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函数思想在高中数学解题中的应用


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 函数思想在高中数学解题中的应用 作者:刘义凤 来源:《中学生数理化· 学研版》2015 年第 07 期 函数思想是数学中一种经典的思想方法,并且能够在很多实际问题的解答中发挥很好的效 果。在高中数学课程的教学中,学生们对于各种类型的函数已经非常熟悉,对于不同函数的应 用也较为熟练。教师在平时的知识教学时要深化对于学生函数思想的培养,要让大家能够更为 灵活地应用这一思想方法来解决很多实际问题。这不仅能够让很多复杂问题清晰化,这也可以 使得很多常规方法难以解答的问题能够有效被突破,这才是学生解题技巧的直观体现。 一、函数思想在方程问题中的应用 函数思想首先能够在很多方程问题中得以应用,这也是较为常规的应用形式。高中数学课 程中学生们会碰到很多含参数的较为复杂的方程问题,不少问题需要学生解出相关的参数,或 者是比较参数的大小。这类问题通常给出的条件都很有限,题设会非常简单。不少学生在碰到 这类问题后都会头脑一片空白,完全找不到正确思路。这种题目就是典型的需要用到具体的数 学思想方法来解答的类型,学生如果能够对于题目有准确判断,并且在合适的思想方法的应用 下来解答,问题通常就会变得非常直观。在解决这类问题时函数的思想往往能够发挥非常好的 效用,不仅能够立刻让抽象问题清晰起来,借助函数模型的合理构建问题也会很快得以解答。 以下述问题为例:已知方程(x-b)(x-a)=2,其中两个根分别是 m 和 n,并且 a 小于 b,m 小于 n。问题是:求实数 a、b、m、n 之间的大小关系。这个问题可以很好的透过函数思 想来加以解答。按照函数的思想将方程式转化成两个与函数有关的关系:已知方程式转化为 f (x)=(x-a)(x-b)-2 及 g(x)=(x-a)(x-b)两个函数。然后画一个直角坐标系,并在其中作函数 g(x)和 f (x)的函数图像,通过观察函数图像中与 x 轴的交点就可以得到答案,即 m 小于 a 小于 b 小 于 n。从这个解题过程中我们可以清晰的看到,合理的构建函数在解决很多抽象的方程问题时 可以发挥的积极效用,这才是最为高效的解题方法。教师在平时的知识教学中要深化对于学生 函数思想的培养,这对于提升大家的解题能力将会很有帮助。 二、函数思想在不等式问题中的应用 函数思想在很多不等式问题中也可以很好地得到应用。很多不等式的证明问题中需要灵活 的将问题进行转化,当发现常规思路解题非常困难时,这往往说明这种思路并不正确。教师要 让学生具备灵活的思维能力,透过有效的思维转化将问题得以化简。很多不等式问题都可以通 过函数的构建来加以分析,最终得到相应的答案。教师要让学生们对于各种类型的函数及相互 间的转换关系非常熟悉,这样在函数构建时才能够找到合适的类型,并且高效的将问题解答。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 数学中不等式的问题是函数问题中的另外一部分,不等式问题的实质性可以通过运用函数 思想来获取,很多不等式问题在分析时可以以函数模型的构建来加以辅助,并且最终通过对于 函数的分析将不等式问题解答。这里举一个例子:在锐角三角形 ABC 中,证明角 A、角 B、 角 C 三者余弦值的和小于角 A、角 B、角 C 三者正弦值的和。我们可以通过锐角三角形中三个 锐角函数的关系来解析,而不是通过运用三角式的变形去证明这个不等式。这是一个非常灵活 的解题过程,不仅很好应用了函数思想,这也是对于化归思想的一种应用。对于高中数学中的 很多问题,解答时往往需要综合应用多种

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