? ? : 0, 1, 0, , 0, , ?, 2 3 n ? n ? 1 ? ( ?1) n 通项: xn ? . n x2 n?1 ? x2 n ? ? ? ? ? ? x4 ? ? ? ? ? x2 1 1 0 x1 n x3 M 所有奇数项 1 2 x n ? 1 2 3 n ? (5) ? , , , ?, ,? ?: n ?1 ? n ? 1? 2 3 4 n 通项 : xn ? . n ?1 x1 x2 x3 … xn … ????? ????? 0 1 2 2 3… n … 1 n ?1 3 4 x 3. 数列的性质 单调性 有界性 (1) 数列的单调性 若 {xn } 满足 x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? , 则称 {xn } 严格单调增加 , 记为{xn } ? . 单调增加 若 {xn } 满足 x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? , 则称 {xn } 单调增加 , 也记为{xn } ? . 不减少的 数列单调减少的情形怎么定义? 若 {xn } 满足 x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? , 则称 {xn } 严格单调减少 记为{xn } ? . 单调减少 若 {xn } 满足 x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? , 则称 {xn } 单调减少, 也记为{xn } ? . 不增加的 严格单调增加(单调增加) 严格单调减少(单调减少) 数列 单调增加(不减少的) 单调减少(不增加的) 统称为单调数列 (2) 数列的有界性 回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形 我学过吗 ? 若 ? M ? 0, 使得当 x ? I 时, 有 | f ( x ) | ? M 成立, 则称函数 f ( x ) 在区间 I 上有界 . y y ? f ( x) M y?M ( I O ?M ) x y ? ?M 数列的有界性的定义 若 ? M ? 0, 使得 | xn | ? M , n ? N 成立, 则称数列 {xn } 有界. 否则称 {xn } 是无界的. 想想: 有界的数列在数轴上和在直角坐标系 中的图形会是什么样子? | xn | < M*, n ? N ?? xn ? U( 0, M* ), n ? N 从数轴上看, 有界数数列 { xn } 的全部点 都落在某区间 (-M*, M* ) 中. ( ????? ????? ) 0 M* -M* xn x 例2 观察例1 中的几个数列: 1? 1 1 1 1 ? (1) ? n ? : , , , ?, n , ? 2 ?2 ? 2 4 8 ????? ????? … xn … x3 1 2n x2 x1 1 2 0 1 8 1 4 x ? 1 ? ?, 有界 ( 可取 M ? 1 ). ? n? 2 ?2 ? (3) { ( ?1)n ?1} : 1, ? 1, 1, ? 1, ?, ( ?1)n ?1 ,? x2n –1 0 x2 n?1 1 x {( ?1) n ?1} 不单调, 但有界 ( 可取 M ? 1 ). ?1 ? ( ?1) n ? 1 1 1 ? ( ?1) n (3) ? ,? ? : 0, 1, 0, , 0, , ?, 2 3 n ? n ? x2 n?1 ? x2 n ? ? ? ? ? ? x4 ? ? ? ? ? x2 1

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