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江苏省姜堰中学 2011—2012学年度第一学期期中考试高一级数学试卷A

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编辑:森林一木

江苏省姜堰中学 2011—2012 学年度第一学期期中考试

高一年级数学试卷(A)
命题:高一数学备课组

2011.11.7

试卷说明:答卷时间为 120 分钟,满分 160 分.请把你的答案写在答题卷相应位置上,写在试卷上无效。 一.填空题(本部分共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 1、如果全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,A={2,5}, B ? ?1,3,5? , 那么( CU A ) ? B _______________ 2、函数 y ?

x?3 ?

1 的定义域是 2? x

3、幂函数 f (x) 的图象过点 ?4,2? ,那么 f (16) =_ 4、函数 f ( x) ? a x 在 [0,1] 上的最大值与最小值之和为 3,则 a = 5、设 a ? 0.3 , b ? 3 , c ? log3 0.3 ,则 a , b , c 的大小关系为
3 0.3

__

6、某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱兵乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动 但不喜爱乒乓球运动的人数为 7、函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,当 x > 0 时, f ( x) ? ? x 2 ? 1 ,则
当 x < 0 时, f ( x ) 的表达式为

8、函数 y ? x ? 2 x ? 1 的值域为 9、函数 y ? ln(x 2 ? 4 x ? 5) 的单调递增区间是
10、函数 f (x ) 是奇函数, g (x) 是偶函数且 f ( x) ? g ( x) ?

1 ( x ? ?1) ,则 f (?3) ? __ x ?1

__

11、已知函数

? lg x f ( x) ? ? x ?2

( x ? 0) 1 , 若 f ( m) ? ,则 m ? 2 ( x ? 0)

12、若函数 f ( x) ? (k ? 1)a x ? a ? x (a ? 0, a ? 1) 在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图象是 (写出对应的序号)








? at

13、容器 A 中有 m 升水,将水缓慢注入空容器 B,经过 t 分钟容器 A 中剩余水量 y 满足函数 y ? me

(e 为自然对

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数的底数,a 为正常数) ,若经过 5 分钟容器 A 和容器 B 中的水量相等,经过 n 分钟容器 A 中的水只剩下 的值为

m ,则 n 4

14、设实数 a 使得不等式|2x?a|+|3x?2a|≥a2 对任意实数 x 恒成立,则满足条件的实数 a 的范围是___________ 二.解答题(本部分共 6 小题,共计 90 分) 15、 (本题满分 14 分)计算 (1) (2 ) 2 ? (?9.6) ? (3 )
0

1 4

1

3 8

?

2 3

? (1.5) ?2
1 ? 1

1

(2)设 x 2 ? x

?

1 2

? 3 ,求 x ? x ?1 及 x 2 ? x 2 的值.

2 16、 (本题满分 14 分)设集合 A ? x x ? 4 , B ? ? x

?

?

?

? x ?1 ? 0? . ? x?3 ?

(1)求集合 A ? B ; (2)若不等式 2 x ? ax ? b ? 0 的解集为 B ,求 a , b 的值. 。
2

17、 (本题满分 14 分)二次函数 f ( x ) 的图像顶点为 A(1,16) ,且图象在 x 轴上截得线段长为 8, (1)求函数 f ( x ) 的解析式;
(2)令 g ( x)

? (2 ? 2a) x ? f ( x) ,若函数 g (x) 在 x ? [0,2] 上是单调增函数,求实数 a 的取值范围;

18、 (本题满分 16 分)已知函数 f ( x ) ? 2 ?
x

1 . 2x

(1)若 f ( x ) ? 2 ?
t

2 ,求 x 的值; 2x

(2)若 2 f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于任意实数 t ?[ 1, 2 ] 恒成立,求实数 m 的取值范围.
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19、 (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? log 3 (1)判断并证明 f ? x ? 的奇偶性;

1? x . 1? x
a

(2)当 x ? ?0, ?时, 函数 y ? ? f ( x)? ? a ? f ( x) ? 1 的最小值为 ? ,求实数 a 的值。 2 ? 2?
2

? 1?

20、 (本题满分 16 分)设函数 f ( x ) 的定义域为 A ,值域为 B ,如果存在函数 x ? g (t ) ,使得函数 y ? f ( g (t )) 的 值域仍然是 B ,那么称函数 x ? g (t ) 是函数 f ( x ) 的一个等值域变换. (1)判断下列函数 x ? g (t ) 是不是函数 f ( x ) 的一个等值域变换?说明你的理由: ① f ( x) ? 2 x ? 1, x ? R ,
2

x ? g (t ) ? t 2 ? 2t ? 3, t ? R ;
t

② f ( x) ? x ? x ? 1, x ? R , x ? g (t ) ? 2 , t ? R ;
2 2 (2)设函数 f ( x) ? log2 ( x ? x ? 1) , g (t ) ? at ? 2t ? 1 ,若函数 x ? g (t ) 是函数 f ( x ) 的一个等值域变换,求实数

a 的取值范围.

高一年级期中数学试卷(A)参考答案
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1、 ? ,3,4,5? 2、 x x ? ?3且x ? 2 1 6、12 7、 f ( x) ? x 2 ? 1

?

?

3、4 4、2 5、 b ? a ? c 9、 (1,??) 10、 ?

8、 ?? 2,???

3 8

11、 10或 - 1 12、① 13、10 14、 ?- , ? ? 3 3? 15、 (1)

? 1 1?

1 2
1
?1

………………..7 分

(2) x ? x

? 7 , x2 ? x

?

1 2

? ? 5 ………………..14 分

16、 A ? x ? 2 ? x ? 2 , B ? x ? 3 ? x ? 1 ………………..4 分 (1) A ? B ? (?2,1) (2) a ? 4, b ? ?6 ………………..9 分 ………………..14 分

?

?

?

?

17、解: (1)由条件设二次函数 f ( x) ? a( x ? 5)(x ? 3) 函数的图象经过点(1,16),解得 a ? ?1 函数的解析式为 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 15 ………………..7 分

(2)函数 g ( x) ? (2 ? 2a) x ? f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 15 在 x ? [0,2] 上是单调增函数,解得 a ? 0 所以实数 a 的取值范围是 a ? 0 18、解: (1)有条件可知 2 ?
x

………………..14 分

1 2 ? 2? x x 2 2

? (2 x ? 3)(2 x ? 1) ? 0,
x

? ?????????6分

? 2 ? 3, ? x ? log2 3 ????????8分
1 ? 1 ? ? ? (2) 当 t ?[ 1, 2 ] 时, 2 t ? 2 2t ? 2t ? ? m? 2 t ? t ? ? 0 , 2 ? 2 ? ? ?
源:Z,xx,k.Com]

?1 ? t ? 2, 2 t ?

1 ? 0. 2t
………………..13 分

1 ? ? ? 2 t ? 2 t ? t ? ? m ? 0, m ? ?(4 t ? 1) . 2 ? ?
? t ?[1, 2 ], ? ? 1 ? 2 2 t ?[ ? 17, ? 5 ] ,
故 m 的取值范围是 [ ? 5, ? ? ) . 19、 (1)证明:?

?

?

……………….16 分

1? x ? 0, ? x ? (?1,1) 1? x

函数的定义域为 (?1,1) 关于原点对称,………………..2 分
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1? x 1? x ? log3 ? log3 1 ? 0 1? x 1? x ? f (? x) ? ? f ( x),故函数f ( x)为奇函数。 ????6分 ? 又 ? f (? x) ? f ( x) ? log3
(2)令 f ( x) ? t , ? x ? ?0, ?, ? t ? ?0,1??????9分 2 函数 y ? ? f ( x)? ? a ? f ( x) ? 1 ? t ? at ? 1 ? (t ?
2 2

? 1? ? ?

a 2 a2 ) ?1? 2 4

设函数 y ? ? f ( x)? ? a ? f ( x) ? 1 的最小值为 g (a )
2

① 若 a ? 0 ,当 t ? 0 时,函数取到最小值 g (a) ? 1 ; 由?

a =1,得 a ? ?2 2 a a2 时,函数取到最小值 g (a) ? 1 ? 2 4

② 若 0 ? a ? 2 ,当 t ?

由?

a a2 ? 1? ,得 a ? 1? 5 (舍) 2 4

③ 若 a ? 2 ,当 t ? 1 时,函数取到最小值 g (a) ? 2 ? a

a ? 2 ? a ,解得 a ? 4 2 ? a ? ?2或a ? 4 ……………….16 分 20、解: (1)①:函数 f ( x) ? 2 x ? 1, x ? R 的值域为 R ,
由? ∵ x ? t ? 2t ? 3 ? (t ? 1) ? 2 ? 2 ,
2 2

∴ y ? f ( g (t )) ? 2[(t ? 1) 2 ? 2] ? 1 ? 5 , 所以, x ? g (t ) 不是 f ( x ) 的一个等值域变换; -------------4 分 ②: f ( x) ? x ? x ? 1 ? ( x ? ) ?
2 2

1 2

3 3 3 ? ,即 f ( x) 的值域为 [ , ??) , 4 4 4 3 3 ? , 4 4

当 t ? R 时, f ( g (t )) ? (2 ? ) ?
t 2

1 2

即 y ? f ( g (t )) 的值域仍为 [ , ??) , 所以 x ? g (t ) 是 f ( x ) 的一个等值域变换; (2) 由 x ? x ? 1 ? 0 解得 x ? R
2

3 4

------------8 分

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函数 f ( x) ? log 2 ( x ? x ? 1) ? log 2 [( x ? ) ?
2

1 2

3 3 ] ? log 2 4 4

即 f ( x ) 的值域为 ?log2

? ?

3 ? ,?? ? , 4 ?

------------9 分

① 若 a ? 0 ,函数 g (t ) ? at 2 ? 2t ? 1 有最小值 1 ? 只需 1 ?

1 , a

1 1 ? ,即 0 ? a ? 2 , a 2

就可使函数 y ? f ( g (t )) 的值域仍为 ?log2

? ?

3 ? ,?? ? ;------------11 分 4 ?

② 若 a ? 0, 函数 g (t ) ? at 2 ? 2t ? 1 ? 2t ? 1 的值域为 R, 函数 y ? f ( g (t )) 的值域仍为 ?log2

? ?

3 ? ,?? ? ; 4 ?

------------13 分

③ 若 a ? 0 ,函数 g (t ) ? at 2 ? 2t ? 1 有最大值 1 ? 只需 1 ?

1 a

1 1 ? ,即 a ? 0 , a 2

就可使函数 y ? f ( g (t )) 的值域仍为 ?log2 综上可知:实数 a 的取值范围为 ?? ?,2? 。

? ?

3 ? ,?? ? ;------------15 分 4 ?
------------16 分

6/6