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参数方程的概念和圆的参数方程


参数方程的概念

问题提出
如图2-1,一架救援飞机在离灾区地面 500m高处100m/s的速度作水平直线飞行。

为使投放救援物资准确
落于灾区指定的地面(不 记空气阻力),飞行员应

如何确定投放时机呢?

图2 ? 1

y
500

V=100m/s

M(x,y)

x ? 100 t ? ? ? y ? 500 ? 1 gt 2 (t为飞机投出后的时间) ? 2 ?

O

x

概念分析
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数t 的函数 ? x ? f (t ), ? ? y ? g (t ).
并且对于 t 的每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x,y) 都 在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系 变数 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参数. 1、相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程 叫做普通方程; 2、参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有物理意义或几 何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.

例题分析
例1、 已知曲线 C 的参数方程是
? x ? 3t , ( t为参数) ? 2 ? y ? 2t ? 1.

(1)判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线 C 的位置关系; (2)已知点M3(6,a)在曲线 C 上,求 a 的 值.

练习
? x ? 1? t2 1、曲线 ? ,(t为参数) 与 x 轴的交点坐标是( B ) ? y ? 4t ? 3
25 ( , 0); C、(1, ?3); A、(1,4);B、 16
D、 (?

25 , 0); 16

? x ? sin ? 2、方程 ? ,(? 为参数) 所表示的曲线上一点的坐标是 ? y ? cos?
(D )

1 1 1 2 A、(2,7);B、 ( , ); C、( , ); D、(1,0) 2 2 3 3

3、已知曲线C的参数方程是

? x ? 1 ? 2t , ( t 为参数, a ? R ) ? 2 ? y ? at .
点M(5,4)在该 曲线上.
(1)求常数a;(2)求曲线C的普通方程.

圆的参数方程

求参数方程的步骤: (1)建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标(x,y) (2)选取适当的参数 (3)建立点P坐标与参数的函数式

知识准备:
1、圆的标准方程与一般方程 (x-a)2+ (y-b)2=r2
展开 配方

+E? -4F>0) x? +y? +Dx+Ey+F=0 (D?
2、任意角三角函数的定义:

y P (x,y) ?
O

r=|OP|

y x sin ? ? , cos ? ? 则: r r

x

引例:如图,设圆O的半径是r, 点M从初始位置M0(t=0时的 位置)出发,按逆时针方向在 圆O上作匀速圆周运动.点M绕

y
M(x,y)

点O转动的角速度为w.经过t秒,
M的位置在何处?

r o

?
M0 x

圆x2+

y2=r2对应的参数方程:

? x ? r cos ?t , (t为参数) ? ? y ? r sin ?t. ? x ? r cos? (?为参数) ? ? y ? r sin ?

思考 : 圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆的标准方程 为( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 那么参数方程是什么呢 ?
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以 看作由圆心为原点O、半径为r的圆 平移得到, 设圆O1上任意一点P( x, y ) 是圆O上的点P 1 ( x1 , y1 )平移得到的, 由平移公式, 有 ? x ? x1 ? a ? ? y ? y1 ? b
r
-5

(a,b)
5

O1

P(x,y)

v(a,b)

P 1 ( x1 , y1 )
5

o

? x1 ? r cos θ ? x ? a ? r cos? 又 ? 所以 ? ? y1 ? r sin θ ? y ? b ? r sin ?

-5

参数方程与普通方程的互化

x2+y2=r2
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

x ? r cos? y ? r sin ?
? x ? a ? r cos? ? ? y ? b ? r sin ?

注:1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的 横、纵坐标之间的关系,而是分别体现了点的横、纵 坐标与参数之间的关系. 2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难 或不可能体现时,通过参数建立间接的联系.

例1、已知圆的方程为x2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 9 ? 0, 将它化为参数方程.
2

解:x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 9 ? 0化为标准方程, (x ? 1) ? (y ? 3) ? 1.
2

? x ? ?1 ? cos? ∴参数方程为 ? 练习: ? y ? 3 ? sin ?

(θ为参数)

? x ? 5 cosθ (0 ? θ ? 2π ) 1.填空:已知圆O的参数方程是 ? ? y ? 5sin θ ?5 5 3? ,? 5π ? ? ? ? ⑴如果圆上点P所对应的参数θ ? 则点P的坐标是 _______ 2 2 ? ? 3 ? 5 5 3? ? 2 ? 如果圆上点Q所对应的坐标是 ? ?? 2, 2 ? ? , 则点Q对应 ? ?

2? 的参数? 等于_______ 3

? x ? ?2 cos ? 2.选择题:参数方程 ? (θ为参数)表示的曲线是 ? A y ? 2sin ? ? A.圆心在原点, 半径为2的圆 B.圆心不在原点, 但半径为2的圆 C.不是圆 D.以上都有可能

?

3、填空题 : ? x ? 2 ? cos θ (2,-2) (1)参数方程 ? 表示圆心为 ? y ? ?2 ? sin θ 2 2 ? ? ? ? x ? 2 ? y ? 2 ?1 半径为 1 的圆,化为标准方程为 ( 2 ) 把圆方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 化为参数方程为
? x ? ?1 ? 2 cos θ ? ? y ? 2 ? 2sin θ

例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x 轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA 中点M的轨迹是什么?
y

解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=16 的参数方程为 x =4cosθ

P

M A x

O

y =4sinθ
∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ) 由中点公式得:点M的轨迹方程为

x =6+2cosθ y =2sinθ

∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆.

例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x 轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA 中点M的轨迹是什么?
y

解:设M的坐标为(x,y), 由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-12,2y) ∵点P在圆x2+y2=16上 ∴(2x-12)2+(2y)2=16
O

P

M A x

即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆.

例3、已知点P( x,y )是圆x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 12 ? 0上动点, 求( 1)x 2 ? y 2的最值; (2)x ? y的最值; (3)P到直线x ? y ? 1 ? 0的距离d的最值.

例4、将下列参数方程化为普通方程:
(1)

? x ? 2 ? 3 cos? ? ? y ? 3 sin ?
1 ? x?t? ? ? t ? ? y ? t2 ? 1 ? t2 ?

(2)

? x ? sin ? ? ? y ? cos 2?

2 答案( 1)(x ? 2) ? y2 ? 9

(3)

(2) y ? 1 ? 2 x 2 (?1 ? x ? 1) (3) x 2 ? y ? 2(x ? 2或x ? ? 2)

小 结:
1、圆的参数方程

2、参数方程与普通方程的概念
3、圆的参数方程与普通方程的互化

4、求轨迹方程的三种方法:⑴相关点点问题 (代入法); ⑵参数法;⑶定义法 5、求最值


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