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文科数学一轮迎考(5)


文科数学一轮迎考(5)2013/2/28
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.设集合 M ? {x ? R | x 2 ? 3x ? 10 ? 0} , N ? {x ? Z || x |? 2} ,则 M ? N ? A. (?2,2) 2.若复数 z ? A. ?3 B. (1,2) C. {?1, 0,1} D. {?2,?1,0,1,2}

x ? 3i ( x ? R) 是实数,则 x 的值为 1? i

开始

B. 3

C. 0

D. 3

输入 x

3.如右图所示程序框图表示:输入的实数 x 经过循环结构 的一系列运算后,输出满足条件“ x ? 2012? ”的第一个 结果.但是程序不是对于所有的实数都适用,为了保证程 序能够执行成功,输入实数 x 时需要提示 A. x ? 1 B. x ? 2 C. x ? 0 D. x ? N * 4.曲线 y ? x ? x 在 x ? 1 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0
2

x = 3x x= x-2 N
x>2011

? 互相垂直,则实数 a ? A. 3 B. ?3 Y 输出 x

1 C. 3

1 D. ? 3

?x ? y ? 1 ? 5.已知变量 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 5 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? 1 ?
A. 5 A. (12 ? 4 3 )? C. (20 ? 4 3 )? B. 6 B. 20? D. 28? C. 7 D. 8

结束

6.右图是一个几何体的三视图,则此几何体的表面积为

7.德国“伦琴”卫星在 11 年 10 月 23 日落在地球的某地,砸中地球人的概率为

1 ,为研 3200

究中学生对该事件的看法,某中学对此事进行问卷调查,共收到 2000 份问卷,得到如下果: 对该事件的态度 人 数 份数为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 关注但不关心 1000 关注有点关心 500 关注且非常关心 不关注 300

x

从收到的 2000 份有效问卷中, 采用分层抽样的方法抽取 20 份, 抽到关注且非常关心的问卷

8.函数 y ? sin ? x ? cos ? x 对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则 | x1 ? x2 | 的最

小值为 A.

1 2

B. 1

C. 2

D. 4

9.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其 中一数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为
甲 9 8 2 1 0 8 9 乙 3 3 7 9

7 4 9 C. D. 5 10 10 ???? ??? ? ??? ??? ? ? AC ? AB BC ? BA ? ? 1 , ??? ? 2 ,则 AB 边的长度为 ? 10.在 ?ABC 中, ??? | AB | | BA |
A. B. A. 1
2 2

2 5

B. 3

C. 5

D. 9

11.双曲线 交点为

x y ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的焦点为 F1 、F2 ,以 F1 F2 为直径的圆与双曲线的一个 2 a b

M ,且 tan ?MF1F2 ?
A. 2 12.已知 f ( x) ? ?

1 ,则双曲线的离心率为 2
C. 2 D. 5

B. 3

? 2 ? x ? 2, x ? 0 ,若 | f ( x) |? ax 在 x ?[?1,1] 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 ? ?3 x ? 2, x ? 0

A. (?? ? 1] ? [0,??) B. [?1,0]

C. [0,1]

D. [?1,0)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.过抛物线 y ? 4 x 的焦点,且被圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 截得弦最长的直线的方程是
2

_____________. 14.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,则函数

y ? f ( x) ? log3 | x | 的零点的个数是___________.
15.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价 a , 最 高销售 限价 b(b ? a) 及实数 x(0 ? x ? 1) ,确定实际销售价格 c ? a ? x(b ? a) .这里, x 被称为乐 观系数. 经验表明,最佳乐观系数 x 恰好使得 c ? a 是 b ? c 、 b ? a 的等比中项,据此可得

x ? ___________.
16.给出下列命题,其中正确命题的序号为 _____________. (1) AB ? BC ? CA ? 0 ; (2)函数 y ? f (1 ? x) 与 y ? f (1 ? x) 的图象关于直线 x ? 1 对称; (3)若圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ?4 F ? 0) 与坐标轴有四个交点 A( x1 , 0) ,
2 2 2 2

??? ??? ??? ? ? ?

?

B( x2 , 0) , C (0, y1 ) , D(0, y2 ) ,则 x1 x2 ? y1 y2 ;
(4) ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ” “ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17.已知 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,向量 m ? (4, ? 1) ,

??

? ?? ? 7 A n ? (cos 2 , cos 2 A) , 且 m ? n ? . 2 2 (1)求角 A 的大小;
(2)若 a ? 3 ,试判断 b ? c 取得最大值时 ?ABC 形状.

18.袋内装有 6 个球, 这些球依次被编号为 1 、2 、3 、 ?、6 , 设编号为 n 的球重 n ? 6n ? 12
2

(单位:克) ,这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响) . (1)从袋中任意取出一个球,求其重量大于其编号的概率; (2)如果不放回的任意取出 2 个球,求它们重量相等的概率.

19. 在 三 棱 锥 P ? A B C中 , PB ? 平 面 ABC , AB ? BC ,

AB ? PB ? 2 , BC ? 2 3 , E 、 G 分别为 PC 、 PA 的中点.
(1)求证:平面 BCG ? 平面 PAC ; (2)在线段 AC 上是否存在一点 N ,使 PN ? BE ?

? 20.各项都是正数的数列 {an } 对任意 n ? N 有 a1 ? a2 ? ? ? an ? S n , 其中 S n 是 {an } 的前 n
3 3 3 2

项和. (1)证明: an ? 2Sn ? an ; (2)求数列 {an } 的通项公式;
2

(3)设 bn ? 3 ? (? 1)
n

n ?1

? ? 2a (? ? Z ,? ? 0),若 bn ?1 ? bn 对任意 n ? N ? 恒成立,求 ? 的
n

值.

21.已知函数 f ( x) ? 2 x3 ?

3 2 t ?1 . tx ? 3t 2 x ? 2 2

(1)当 t ? 1时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)当 t ? 0 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (3)证明:对任意的 t ? (0, ??) ,函数 y ? f ( x) 在区间 (0,1) 内都存在零点.

22.已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,右焦点为 F ,且过点 (1, ) ,椭圆 2 a b 2

(1)求椭圆 C 的方程; C 的焦点与曲线 2 x 2 ? 2 y 2 ? 1 的焦点重合. (2)过点 F 任作椭圆 C 的一条弦 PQ ,直线 AP 、 AQ 分别交直线 x ? 4 于 M 、 N 两点, 点M 、N 的纵坐标分别为 m 、 n .问以线段 MN 为直径的圆是否经过 x 轴上的定点?若存在,求出 定点的坐标;若不存在,请说明理由.

一、选择题:CAADC

BABCB

DB

二、填空题: x ? y ? 1 ? 0 ; 三、解答题:

4;

5 ?1 ; 2

(1) (3)

17.解: (1) m ? n ? ?2cos 2 A ? 2cos A ? 3 ?
2 2

?? ?

7 1 ? , cos A ? , A ? 2 2 3
3 时, (b ? c)max ? 3 ,正三角形.

(2) 3 ? b ? c ? bc ? 2bc ? bc ? bc , b ? c ?
2

18.解: (1)由 n ? 6n ? 12 ? n 得: n ? 3 或 n ? 4 ,? n ? 1, 2,5, 6 ,所求概率 P ? (2)不放回的任意取出 2 个球,所有不同结果有 15 种: 设编号为 m 、 n 的两球重量相等,则: m ? 6m ? 12 ? n ? 6n ? 12 ,
2 2

4 2 ? . 6 3

m ? n ? 6 ,满足 m ? n ? 6 的结果有 2 种: 15,24,重量相等的概率 P ?
19.(1)证明 PA ? 平面 BCG

2 . 15

(2)取 BE 中点 Q ,连结 PQ 并延长交 BC 于 M ,过 M 作 MN / / AB ,交 AC 于 N 20.解: (1) n ? 2 时, a1 ? a2 ? ? ? an ? S n , a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? S n ?1 ,
3 3 3 2

3

3

3

2

3 2 2 an ? Sn ? Sn ?1 ? ( Sn ? Sn ?1 )( Sn ? Sn ?1 ) ? ( Sn ? Sn ?1 ) ? an , 2 an ? Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn ? an ? 2Sn ? an ,

a a a2 a n ? 1 时, 13 ? S12 ? a12 , 1 ? 1 , 12 ? 2S12 ? a1 , 对任意 n ? N ? , n ? 2Sn ? an . ?
(2) n ? 2 时, an ? 2Sn ? an , an ?1 ? 2Sn ?1 ? an ?1 ,
2

2

2 2 an ? an ?1 ? (2Sn ? an ) ? (2Sn ?1 ? an ?1 ) ? 2( Sn ? Sn?1 ) ? an ? an?1 ? an ? an ?1 ,

an ? an ?1 ? 1 , an ? n .
(3) bn ?1 ? bn ? (?1)
n ?1

? ? ( )n?1 ,

3 2

3 3 n 是奇数时, ? ? ( )n?1 ,? ( ) n?1 的最小值是1,?? ? 1 ; 2 2 3 3 3 3 3 n 是偶数时, ?? ? ( )n ?1 ,? ( ) n?1 的最小值是 ,??? ? ,? ? ? ? . 2 2 2 2 2 3 ?? ? ? ? 1 ,又 ? ? Z , ? ? 0 ,所以 ? ? ?1 . 2

21.解: (1) y ? ?3x . (2) f '( x) ? 3(2 x ? t )( x ? t ) ,

t t t t ? 0 时,增 (??, ), (?t , ??) ,减 ( , ?t ) ; t ? 0 时,增 (??, ?t ), ( , ??) , 2 2 2
减 (?t , ) . (3)当

t 2

t ? 1 ,即 t ? 2 时, y ? f ( x) 在 (0,1) 上减, 2 t ?1 3 3 f (0) ? ? 0 , f (1) ? ?3t 2 ? 2t ? ? ?3 ? 22 ? 2 ? 2 ? ? 0 , 2 2 2

函数 y ? f ( x) 在区间 (0,1) 内存在零点.

t t t ? 1 ,即 0 ? t ? 2 , y ? f ( x) 在 (0, ) 上减,在 ( ,1) 上增, 2 2 2 t 7 3 t ?1 3 3 若 0 ? t ? 1, f ( ) ? ? t ? ? 0 , f (1) ? ?3t 2 ? 2t ? ? ?3 ? 2 ? ? 0 , 2 8 2 2 2 t 函数 y ? f ( x) 在区间 ( ,1) 内存在零点,所以在区间 (0,1) 内存在零点. 2 t ?1 t 7 t ?1 7 1 若 1 ? t ? 2 , f (0) ? ? 0 , f ( ) ? ? t3 ? ? ? t3 ? ? 0 , 2 2 8 2 8 2 t 函数 y ? f ( x) 在区间 (0, ) 内存在零点,所以在区间 (0,1) 内存在零点. 2
当0 ? 22.解: (1)焦点 (?1,0),(1,0) ,2a ?

3 3 x2 y2 (1 ? 1) 2 ? ( ) 2 ? (1 ? 1) 2 ? ( ) 2 ? 4 , ? ? 1. 2 2 4 3

(2) AM : y ?

x2 y2 m ? 1 : (m2 ? 27) x 2 ? 4m2 x ? 4m2 ? 108 ? 0 , ( x ? 2) 代入 ? 4 3 6
4m 2 ? 108 ?2m2 ? 54 , x1 ? , m 2 ? 27 m2 ? 27

? ? 16 ? 272 ? 0 , 设 P( x1 , y1 ) , 则 : ?2 x1 ?

y1 ?

?2m 2 ? 54 18m ?2n2 ? 54 18n 18m , 2 ) ,同理: Q( 2 , ), , P( m2 ? 27 m ? 27 n ? 27 n2 ? 27 m2 ? 27

??? ? 3m2 ? 27 ??? ? 3n 2 ? 27 18m 18n PF ? ( 2 ,? 2 ) , QF ? ( 2 ,? 2 ), m ? 27 m ? 27 n ? 27 n ? 27 3m2 ? 27 18n 3n 2 ? 27 18m (? 2 )? 2 (? 2 ) , mn ? ?9 , 2 m ? 27 n ? 27 n ? 27 m ? 27
以线段 MN 为直径的圆的方程为: ( x ? 4) ? ( y ? m)( y ? n) ? 0 ,
2

令 y ? 0 ,得 ( x ? 4) ? 9 , x ? 1 或 x ? 7 ,经过
2


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