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高考调研2016年专题研究7-2 数学归纳法


高考调研

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专题研究

数学归纳法

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第七章

不等式及推理与证明

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专题要点
专题讲解

题 组 层 级 快 练

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第七章

不等式及推理与证明

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专题要点

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第七章

不等式及推理与证明

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1.数学归纳法的适证对象
数学归纳法是用来证明关于正整数命题的一种方法,若 n0是起始值,则n0是使命题成立的最小正整数. 2.数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时,其步骤如下: (1)当n=n0(n0=N*)时,验证命题成立; (2)假设n=k,(k≥n0,k∈N*)时命题成立,推证n=k+1时 命题也成立,从而推出对所有的n≥n0,n∈N*命题成立,其中

第一步是归纳基础,第二步是归纳递推二者缺一不可.
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第七章

不等式及推理与证明

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专 题 讲 解

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第七章

不等式及推理与证明

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题型一

证明恒等式

例1

1 1 1 1 1 1 1 求证:1-2+3-4+?+ - = + 2n-1 2n n+1 n+2

1 +?+2n(n∈N*). 1 1 1 【解析】 (1)当n=1时,左边=1- 2 = 2 ,右边= 1+1 1 =2.左边=右边.
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第七章

不等式及推理与证明

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( 2 ) 假 设 n=k时 等 式 成 立 , 即 1 1 1 1 2k=k+1+k+2+?+2k, 则 当 n=k+1时 ,

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1 1 1 1 1- 2 + 3 - 4 +?+ - 2k-1

1 1 1 1 1 1 1 1 1-2+3-4+?+ - +( - )= + 2k-1 2k 2k+1 2k+2 k+1 1 1 1 1 +?+2k+( - ) k+2 2k+1 2k+2 1 1 1 1 = + +?+ + . k + 2 k +3 2k+1 2k+2
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第七章

不等式及推理与证明

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即当n=k+1时,等式也成立. 综合(1),(2)可知,对一切n∈N*,等式成立. 【答案】 略

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不等式及推理与证明

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探究1

用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题

关键在于 “先看项 ”,弄清等式两边的构成规律,等式的两 边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关. 由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎 样的项.

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不等式及推理与证明

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思考题1 用数学归纳法证明:
1 n +?+ = (其中n∈N*). 2n?2n+2? 4?n+1? 【解析】

1 1 1 + + 2×4 4×6 6×8

1 1 (1)当n=1时,等式左边= = , 2×4 8

1 1 等式右边= = ,∴等式成立. 4?1+1? 8

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第七章

不等式及推理与证明

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( 2 ) 假 设 n=k(k≥1,k∈N*)时 等 式 成 立 . 1 1 1 k 即 + +?+ = 成 立 , 那 么 当 2×4 4×6 2k?2k+2? 4?k+1? 1 1 1 1 n=k+1时 , + + +? + + 2×4 4×6 6×8 2k?2k+2? 1 2?k+1?[2?k+1?+2] 1 k = + 4?k+1? 4?k+1??k+2? k?k+2?+1 ?k+1?2 = = 4?k+1??k+2? 4?k+1??k+2?
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不等式及推理与证明

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k+1 = , 4[?k+1?+1] 即n=k+1时等式成立. 由(1),(2)可知,对任意n∈N*等式均成立.
【答案】 略

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题型二 证明不等式
例2 > n+1. 2+1 4+1 2n+1 用数学归纳法证明不等式 2 · 4 · ?· 2n

3 【证明】 ①当n=1时,左式=2,右式= 2, 左式>右式,所以结论成立. ②假设n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立,即 2+1 4+1 2k+1 ?· 2k > k+1,则当n=k+1时, 2 ·4 ·
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不等式及推理与证明

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2+1 4+1 2k+1 2k+3 2k + 3 2k+3 ?· 2k · > k+1· = , 2 ·4 · 2?k+1? 2?k+1? 2 k+1 要 证 当 n=k+1时 结 论 成 立 , 2k+3 只 需 证 ≥ k+2, 2 k+1 2k+3 即 证 2 ≥ ?k+1??k+2?, 2k+3 ?k+1?+?k+2? 由基本不等式 2 = ≥ ?k+1??k+2? 成 2 立,
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不等式及推理与证明

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2k+3 故 ≥ k+2成立. 2 k+1 所以,当n=k+1时,结论成立. 2+1 4+1 2n+1 由①②可知,n∈N 时,不等式 2 · 4 · ?· 2n
*

> n+1成立.
【答案】 略

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探究2

在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取

1,也可能取0,2等值;第二步证明的关键是要运用归纳假设, 特别要弄清从k到k+1时命题变化的情况,应用放缩技巧.

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1 1 1 5 思考题2 求证: + +?+ 3n > 6 (n≥2,n n+1 n+2 ∈N*).
【解析】 式成立. (2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即 1 1 1 5 + +?+3k>6. k+1 k+2 当n=k+1时,
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1 1 1 1 5 (1)当n=2时,左边= 3 + 4 + 5 + 6 > 6 ,不等

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1 1 1 1 1 1 + +?+3k+ + + ?k+1?+1 ?k+1?+2 3k+1 3k+2 3?k+1? 1 1 1 1 1 1 1 = + +?+3k+( + + - ) k + 1 k +2 3k+1 3k+2 3k+3 k+1 5 1 1 1 1 >6+( + + - ) 3k+1 3k+2 3k+3 k+1 5 1 1 5 >6+(3× - )= . 3k+3 k+1 6 ∴当n=k+1时不等式亦成立. ∴原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立.

【答案】 略
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不等式及推理与证明

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题型三

归纳——猜想——证明

1 an 例3 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn= 2 + a -1且 n an>0,n∈N*. (1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式; (2)证明通项公式的正确性.

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不等式及推理与证明

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【 解 析 】 ( 1 ) 当n=1时 ,

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a1 1 由 已 知 得 a1= 2 +a -1,a2 . 1+2a1-2=0 1 ∴a1= 3-1 ( a1> 0 ) . 当n=2时 , 由 已 知 得 a2 1 a1+a2= 2 +a -1, 2 a2 . 2+2 3a2-2=0 a3= 7- 5.

将a1= 3-1代 入 并 整 理 得

∴a2= 5- 3(a2> 0 ) . 同 理 可 得

猜 想 an= 2n+1- 2n-1(n∈N*).
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不等式及推理与证明

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( 2 ) ①由( 1 ) 知 , 当 n=1 2 ,3 ,

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时 , 通 项 公 式 成 立 .

②假 设 当 n=k(k≥3,k∈N*)时 , 通 项 公 式 成 立 , 即ak= 2k+1- 2k-1. ak+1 1 ak 1 由ak+1=Sk+1-Sk= 2 + - - , ak+1 2 ak 将ak= 2k+1- 2k-1代 入 上 式 并 整 理 , 得 a2 . k+1+2 2k+1ak+1-2=0 解 得 ak+1= 2k+3- 2k+1(an> 0 ) .
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不等式及推理与证明

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即 当 n=k+1时 , 通 项 公 式 也 成 立 . 由①和②, 可 知 对 所 有 成 立 . n∈N*,an= 2n+1 - 2n-1 都

【答案】 (1)a1= 3-1,a2= 5- 3,a3= 7- 5, an= 2n+1- 2n-1 (2)略

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不等式及推理与证明

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探究 3

“ 归纳 —— 猜想 —— 证明 ” 的模式,是不完全归纳

法与数学归纳法综合应用的解题模式.其一般思路是:通过 观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法 证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数 有关的命题中有着广泛的应用.其关键是归纳、猜想出公 式.

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不等式及推理与证明

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思考题3
(n∈N*).

在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且

an , bn , an + 1 成 等 差 数 列 , bn , an + 1 , bn + 1 成 等 比 数 列

(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项
公式,并证明你的结论;
1 1 1 5 (2)证明: + +?+ < . a1+b1 a2+b2 an+bn 12

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不等式及推理与证明

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【 解 析 】

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( 1 ) 由 条 件 得 2bn=an+an+1,a2 n+1=bnbn+1.

由 此 可 得 a2=6,b2=9,a3=1 2 ,b3=1 6 ,a4=2 0 ,b4= 2 5 . 猜 测 an=n(n+1 ) ,bn=(n+1 ) 2. 用 数 学 归 纳 法 证 明 : ①当n=1时 , 由 上 可 得 结 论 成 立 . ②假 设 当 n=k时 , 结 论 成 立 , 即 ak=k(k+1 ) ,bk=(k+1 ) 2.那 么 当 n=k+1时 , ak+1=2bk-ak=2 ( k+1 ) 2-k(k+1)=(k+1)(k+2),
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a2 k+1 bk+1= b =(k+2 ) 2.所 以 当 n=k+1时 , 结 论 也 成 立 . k 由① ②, 可 知 an=n(n+1 ) ,bn=(n+1 ) 2对 一 切 正 整 数 都 成 立 . 1 1 5 ( 2 ) = <2. a1+b1 6 1 当n≥2时 , 由 (1 )知 an+bn=(n+1 ) ( 2 n+1 ) > 2 ( n+1 ) · n.

1 1 1 故 + +?+ a1+b1 a2+b2 an+bn
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不等式及推理与证明

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1 1 1 1 1 <6+2( + +?+ ) 2×3 3×4 n?n+1? 1 11 1 1 1 1 1 =6+2(2-3+3-4+?+n- ) n+1 1 11 1 1 1 5 =6+2(2- )< + = . n+1 6 4 12
【答案】 (2)略 (1)a2=6,a3=12,a4=20,b2=9,b3=16,

b4=25,an=n(n+1),bn=(n+1)2,证明略

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运用数学归纳法时易犯的错误: (1)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系 时,项数发生什么变化被弄错.

(2)没有利用归纳假设:归纳假设是必须要用的,假设是
起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了.

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不等式及推理与证明

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(3)关键步骤含糊不清,“假设n=k 时结论成立,利用此
假设证明 n = k + 1 时结论也成立 ” ,是数学归纳法的关键一 步,也是证明问题最重要的环节,对推导的过程要把步骤写 完整,注意证明过程的严谨性、规范性.

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题组层级快练

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