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湖北省武昌区2013届高三元月调研测试数学(理)试题(扫描版)有答案_图文

1

2

3

武昌区 2013 届高三元月调研测试
理科数学参考答案及评分细则
一、选择题: 1.A 2.C 二、填空题: 3.C 4.C 5.D 6.D 7.C 8.B 9.C 10.B

4

11. ?

3 4

12. 3

13. ?80

14.① 与③

15. 1007×22012

三、解答题: 16.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ )因为 f ? x ? ? cos( 2 x ?

?
3

) ? sin 2 x ? cos 2 x cos

?
3

? sin 2 x sin

?
3

?

1 ? cos 2 x 2

?

1 3 ? sin 2 x . 2 2
?1 3 1 3? , ? ?. 2 2 2 ?
……………………(6 分)

所以,最小正周期 T ? ? ,值域为 ? ?

?2

(Ⅱ ? 2 AC ? CB ? )

??? ??? ? ?

2ab ,? 2ba cos ?? ? C ? ? 2ab , cos C ? ?

2 . 2

?C ?

3? . 4

又, f ? A? ? 而0 ? A ?

1 1 3 1 3 1 3 ,? ? ,? sin 2 A ? . ? sin 2 A ? ? 2 2 4 2 2 2 4
,? A ?

?
4

?
12

,B ?

?
6

.

由正弦定理,有

a sin

?
12

?

b sin

?
6

?

c a b 2 2 ,即 . ? ? 3? 6? 2 1 2 sin 2 4 4 2

?a ? 6 ? 2, b ? 2 .
?S ? 1 1 2 absin C ? ? ( 6 ? 2 ) ? 2 ? ? 3 ? 1. 2 2 2
……………………(12 分)

17.(本小题满分 12 分) 解: )由直方图,经过计算该校高三年级男生平均身高为 (Ⅰ

(162 ?

5 7 8 2 2 1 ? 166 ? ? 170 ? ? 174 ? ? 178 ? ? 182 ? ) ? 4 ? 168 .72 , 100 100 100 100 100 100

高于全市的平均值 168(或者:经过计算该校高三年级男生平均身高为 168.72,比较接近全 市的平均值 168). …………………………………………………………(4 分) (Ⅱ )由频率分布直方图知,后三组频率为(0.02+0.02+0.01)×4=0.2,人数为 0.2× 5=10, 即这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人数为 10 人. ……………(6 分) (Ⅲ ? P(168? 3 ? 4 ? ? ? 168? 3 ? 4) ? 0.997 4 , )

5

? P(? ? 180 ) ?

1 ? 0.9974 ? 0.0013 ,0.0013×100 000=130. 2

所以,全市前 130 名的身高在 180 cm 以上,这 50 人中 180 cm 以上的有 2 人. 随机变量 ? 可取 0,1, 2 ,于是
1 1 C82 28 C8 C2 16 C2 1 , P(? ? 1) ? , P(? ? 2) ? 2 ? P(? ? 0) ? 2 ? ? 2 2 45 C10 45 C10 C10 45

? E? ? 0 ?

28 16 1 2 ? 1? ? 2? ? . 45 45 45 5

………………………………(12 分)

18.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ )由 Sn ? 2an ?1 ,得 S1 ? 2a1 ?1 ,所以 a1 ? 1 . 又 Sn ? 2an ?1 , Sn?1 ? 2an?1 ?1 n ? 2 , , 两式相减,得 Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 , an ? 2an ? 2an?1 .

? an ? 2an?1 , n ? 2 .所以,数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列.

? an ? 1? 2n?1 ? 2n?1 .
由 bn?1 ? bn ? bnbn?1 ,得

…………………………………………………………(4 分)

1 1 ? ? 1. bn bn ?1

又 b1 ? 1 ,所以数列 ?

?1? ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列. ? bn ?

?

1 ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n . bn
1 . n
…………………………………………………(8 分)

? bn ?

(Ⅱ ? Tn ? 1? 20 ? 2 ? 21 +?+n ? 2n-1 , )

? 2Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 +?+n ? 2n .
两式相减,得 ?Tn ? 1 ? 2 +? ? 2
1 n ?1

? n ? 2n ?

1-2n ? n ? 2n ? ?1 ? 2 n ? n ? 2 n . 1-2

所以, Tn ? (n ? 1) ? 2 ? 1 .
n

……………………………………………………(12 分)

19.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ )以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则
6

A(0,0,0) , B(0,2,0) , C (2,2,0) , D(1,0,0) , S (0,0,2) , M (0,1,1) .
则 AM ? ? 0,1,1? , SD ? ?1,0, ?2 ? , CD ? ? ?1, ?2,0 ? .

???? ?

??? ?

??? ?

? 设平面 SCD 的法向量是 n ? ? x, y, z ? , 则
?SD ? n ? 0, ? x ? 2 z ? 0, ? 即? ?? ?CD ? n ? 0, ?? x ? 2 y ? 0. ?
令 z ? 1 ,则 x ? 2, y ? ?1 ,于是 n ? (2,?1,1) .

z S M y B N A D x C

? AM ? n ? 0 ,? AM ? n .

? AM∥平面 SCD. ……………………………………………………(4 分) ?? (Ⅱ )易知平面 SAB 的法向量为 n1 ? ?1,0,0 ? .设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为 ? ,
?? ? ?1, 0, 0 ? ? ? 2, ?1,1? ? 2 ? 6 n1 ? n 6 则 cos? ? ?? ? ? ,即 cos? ? . 3 3 1? 6 1? 6 n1 ? n

? 平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值为

6 .………………………………(8 分) 3

(Ⅲ )设 N ? ? x, 2x ? 2,0? , ,则 MN ? ? x, 2 x ? 3, ?1? . 又,面 SAB 的法向量为 n1 ? ?1,0,0 ? ,

???? ?

??

所以, sin ? =

? x, 2 x ? 3, ?1? ? ?1, 0, 0 ? ? 2 2 x 2 ? ? 2 x ? 3? ? ? ?1? ?1
? 1 1 3 7 10( ? ) 2 ? x 5 5

x 5 x 2 ? 12 x ? 10

?

1 . 1 1 5 ? 12 ? 10 2 x x

?

1 1 1 10( ) 2 ? 12( ) ? 5 x x

.



1 3 5 35 ? , x ? 时,sin ? max ? 即 .……………………………………………… (12 分) 3 x 5 7

20.(本题满分 13 分) 解:(Ⅰ )设点 M ? x, y ? , P ? x0 , y0 ? ,则由题意知 P0 ( x0 ,0) .

7

由 MP0 ? ( x0 ? x,? y) , PP ? (0,? y 0 ) ,且 MP ? 0 0

???? ?

3 ???? PP0 , 2

得 ( x0 ? x,? y ) ?

3 (0,? y0 ) . 2

? x0 ? x ? 0, ? x 0 ? x, ? ? 所以 ? 于是 ? 2 3 y0 , ?? y ? ? ? y 0 ? 3 y. 2 ? ?
2 2 又 x0 ? y0 ? 4 ,所以 x ?
2

4 2 y ? 4. 3

所以,点 M 的轨迹 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 .………………………………(3 分) 4 3

(Ⅱ )设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .

? y ? kx ? m, ? 联立 ? x 2 y2 ? ? 1, ? 3 ?4
得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8mkx? 4(m 2 ? 3) ? 0 .
2 2 2 所以, ? ? (8mk) ? 16(3 ? 4k )(m ? 3) ? 0 ,即 3 ? 4k ? m ? 0 .
2 2



8m k ? ? x1 ? x 2 ? ? 3 ? 4k 2 , ? 且? 2 ? x ? x ? 4(m ? 3) . ? 1 2 3 ? 4k 2 ?
(i)依题意, k ?
2

………………………………………………(5 分)

y1 y2 kx ? m kx2 ? m 2 ,即 k ? 1 . ? x1 x2 x1 x2

? x1x2k 2 ? k 2 x1x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m2 .
8mk ) ? m2 ? 0 . 2 3 ? 4k 8k 3 ? m ? 0 ,? k (? ) ? 1 ? 0 ,解得 k 2 ? . 2 4 3 ? 4k 3 2 2 将 k ? 代入①,得 m ? 6 . 4

? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 ,即 km (?

所以,m 的取值范围是 (? 6 ,0) ? (0, 6 ) .

…………………………………………(8 分)

8

(ii)曲线

x2 y2 ? ? 1 与 x 轴正半轴的交点为 Q(2,0) . 4 3

依题意, AQ ? BQ , 即 AQ ? BQ ? 0 . 于是 (2 ? x1 ,? y1 ) ? (2 ? x2 ,? y 2 ) ? 0 .

? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? y1 y2 ? 0 ,即 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,
4(m 2 ? 3) 8m k ? (k ? 1) ? ? (km ? 2) ? (? ) ? 4 ? m2 ? 0 . 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
2

化简,得 7m ? 16mk ? 4k ? 0 .
2 2

解得, m ? ?2k 或 m ? ?

2k 2 2 ,且均满足 3 ? 4k ? m ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 ( 2,0) (舍去);

2k 2 2 时,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( ,0) . 7 7 7 2 所以,直线过定点 ( ,0) . …………………………………………………(13 分) 7
当m ? ? 21.(本题满分 14 分) 解: (Ⅰ f ? ? x ? ? )

1 1 x ?1 ? ? 2 , x ? 0. x x2 x

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 ,因此函数 f ?x ? 的单调递增区间是 ?1, ?? ? . 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ,因此函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ? 0,1? .…………(4 分) (Ⅱ )依题意, ma ? f ? x ?max . 由(Ⅰ )知, f ? x ? 在 x ??1, e? 上是增函数,

1 1 ? f ? x ?max ? f ? e ? ? ln e ? ? 1 ? . e e 1 1 ? ma ? ,即 ma ? ? 0 对于任意的 a? ? ?1,1? 恒成立. e e

1 ? m ? 1 ? ? 0, ? 1 1 ? e ?? 解得 ? ? m ? . e e ?m ? (?1) ? 1 ? 0. ? e ?

9

1 1 …………………………………………(8 分) e e 1 (Ⅲ )由(Ⅰ f ? x ? ? ln x ? ? 1 ? f ?1? ? 0 , ) x 1 1 ? ln x ? 1 ? ,? ln x 2 ? 1 ? 2 . x x 1 1 1 ? ln12 ? ln 22 ? ? ? ln n 2 ? 1 ? 2 +1 ? 2 + ? +1 ? 2 . 1 2 n 1 1 1 即 2 ln 1 ? 2 ln 2 ? ? ? 2 ln n ? n ? ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) . 1 2 n
所以, m 的取值范围是 [? , ] . 又,

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 1? ? ??? 2 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 1 2 n

1 1 1 1 1 1 ? ??? ] ? ? ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? ?[1 ? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 1 2 n 1 1 1 1 1 1 ? n ? ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? n ? [1 ? ? ??? ] 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 1 2 n 1 1 1 1 1 (n ? 1) 2 ? n ? [1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? . 2 2 3 n ?1 n n ? ln 1 ? ln 2 ? ? ? ln n ?
2

(n ? 1) 2 . 2n
2 2 2 2 2 2

由柯西不等式, (ln 1 ? ln 2 ? ? ? ln n)(1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? (ln1 ? ln 2 ? ? ? ln n) .

? ln 2 1 ? ln 2 2 ? ? ? ln 2 n ?

1 (n ? 1) 4 (ln1 ? ln 2 ? ? ? ln n) 2 ? n 4n 3 (n ? 1) 4 . 4n 3
……………………………………(14 分)

.

? ln 2 1 ? ln 2 2 ? ? ? ln 2 n ?

10


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