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高三总复习37-平面的基本性质


课时作业(三十九)

一、选择题 1.(2013 年临沂期中)设 a,b 为两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面, 下列四个命题中,正确的命题是 A.若 a,b 与 α 所成角相等,则 a∥b B.若 a∥α,b∥α,α∥β,则 a∥b C.若 a?α,b?β,a∥b,则 α∥β D.若 a⊥α,b⊥β,α⊥β,则 a⊥b 解析:对于 A,a 与 b 可以平行,可以相交,也可以异面;对于 B,a 与 b 平行或异面;对于 C,α 与 β 平行或相交;选项 D 正确. 答案:D 2.一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 α 的距离相等,那么直线 l 与平面 α 的位置关系是 A.l∥α C.l 与 α 相交但不垂直 B.l⊥α D.l∥α 或 l?α ( ) ( )

解析:l∥α 时,直线 l 上任意点到 α 的距离都相等,l?α 时,直线 l 上所有 的点到 α 的距离都是 0,l⊥α 时,直线 l 上有两个点到 α 距离相等,l 与 α 斜交 时,也只能有两点到 α 距离相等. 答案:D 3.(2012 年长春模拟)a、b、c 为三条不重合的直线,α、β、γ 为三个不重合 平面,现给出六个命题 ① a∥c? ??a∥b b∥c? α∥γ? ??α∥β β∥γ? ② a∥γ? ??a∥b b∥γ? α∥c? ??α∥a a∥c? ③ α∥c? ??α∥β β∥c? a∥γ? ??α∥a α∥γ? ( )







其中正确的命题是

A.①②③ C.①④

B.①④⑤ D.①③④

解析:①④正确.②错在 a、b 可能相交或异面.③错在 α 与 β 可能相交.⑤ ⑥错在 a 可能在 α 内. 答案:C 4.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α C.若 l∥α,m?α,则 l∥m D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m 解析:对于 A:若 l⊥m,m?α,则 l?α 可能成立,l⊥α 不一定成立,A 错 误;对于 B:若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α,正确;同理对于 C、D 可判定错误. 答案:B )

5 .如图,若 Ω 是长方体 ABCD - A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1,则下列结论中不正确的是 A.EH∥FG C.Ω 是棱柱 B.四边形 EFGH 是矩形 D.Ω 是棱台 ( )

解析:∵EH∥A1D1,A1D1∥B1C1, ∴EH∥B1C1.∴EH∥平面 BCGF. ∵FG?平面 BCGF,∴EH∥FG,故 A 对. ∵B1C1⊥平面 A1B1BA,EF?平面 A1B1BA,∴B1C1⊥EF, 则 EH⊥EF.由上面的分析知,四边形 EFGH 为平行四边形,故它也是矩形, 故 B 对. 由 EH∥B1C1∥FG,故 Ω 是棱柱,故 C 对,选 D. 答案:D

6.若 α、β 是两个相交平面,点 A 不在 α 内,也不在 β 内,则过点 A 且与 α 和 β 都平行的直线 A.只有 1 条 C.只有 4 条 B.只有 2 条 D.有无数条 ( )

解析:据题意如图,要使过点 A 的直线 m 与平面 α 平行,则据线面平行的 性质定理得经过直线 m 的平面与平面 α 的交线 n 与直线 m 平行,同理可得经过 直线 m 的平面与平面 β 的交线 k 与直线 m 平行,则推出 n∥k,由线面平行可进 一步推出直线 n 与直线 k 与两平面 α 与 β 的交线平行,即要满足条件的直线 m 只需过点 A 且与两平面交线平行即可,显然这样的直线有且只有一条. 答案:A 二、填空题 7.若 m、n 为两条不重合的直线,α、β 为两个不重合的平面,则下列命题 中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). ①若 m、n 都平行于平面 α,则 m、n 一定不是相交直线; ②若 m、n 都垂直于平面 α,则 m、n 一定是平行直线; ③已知 α、β 互相平行,m、n 互相平行,若 m∥α,则 n∥β; ④若 m、n 在平面 α 内的射影互相平行,则 m、n 互相平行. 解析:①为假命题,②为真命题,在③中,n 可以平行于 β,也可以在 β 内, 故是假命题,在④中,m、n 也可能异面,故为假命题. 答案:② 8.设 α、β、γ 为三个不同的平面,m、n 是两条不同的直线,在命题“α∩β =m,n?γ,且________,则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使 该命题为真命题. ①α∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m?γ. 解析:由面面平行的性质可知①成立;由线面平行的性质可知③成立. 答案:①或③

9.已知 m、n 是不同的直线,α,β 是不重合的平面,给出下列命题: ①若 m∥α,则 m 平行于平面 α 内的任意一条直线; ②若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n; ③若 m⊥α,n⊥β,m∥n,则 α∥β; ④若 α∥β,m?α,则 m∥β. 上面的命题中,真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). 解析:①由 m∥α,则 m 与 α 内的直线无公共点, ∴m 与 α 内的直线平行或异面,故①不正确. ②α∥β,则 α 内的直线与 β 内的直线无共点, ∴m 与 n 平行或异面,故②不正确. ③④正确. 答案:③④

三、解答题 10.如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,MD⊥平面 ABCD,NB⊥平 面 ABCD,且 MD=NB=1. (1)求证:CN∥平面 AMD; (2)求该几何体的体积. 解:(1)证明:∵ABCD 是正方形, ∴BC∥AD,∴BC∥平面 AMD. 又 MD⊥平面 ABCD,NB⊥平面 ABCD, ∴MD∥NB,∴NB∥平面 AMD,

又∵BC∩NB=B,所以平面 BNC∥平面 AMD, ∵CN?平面 BNC,故 CN∥平面 AMD. (2)连接 AC、BD,设 AC 与 BD 交于 O 点, ∵ABCD 是正方形,∴AO⊥BD, 又 NB⊥平面 ABCD,∴AO⊥NB, 又∵NB∩BD=B,∴AO⊥平面 MDBN, 因为矩形 MDBN 的面积 S=MD×BD= 2, AC 2 AO= 2 = 2 , 1 2 2 1 所以四棱锥 A-MDBN 的体积 V=3S· AO= 3 × 2 =3. 1 2 同理四棱锥 C-MDBN 的体积为 ,故该几何体的体积为 . 3 3

11.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为 A1B1、A1D1 的中 点,E、F 分别为 B1C1、C1D1 的中点. (1)求证:四边形 BDFE 是梯形; (2)求证:平面 AMN∥平面 EFDB. 证明:(1)连接 B1D1. 在△B1D1C1 中,E、F 分别是 B1C1、C1D1 的中点, 1 ∴EF 綊2B1D1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 四边形 BDD1B1 是矩形,

1 ∴BD 綊 B1D1,∴EF 綊2BD. ∴四边形 BDFE 是梯形. (2)在△A1B1D1 中,M、N 分别为 A1B1、A1D1 的中点, ∴MN∥B1D1,由(1)知,EF∥B1D1,∴MN∥EF. 在正方形 A1B1C1D1 中,F 为 C1D1 的中点,M 为 A1B1 的中点, ∴FM 綊 A1D1,而正方体的侧面 ADD1A1 为正方形, ∴AD 綊 A1D1,∴FM 綊 AD, ∴四边形 ADFM 为平行四边形, ∴AM∥DF.又∵AM∩MN=M,EF∩FE=F, ∴平面 AMN∥平面 EFDB.

12.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1,底面为正三角形,侧棱 A1A⊥底面 ABC, 点 E、F 分别是棱 CC1、BB1 上的点,点 M 是线段 AC 上的动点,EC=2FB.当点 M 在何位置时,BM∥平面 AEF? 解:解法一:如图,取 AE 的中点 O,连接 OF,过点 O 作 OM⊥AC 于点 M.

∵侧棱 A1A⊥底面 ABC, ∴侧面 A1ACC1⊥底面 ABC, ∴OM⊥底面 ABC. 又∵EC=2FB,

1 ∴OM∥FB 綊2EC, ∴四边形 OMBF 为矩形, ∴BM∥OF, 又∵OF?面 AEF,BM?面 AEF. 故 BM∥平面 AEF,此时点 M 为 AC 的中点.

解法二:如图,取 EC 的中点 P,AC 的中点 Q,连接 PQ、PB、BQ, ∴PQ∥AE.∵EC=2FB, ∴PE 綊 BF,PB∥EF, ∴PQ∥平面 AEF,PB∥平面 AEF. 又 PQ∩PB=P, ∴平面 PBQ∥平面 AEF, 又∵BQ?面 PQB, ∴BQ∥平面 AEF. 故点 Q 即为所求的点 M,此时点 M 为 AC 的中点. [热点预测]

13. 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, 线段 B1D1 上有两个动点 E、 1 F,且 EF=2,则下列结论中错误的是 A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD ( )

C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值 D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 解析:由 AC⊥平面 DBB1D1 可知 AC⊥BE.故 A 正确.EF∥BD,EF?平面 ABCD,BD?平面 ABCD,知 EF∥平面 ABCD,故 B 正确. 2 1 A 到平面 BEF 的距离即为 A 到平面 DBB1D1 的距离为 2 , 且 S△BEF=2BB1×EF =定值, 故 VA-BEF 为定值,即 C 正确. 答案:D

14.如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、 C1D1、D1D、DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动, 则当 M 满足条件________时,有 MN∥平面 B1BDD1. 解析:当 M 点满足在线段 FH 上有 MN∥面 B1BDD1. 答案:M∈线段 FH

15.如图,四面体 ABCD 中,F、E、H 分别是棱 AB、BD、AC 的中点,G 为 DE 的中点. 证明:直线 HG∥平面 CEF. 证明:证法一:如图,连接 BH,BH 与 CF 交于 K,连接 EK. ∵F、H 分别是 AB、AC 的中点,∴K 是△ABC 的重心, BK 2 BE 2 ∴BH=3.又据题设条件知,BG=3,

BK BE ∴BH=BG,∴EK∥GH. ∵EK?平面 CEF,GH?平面 CEF, ∴直线 HG∥平面 CEF. 证法二:如图,取 CD 的中点 N,连接 GN、HN. ∵G 为 DE 的中点,

∴GN∥CE. ∵CE?平面 CEF, GN?平面 CEF, ∴GN∥平面 CEF. ∵F、E、H 分别是棱 AB、BD、AC 的中点, 1 1 ∴FH 綊2BC,EN 綊2BC,∴FH 綊 EN, ∴四边形 FHNE 为平行四边形, ∴HN∥EF; ∵EF?平面 CEF,HN?平面 CEF, ∴HN∥平面 CEF. HN∩GN=N,∴平面 GHN∥平面 CEF. ∵GH?平面 GHN,∴直线 HG∥平面 CEF.


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