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15届高三文科数学一诊模拟考试试题答案(pdf版)


成都七中 2015 届高中毕业班第一次诊断性检测模拟题 数学(文科参考答案)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 【提示】 1 D 2 B 3 C 4 C 5 B 6 A 7 D 8 D 9 C 10 C

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ?

24 ; 7

12. 7;

13.2 5 ;

? 4? 14. ?0, 3 ?

? ? 5? ? 2? ? ; 15.②④. ??? , ? ? 3 ?

【提示】 15 . ② ④ 由 题 , “ 可 平 行 性 ” 曲 线 的 充 要 条 件 是 : 对 域 内 ?x1 都 ?x2 ? x1 使 得 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) 成 立 . ① 错 ,

1 1 1 y? ? 2( x ? 2) ? ,又 2( x1 ? 2) ? ? 2( x2 ? 2) ? x x1 x2 ? x1 x2 ?

2 1 ,显然 x1 ? 时不满足;②对,由 f ( x) ? ? f (? x) ? f ?( x) ? f ?(? x) 即奇函数的导函数是偶函数,对 2 2

?x1 ? 0 都 ?x2 ? ? x1 使 得 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) 成 立 ( 可 数 形 结 合 ) ;③错,
2 3x12 ? 2 x1 ? a ? 3x2 ? 2 x2 ? a

f ?( x) ? 3x2 ? 2 x ? a , 又 当 时 ,

2 1 x ,当 x1 = 时不合题意;④对,当 x ? 0 时, f ?( x) ? e ? (0,1) ,若具有“可 3 3 1 ?m ? 1 平行性” , 必要条件是: 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 1 ? 2 ? (0,1) , 解得 x ? 1 , 又 x ? 1 时, 分段函数具有 “可平行性” , x
2 ? 3( x12 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ?

(可数形结合) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.

16.解: (Ⅰ)设

{an } 的公差为 d ,依题意,

有 a2 ? a1 ? d ? ?5, S5 ? 5a1 ? 10d ? ?20 . 联立得 ?

?a1 ? d ? ?5 ?a1 ? ?6 ,解得 ? . ?d ? 1 ?5a1 ? 10d ? ?20

? an ? ?6 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 7 .
(Ⅱ) 令

n? N?

?????6 分

an ? n ? 7 ,? Sn ?

(a1 ? an )n n(n ? 13) ? . 2 2
?????10 分

n(n ? 13) ? n ? 7 ,即 n2 ? 15n ? 14 ? 0 , 2 解得 n ? 1 或 n ? 14 .
又 n ? N* ,? n ? 14 .

? n 的最小值为 15 .
17.解 : (Ⅰ) f ( x) ?

?????12 分

3 1 ? cos 2 x 3 3 3 sin 2 x ? 3 ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2 2 2
??????4 分

1 3 ?? ? ? 3( sin 2 x ? cos 2 x) ? 3 sin ? 2 x ? ? 2 2 3? ?
由?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? , k ? Z 解得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? 12

? 5? ? ? ? T ? ?,单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? . 12 12 ? ?
(Ⅱ) f ( ) ? ?
?

??????6 分

B 2

3 ?? 3 ? ? 3sin ? B ? ? ? ? , 2 3 2 ? ?
??????8 分

?
3

?B?

?
3

?

2? ? ? ? ? B ? ? ? ? B= 3 3 6 6

由正弦定理得:

a 1 3 ,∴ sin C ? 3 , ? ? 2 sin A sin π sin C 6

π 2π 或 ??????10 分 3 3 π π 2π π 当 C ? 时, A ? ;当 C ? 时, A ? (因 a ? b, 故不合题意,舍) , 3 2 3 6
∵0 ? C ? π, ∴C ? ∴ ?ABC 为直角三角形. ??????12 分
P

18.

(Ⅰ) 证明:连接 AC 交 BE 于点 M,连接 FM . 由 EM / /CD ,

F

?

AM AE 1 PF ? ? ? , MC ED 2 FC ? FM / / AP .
A

D E

C

M

B

又 FM ? 平面BEF,PA ? 平面BEF , ? PA / /平面BEF .
(Ⅱ) ?????6 分

CF ? 2FP, BC / / AD ,

1 1 1 ?VP ? ABF ? VA? PBF ? VA?CBF ? VF ? ABC ? VF ? EBC . 2 2 2

?

VP ? ABF 1 ? . VF ? EBC 2

?????12 分

19.解: (Ⅰ)由直方图知:

(20 ? 0.015 ? 30 ? 0.015 ? 40 ? 0.025 ? 50 ? 0.02 ? 60 ? 0.015 ? 70 ? 0.01) ?10 ? 43.5
? 这 60 人的平均月收入约为 43.5 百元.
(Ⅱ)根据频率分布直方图和统计表可知道: [65,75)的人数为 0.01? 10? 60 ? 6 人,其中 2 人赞成,4 人不赞成.??????6 分 记赞成的人为 x, y ,不赞成人为 a, b, c, d , 任取 2 人的情况分别是: ??????4 分

xy, xa, xb, xc, xd , ya, yb, yc, yd , ab, ac, ad , bc, bd , cd 共 15 种情况.
其中 2 人都不赞成的是: ab, ac, ad , bc, bd , cd 共 6 种情况.

? 2 人都不赞成的概率是: P ?

6 2 ? . 15 5 7 x. 12

??????12 分

20.解:(Ⅰ)由题意得 x ? f ( x) ? ax ? x ln x ?
4

? f ( x) ? ax3 ? ln x ? ? f ?( x) ? 3ax 2 ?

7 ( x ? 0) . 12

1 . x

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴垂直,

1 ? f ?(1) ? 3a ? 1 ? 0 ? a ? ? . 3
2 此时, f ?( x) ? ? x ?

1 x3 ? 1 ?? ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , x x
??????6 分

? f ( x) 的单增区间是 (0,1) ,单减区间是 (1, ??) .

(Ⅱ)题意等价于 g ( x)max ? f ( x)max ,由(Ⅰ)知 f ( x)max ? f (1) ? ? ?

1 7 1 ? . 3 12 4

? g ( x)max ?

1 . 4

??????7 分

方法一:

g ( x) ? ? x2 ? 2bx(0 ? x ? 1) 的对称轴为 x ? b ,所以
1 ,?b ? 0 . 4 1 5 2 当 b ? 1 时, g ( x)max ? g (1) ? ?1 ? 2b ? ? b ? ,与前提矛盾,无解. 4 8 1 1 1 1 3 当 0 ? b ? 1 时, g ( x)max ? g (b) ? ?b2 ? 2b2 ? ? ? ? b ? ? 0 ? b ? . 4 2 2 2 1 综上所述, b 的取值范围 (??, ) . ??????13 分 2 1 2 方法二: ? g ( x) ? ? x ? 2bx ? 在 x ? ? 0,1? 上恒成立 ??????7 分 4 1 x ? b ? ( ? )min . 8x 2

1 当 b ? 0 时, g ( x)max ? g (0) ? 0 ?

1 x 1 x 1 1 x 1 ? ?2 ? ? ,当且仅当 ? ,即 x ? ? ? 0,1? 时等号成立. 8x 2 8x 2 2 8x 2 2
?b ? 1 1 .所以, b 的取值范围为 (??, ) . 2 2
??????13 分

21.(Ⅰ)解 由 e=

3 3 1 ,得 c= a,又 b2=a2-c2,所以 b= a,即 a=2b. 2 2 2

x y 4 5 由左顶点 M(-a,0)到直线 + =1,即 bx+ay-ab=0 的距离 d= , a b 5 |b?-a?-ab| 4 5 2ab 4 5 得 2 2 = 5 ,即 2 2= 5 , a +b a +b 把 a=2b 代入上式,得 4b2 4 5 = ,解得 b=1.所以 a=2b=2,c= 3. 5 5b2 ??????3 分

x2 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 (Ⅱ)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

①当直线 AB 的斜率不存在时,则由椭圆的对称性,可知 x1=x2,y1=-y2. → → 因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点,故OA· OB=0,
2 即 x1x2+y1y2=0,也就是 x2 1-y1=0,

x2 1 又点 A 在椭圆 C 上,所以 -y2 1=1, 4 解得|x1|=|y1|= 2 5 . 5 2 5 . 5

此时点 O 到直线 AB 的距离 d1=|x1|= ②当直线 AB 的斜率存在时, 设直线 AB 的方程为 y=kx+m,

?y=kx+m, ? 与椭圆方程联立有?x2 2 ? 4 +y =1, ?

消去 y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 4m2-4 8km 所以 x1+x2=- , x x = . 1+4k2 1 2 1+4k2 因为以 AB 为直径的圆过坐标原点 O,所以 OA⊥OB. → → 所以OA· OB=x1x2+y1y2=0. 所以(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0. 4m2-4 8k2m2 所以(1+k2)· - +m2=0. 1+4k2 1+4k2 整理得 5m2=4(k2+1), 所以点 O 到直线 AB 的距离 d1= |m| 2 5 = . 2 5 k +1 ??????8 分

2 5 综上所述,点 O 到直线 AB 的距离为定值 . 5 (Ⅲ)解 设直线 OA 的斜率为 k0. 当 k0≠0 时, 1 则 OA 的方程为 y=k0x,OB 的方程为 y=- x, k0 y=k x, ?x1=1+4k20, ? ?2 0 联立?x 得? 4k2 +y2=1, 0 ? ?4 y2 2. 1= ?
2

4

1+4k0

?x =k +4, 同理可求得? 4 ?y =k +4.
2 2 2 0 2 0 2 2

4k2 0

1 1 故△AOB 的面积为 S= 1+k2 |x1|· 1+ 2· |x |=2 0· 2 k0 2
2 令 1+k0 =t(t>1),

2 ?1+k2 0? . 2 ?1+4k2 0??k0+4?

则 S=2

t2 =2 4t +9t-9
2

1 9 9 - 2+ +4 t t



9 9 1 1 25 令 g(t)=- 2+ +4=-9( - )2+ (t>1), t t t 2 4 25 4 所以 4<g(t)≤ .所以 ≤S<1. 4 5 当 k0=0 时,可求得 S=1, 4 4 故 ≤S≤1,故 S 的最小值为 . 5 5 ??????14 分


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