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第二节 两角和与差及二倍角的三角函数


第二节

两角和与差及二倍角的三角函数

A组 3 π π 5π 1.若 sinα= ,α∈(- , ),则 cos(α+ )=________. 5 2 2 4 π π 3 4 5π 解析:由于 α∈(- , ),sinα= 得 cosα= ,由两角和与差的余弦公式得:cos(α+ ) 2 2 5 5 4 2 2 =- (cosα-sinα)=- . 2 10 3 1 1 1 1 2.已知 π<θ< π,则 + + cosθ=________. 2 2 2 2 2 3π π θ 3π π θ 3π 解析:∵π<θ< ,∴ < < , < < . 2 2 2 4 4 4 8 1 1 1 1 + + cosθ= 2 2 2 2 1 1 θ θ = - cos =sin . 2 2 2 4 1 1 + 2 2 θ cos2 2

cos10° + 3sin10° 3.(2010 年南京市调研)计算: =________. 1-cos80° cos10° + 3sin10° 2cos(10° -60° ) 2cos50° 解析: = = = 2. 2 2sin 40° 2sin40° 1-cos80° 4.(2009 年高考上海卷)函数 y=2cos2x+sin2x 的最小值是__________________. 解析:y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+1 π = 2sin(2x+ )+1≥1- 2. 4 1 1 5.(原创题)函数 f(x)=(sin2x+ )(cos2x+ )的最小值是________. 2010sin2x 2010cos2x (2010sin4x+1)(2010cos4x+1) 解析:f(x)= 20102sin2xcos2x 2 4 4 2010 sin xcos x+2010(sin4x+cos4x)+1 = 20102sin2xcos2x 2011 2 2 =sin2xcos2x+ - ≥ ( 2011-1). 20102sin2xcos2x 2010 2010 π π 6.已知角 α∈( , ),且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0. 4 2 π π (1)求 tan(α+ )的值;(2)求 cos( -2α)的值. 4 3 解:∵(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0, π π 4 4 3 又 α∈( , ),∴tanα= ,sinα= ,cosα= , 4 2 3 5 5 π 4 tanα+tan +1 4 3 π (1)tan(α+ )= = =-7. 4 π 4 1-tanαtan 1- 4 3 7 24 (2)cos2α=2cos2α-1=- ,sin2α=2sinαcosα= , 25 25 π π π 1 7 3 24 24 3-7 cos( -2α)=cos cos2α+sin sin2α= ×(- )+ × = . 3 3 3 2 25 2 25 50 B组 2 π 1 π 1.若 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,则 tan(α+ )=_____. 5 4 4 4

π 2 1 tan(α+β)-tan(β- ) - 4 5 4 3 = = . π 2 1 22 1+tan(α+β)tan(β- ) 1+ × 4 5 4 1 2.(2009 年高考陕西卷改编)若 3sinα+cosα=0,则 2 的值为________. cos α+sin2α sin2α+cos2α 1 解析: 由 3sinα + cosα = 0 得 cosα =- 3sinα ,则 2 = = cos α+sin2α cos2α+2sinαcosα 2 2 9sin α+sin α 10 = . 9sin2α-6sin2α 3 6 3.设 a=sin14° +cos14° ,b=sin16° +cos16° ,c= ,则 a、b、c 的大小关系是 2 解析:a= 2sin59° ,c= 2sin60° ,b= 2sin61° ,∴a<c<b. 1 3 2 1 3 2 3 2 或 a =1+sin28° <1+ = ,b =1+sin32° >1+ = ,c = ,∴a<c<b. 2 2 2 2 2 π π 解析:tan(α+ )=tan[(α+β)-(β- )]= 4 4 4. 2+2cos8+2 1-sin8的化简结果是________. 解析:原式= 4cos24+2 (sin4-cos4)2=|2cos4|+2|sin4-cos4|=-2sin4. 1 10 π π π 5.若 tanα+ = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值为_________. tanα 3 4 2 4 π 2 2tanα 3 解析: 由题意知, tanα=3, sin(2α+ )= (sin2α+cos2α), 而 sin2α= = , cos2α 4 2 1+tan2α 5 1-tan2α 4 π 23 4 2 = =- .∴sin(2α+ )= ( - )=- . 5 4 2 5 5 10 1+tan2α 6.若函数 f(x)=sin2x-2sin2x· sin2x(x∈R),则 f(x)的最小正周期为________. 1 2π π 解析:f(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2xcos2x= sin4x,所以 T= = . 2 4 2 2cos5° -sin25° 7.(2010 年无锡质检) 的值为________. cos25° 2cos(30° -25° )-sin25° 3cos25° 解析:由已知得:原式= = = 3. cos25° cos25° 8.向量 a=(cos10° ,sin10° ),b=(cos70° ,sin70° ),|a-2b|=________________. 解 析 : |a - 2b|2 = (cos10°- 2cos70° )2 + (sin10°- 2sin70° )2 = 5 - 4cos10° cos70°- 4sin10° sin70° =5-4cos60° =3,∴|a-2b|= 3. 1-cos2α 1 9.(2010 年江苏省南通市调研)已知 =1,tan(β-α)=- ,则 tan(β-2α)=________. sinαcosα 3 1-cos2α 1-tan2α 1 2tanα 1 解析:因为 =1,即 1- 2 = × 2 ,所以 2tanα=1,即 tanα= , sinαcosα 2 2 1+tan α 1+tan α 1 1 - - 3 2 tan(β-α)-tanα 所以 tan(β-2α)=tan(β-α-α)= = =-1. 1 1+tan(β-α)tanα 1- 6 2 sin2α+cos (π-α) π 10.已知 tanα=2.求(1)tan(α+ )的值;(2) 的值. 4 1+cos2α π 1+tanα π 1+2 解:(1)∵tan(α+ )= ,tanα=2,∴tan(α+ )= =-3. 4 1-tanα 4 1-2 sin2α+cos2(π-α) 2sinαcosα+cos2α 2sinα+cosα 1 5 (2) = = =tanα+ = . 2 2cos α 2cos α 2 2 1+cos2α 11.如图,点 A,B 是单位圆上的两点,A,B 两点分别在 第一、二 象限,点 C 是圆与 x 轴正半轴的交点,△AOB 是正三角 形, 若点 A 3 4 的坐标为( , ),记∠COA=α. 5 5

1+sin2α (1)求 的值;(2)求|BC|2 的值. 1+cos2α 1+sin2α 3 4 4 3 解:(1)∵A 的坐标为( , ),根据三角函数的定义可知,sinα= ,cosα= ,∴ 5 5 5 5 1+cos2α 1+2sinαcosα 49 = = . 2cos2α 18 (2)∵△AOB 为正三角形, ∴∠AOB = 60° .∴cos∠COB = cos(α + 60° ) = cosαcos60° - 3 1 4 3 3-4 3 sinαsin60° .= × - × = , 5 2 5 2 10 3-4 3 7+4 3 ∴|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OC|· |OB|cos∠COB=1+1-2× = . 10 5 sinA+sinB 12.(2009 年高考江西卷)△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC= , cosA+cosB sin(B-A)=cosC.(1)求角 A,C.(2)若 S△ABC=3+ 3,求 a,c. sinA+sinB sinC sinA+sinB 解:(1)因为 tanC= ,即 = , cosC cosA+cosB cosA+cosB 所以 sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB, 得 sin(C-A)=sin(B-C), 所以 C-A=B-C,或 C-A=π-(B-C)(不成立), π 2π 即 2C=A+B,得 C= ,所以 B+A= . 3 3 1 π 5π 又因为 sin(B-A)=cosC= ,则 B-A= 或 B-A= (舍去), 2 6 6 π 5π π π 得 A= ,B= .故 A= ,C= . 4 12 4 3 6+ 2 1 a c a c (2)S△ABC= acsinB= ac=3+ 3,又 = ,即 = , 2 8 sinA sinC 2 3 2 2 得 a=2 2,c=2 3.


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