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高中数学:2.1.1《函数》教案2新人教B必修4.doc

2.1.1 函数 教案(2)
教学目标:理解映射的概念; 用映射的观点建立函数的概念. 教学重点:用映射的观点建立函数的概念. 教学过程: 1.通过对教材上例 4、例 5、例 6 的研究,引入映射的概念. 注:1,补充例子:投掷飞标时,每一支飞标射到盘上时,是射到盘上的唯一点上。于 是,如果我们把 A 看作是飞标组成的集合,B 看作是盘上的点组成的集合,那么,刚才的投 飞标相当于集合 A 到集合 B 的对应,且 A 中的元素对应 B 中唯一的元素,是特殊的对应. 同样,如果我们把 A 看作是实数组成的集合,B 看作是数轴上的点组成的集合,或把 A 看作是坐标平面内的点组成的集合,B 看作是有序实数对组成的集合,那么,这两个对应也 都是集合 A 到集合 B 的对应, 并且和上述投飞标一样, 也都是 A 中元素对应 B 中唯一元素的 特殊对应. 一般地,设 A,B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中的任何一个元 素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A,B 以及 A 到 B 的对 应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射, 记作 f:A→B.其中与 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象,a 叫做 b 的原象. 2,强调象、原象、定义域、值域、一一对应和一一映射等概念 3.映射观点下的函数概念 如果 A, B 都是非空的数集, 那么 A 到 B 的映射 f: A→B 就叫做 A 到 B 的函数, 记作 y=f(x), 其中 x∈A,y∈B.原象的集合 A 叫做函数 y=f(x)的定义域,象的集合 C(C ? B)叫做函数 y=f(x)的值域.函数符号 y=f(x)表示“y 是 x 的函数”,有时简记作函数 f(x). 这种用映射刻划的函数定义我们称之为函数的近代定义. 注:新定义更抽象更一般 如: f ( x ) ? ?

?1( x是有理数) (狄利克雷函数) 0 x是无理数) ?(

4.补充例子: 例 1.已知下列集合 A 到 B 的对应,请判断哪些是 A 到 B 的映射?并说明理由: ⑴ A=N,B=Z,对应法则:“取相反数”; ⑵A={-1,0,2},B={-1,0,1/2},对应法则:“取倒数”; ⑶A={1,2,3,4,5},B=R,对应法则:“求平方根”; ⑷A={ ? |0 ? ? ? 90 },B={x|0 ? x ? 1},对应法则:“取正弦”.
0 0

例 2.(1)(x,y)在影射 f 下的象是(x+y,x-y),则(1,2)在 f 下的原象是_________。 (2)已知:f:x ?y=x2 是从集合 A=R 到 B=[0,+ ? ]的一个映射,则 B 中的元素 1 在 A 中的原象是_________。 (3)已知:A={a,b},B={c,d},则从 A 到 B 的映射有几个 。

【典例解析】
例⒈下列对应是不是从A到B的映射,为什么? ⑴A=(0,+∞),B=R,对应法则是"求平方根"; ⑵A={x|-2≤x≤2},B={y|0≤y≤1},对应法则是f:x→y=

x2 (其中 4

x∈A,y∈B) ⑶A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤1},对应法则是f:x→y=(x-2)2(其 中 x∈A,y∈B) ⑷A={x|x∈N},B={-1,1},对应法则是f:x→y=(-1)x(其中x∈A, y∈B).

例⒉设A=B=R,f:x→y=3x+6,求⑴集合A中 -3的原象.

1 1 和-3的象;⑵集合B中 和 2 2

参考答案:
例⒈解析:⑴不是从A到B的映射.因为任何正数的平方根都有两个,所以对A中的任何一 个元素,在B中都有两个元素与之对应. ⑵是从A到B的映射. 因为A中每个数平方除以 4后,都在B中有唯一的数与之对应. ⑶不是从A到B的映射. 因为A中有的元素在B中 2 无元素与之对应.如 0∈A,而(0-2) =4 ? B.⑷是从A到B的映射.因为-1的奇数 次幂是-1,而偶数次幂是1.∴⑴⑶不是,⑵⑷是. [点评]判断一个对应是否为映射,主要由其定义入手进行分析. 例⒉解: ⑴将x=

1 1 15 和x=-3分别代入y=3x+6, 得 的象是 , -3的象是-3; 2 2 2 1 1 11 ⑵将y= 和y=-3,分别代入y=3x+6,得 的原象- ,-3的原象 6 2 2

是-3. [点评]由映射中象与原象的定义以及两者的对应关系求解. 课堂练习:教材第 36 页 练习 A、B。 小结:学习用映射观点理解函数,了解映射的性质。 课后作业:第 53 页 习题 2-1A 第 1、2 题。 21 世纪教育网


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