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第三章第2课时同角三角函数的基本关系与诱导公式


第2课时

同角三角函数的基本

关系与诱导公式

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考纲展示

备考指南

1.理解同角三角函数的以下两 个基本关系式: sin x sin2x+cos2x=1, =tan x. 1.利用同角三角函数的基本关 cos x 系及诱导公式求值或化简三角 2.了解 π±α 的正弦、余弦、正 函数式是考查重点. 2.主要以选择题、填空题的形 π 切的诱导公式和 ± 的正弦、 式考查. α 2 余弦的诱导公式.

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本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.同角三角函数基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1,其等价形式为:sin2α=1- 1-sin2α cos2α,cos2α=__________.
sin α =tan α cos α· α tan cos (2)商数关系: α __________, 其等价形式为: α=__________, sin

sin α cos α= . tan α

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2.角的对称 相关角的终边 α 与 π+α α 与 π-α α 与-α(或 2π-α) π α 与 -α 2

对称性 原点 关于_____对称 y轴 关于_____对称 关于 x 轴对称

y=x 关于直线_____对称

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3.六组诱导公式
组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+ α(k∈Z) sin α cos α tan α 二 π+α 三 -α -sin α cos α _____ -tan α 四 π-α sin α -cos α -tan α _____ 五 π -α 2 cos α _____ sin α 六 π +α 2 cos α -sin α _____

-sin_α _____ -cos α tan α

函数名不变符号看象限

函数名改变符号 看象限

简记口诀:奇变偶不变,符号看象限.

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课前热身 1.sin(-300° )等于( 1 A.- 2 3 C.- 2 答案:D ) 1 B. 2 3 D. 2

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1 2.若 sin(π+α)=- ,则 cos α 等于( 2 1 1 A.2 B. 2 2 3 C.± 2 3 D. 2

)

1 1 解析:选 C.由 sin(π+α)=- ,得-sin α=- , 2 2 1 3 2 即 sin α= ,∴cos α=± 1-sin α=± . 2 2

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π sin? +θ?-cos?π-θ? 2 3.已知 tan θ=2,则 =( π sin? -θ?-sin?π-θ? 2 A.2 B.-2 C.0 答案:B 2 D. 3

)

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3 ?π,3π ?,则 tan α 4.(2011· 高考重庆卷)若 cos α=- ,且 α∈ 2? 5 ? =__________.
3 ?π,3π?, 解析:∵cos α=- 且 α∈ 2? 5 ? 4 4 ∴sin α=- ,∴tan α= . 5 3 4 答案: 3

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4 5 ?-4π ?的值是________. 5.sin π·cos π·tan 3 3 6 ? ?
3 3 答案:- 4

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考点探究讲练互动
考点突破 考点 1 同角三角函数的基本关系式 例1 已知 tan α=2,求: 4sin α-2cos α (1) 的值; 5sin α+3cos α (2)3sin2α+3sin αcos α-2cos2α 的值.

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【解】 (1)法一:∵tan α=2, ∴cos α≠0, 4sin α 2cos α - 4sin α-2cos α cos α cos α ∴ = 5sin α+3cos α 5sin α 3cos α + cos α cos α 4tan α-2 4×2-2 6 = = = . 5tan α+3 5×2+3 13

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法二:由 tan α=2,得 sin α=2cos α,代入得 4sin α-2cos α 4×2cos α-2cos α 6cos α 6 = = = . 5sin α+3cos α 5×2cos α+3cos α 13cos α 13 (2)3sin2α+3sin αcos α-2cos2α 3sin2α+3sin αcos α-2cos2α 3tan2α+3tan α-2 = = 2 2 sin α+cos α tan2α+1 3×22+3×2-2 16 = = . 2 5 2 +1

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【规律小结】 一个关于正弦和余弦的齐次分式,可以通过 分子、分母同时除以一个余弦的方幂,将其转化为一个关于 正切的分式,只要知道了正切值,就可以求出这个分式的值.

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跟踪训练 sin α+3cos α 1.已知 =5,则 sin2α-sin αcos α=________. 3cos α-sin α tan α+3 解析:依题意得: =5,∴tan α=2. 3-tan α sin2α-sin αcos α ∴sin2α-sin αcos α= sin2α+cos2α tan2α-tan α 22-2 2 = = 2 = . tan2α+1 2 +1 5 2 答案: 5

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考点 2

三角函数的诱导公式

3π tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ ? 2 例2 (1)化简: ; cos?-α-π?sin?-π-α? (2)求值: 690°sin 150° sin · +cos 930°cos(-870° · )+tan 120°tan · 1 050° .

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【解】

(1)法一:原式=

π ?-tan α?·cos[π+?π-α?]· sin?π+ -α? 2 cos?π+α?· [-sin?π+α?] π ?-tan α?· [-cos?π-α?]· [-sin? -α?] 2 = ?-cos α?· α sin -tan α· α· cos ?-cos α? -tan α· α cos = = sin α -cos α· α sin sin α cos α =- · =-1. cos α sin α

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π -tan α· cos?-α?· sin?-α- ? 2 法二:原式= cos?π-α?· sin?π-α? π sin α · α cos tan α· α· cos sin?α+ ? 2 cos α = = =-1. -cos α· α sin -sin α (2) 原 式 = sin(720°- 30° sin(180°- 30° + cos(1 080°- )· ) 150° cos(720° )· +150° )+tan(180° -60° tan(1 080° )· -30° ) =-sin 30° 30° sin +cos 150° 150° cos +tan 60° 30° tan 1 3 =- + +1 4 4 3 = . 2
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π 【规律小结】 (1)三角函数诱导公式 f( · k+α)(k∈Z)的本质 2 是:奇变偶不变,符号看象限,公式应用时把 α“看成”锐角 (α 实质上是任意角). (2)诱导公式的主要作用是转化角为可求值问题.应用公式前, 注意分析角的结构特点,选择恰当公式和运算顺序. (3)诱导公式的应用原则:负化正,大化小,化到锐角为终了.

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跟踪训练 3π sin?π-α?cos?2π-α?cos?-α+ ? 2 2.(1)化简: =________; π cos? -α?sin?-π-α? 2 1 (2)已知 cos(π+α)=- ,且 α 是第四象限角,计算: 2 sin[α+?2n+1?π]+sin[α-?2n+1?π] (n∈Z)=________. sin?α+2nπ?· cos?α-2nπ?

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π sin αcos?-α?[cos?-α- ?] 2 解析:(1)原式= sin α[-sin?π+α?] sin αcos α?-sin α? = =-cos α. sin αsin α 1 (2)∵cos(π+α)=- , 2 1 1 ∴-cos α=- ,cos α= . 2 2

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sin[α+?2n+1?π]+sin[α-?2n+1?π] 则 sin?α+2nπ?· cos?α-2nπ? sin?2nπ+π+α?+sin?-2nπ-π+α? = sin?2nπ+α?· cos?-2nπ+α? sin?π+α?+sin?-π+α? = sin α· α cos -sin α-sin?π-α? -2sin α = = sin α· α cos sin αcos α 2 =- =-4. cos α 答案:(1)-cos α (2)-4

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考点 3

三角形中的诱导公式

杭州质检)在△ABC 中, A+cos A= 2, 3cos A sin 例3 (2013· =- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内角.

?A+π ?= 2, 【解】 由已知可得 2sin ? 4?
π 因为 0<A<π,所以 A= . 4 π 由已知可得 3cos A= 2cos B,把 A= 代入, 4 可得 cos B= 3 . 2

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π 又 0<B<π,从而 B= , 6 π π 7π 所以 C=π- - = . 4 6 12 【规律小结】 在△ABC 中常用到以下结论:sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C,

?A+B?=cosC,cos?A+B ?=sinC. sin? 2 2 ? ?2 2 ? 2 2

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跟踪训练 3. 若将例 3 的已知条件“sin A+cos A= 2”改为“sin(2π- A)=- 2sin(π-B)”其余条件不变,求△ABC 的三个内角.

解:由条件得:-sin A=- 2sin B, 即 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B,平方相加得: sin2A+3cos2A=2?2cos2A=1,cos A=± 2 . 2

2 3 若 cos A=- ,则 cos B=- ,A,B 均为钝角不可能. 2 2 2 3 π π 7π 故 cos A= ,cos B= ,故 A= ,B= ,C= . 2 2 4 6 12
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方法感悟 1.同角三角函数关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符 号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开 方时要根据角的象限或范围判断符号,正确取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,求值与化简的常用方 法有: sin x (1)弦切互化法:主要利用公式 tan x= 进行弦、切间的 cos x 互化; (2)和积转换法: 如利用(sin θ± θ)2=1± cos 2sin θcos θ 的关系进 行变形、转化;

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(3) 巧 用 “1” 的 变 换 : 1 = sin2θ + cos2θ = cos2θ(1 + tan2θ) = 1 π 2 sin θ· (1+ 2 )=tan =?. 4 tan θ 注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化. 3.使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号, 特别是在具体题目中出现类似 kπ±α(k∈Z)的形式时,需要对 k 的取值进行分类讨论,从而确定三角函数值的正负.

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名师讲坛精彩呈现
数学思想 方程思想在求三角函数值中的应用



7 已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ=________. 13 7 【解析】 法一:因为 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),所以(sin 13 49 60 2 θ+cos θ) =1+2sin θcos θ= ,所以 sin θcos θ=- . 169 169 7 60 2 由根与系数的关系,知 sin θ,cos θ 是方程 x - x- =0 13 169 12 5 的两根,所以 x1= ,x2=- . 13 13
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60 又 sin θcos θ=- <0,所以 sin θ>0,cos θ<0. 169 12 5 所以 sin θ= ,cos θ=- . 13 13 sin θ 12 所以 tan θ= =- . 5 cos θ 60 法二:同法一,得 sin θcos θ=- , 169 sin θcos θ 60 所以 2 =- . 2 169 sin θ+cos θ

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tan θ 60 齐次化切,得 2 =- , 169 tan θ+1 即 60tan2θ+169tan θ+60=0, 12 5 解得 tan θ=- 或 tan θ=- . 5 12 7 60 又 θ∈(0,π),sin θ+cos θ= >0,sin θcos θ=- <0. 13 169 π 3π 12 所以 θ∈( , ),所以 tan θ=- . 2 4 5
【答案】 12 - 5

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【感悟提高】 法一利用了方程思想, sin θ+cos θ、 θcos 由 sin θ 的值构造一元二次方程, sin θ 与 cos θ 看作此方程的两根, 把 即可求出 sin θ 与 cos θ 的值,便可求解.所谓方程思想就是 在解决问题时,用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各 量间的等量关系,建立方程或方程组,求出未知数及各量的 值,或者用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.

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跟踪训练 4.已知 θ∈(0,2π)且 sin θ,cos θ 是方程 x2-kx+k+1=0 的 两根,则 k 的值为________.
?sin θ+cos θ=k,① ? 解析:由根与系数的关系,得? ? cos ?sin θ· θ=k+1,②

① 2-②×2,得 1=k2-2k-2,∴k=3 或 k=-1.又原二次方 程满足 Δ≥0, ∴k≥2+2 2或 k≤2-2 2,舍去 k=3,得 k=-1. 答案:-1

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知能演练轻松闯关

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