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河北省石家庄市2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

2013-2014 学年河北省石家庄市高二 (下)期末数学试卷(理科)
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知 a 是实数,i 是虚数单位, 是纯虚数,则 a 的值为( )

A. 1 B.﹣1 C. D.﹣ 2 2. (5 分)用三段论推理:“任何实数的平方大于 0,因为 a 是实数,所以 a >0”,你认为这 个推理( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.是正确的 3. (5 分)若 i 为虚数单位,复数 z=2﹣i,则 + A. 2+ i B.2+i =( C.2+ i ) D.2+3i

4. (5 分)某人上班途中要经过三个有红绿灯的路口,设遇到红灯的事件相互独立,且概率 都是 0.3,则此人上班途中遇到红灯的次数的期望为( ) 3 A.0.3 B.0.3 C.0.9 D.0.7 5. (5 分)设随机变量 X 服从正态分布 N(3,4) ,若 P(X<2a+3)=P(X>a﹣2) ,则 a 的值为( ) A. B.3 C.5 D.

6. (5 分)已知盒中装有 3 个红球、2 个白球、5 个黑球,它们大小形状完全相同,现需一 个红球,甲每次从中任取一个不放回,在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概 率( ) A. 7. (5 分)设(x﹣ A. B.
6 3

C.

D. )

) 的展开式中 x 的系数为 a,二项式系数为 b,则 的值为( B. C.16 D.4

8. (5 分)甲,乙,丙,丁四位同学各自对 A,B 两变量的线性相关试验,并用回归分析方 法分别求得相关系数 r 如表: 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 则这四位同学的试验结果能体现出 A,B 两变量有更强的线性相关性的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 9. (5 分)某城市有 3 个演习点同时进行消防演习,现将 4 个消防队分配到这 3 个演习点, 若每个演习点至少安排 1 个消防队,则不同的分配方案种数位( ) A. 12 B.36 C.72 D.108

10. (5 分) 用数学归纳法证明 1 +2 +…+ (n﹣1) +n + (n﹣1) +…+2 +1 ═ 由 n=k 的假设到证明 n=k+1 时,等式左边应添加的式子是( 2 2 2 2 2 A. (k+1) +2k B.(k+1) +k C.(k+1) ) D.

2

2

2

2

2

2

2

时,

11. (5 分)函数 f(x)=(x ﹣2x)e (e 为自然数的底数)的图象大致是(

2

x



12. (5 分)已知 x>0,由不等式 x+ ≥2
*

=2,x+

=

≥3

=3,…,

可以推出结论:x+ A. 2n

≥n+1(n∈N ) ,则 a=( B.3n

) C.n
2

D.n

n

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)若(x+m) =a0+a1(x+1)+a2(x+1) +…+a9(x+1) ,且 a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8 9 ﹣a9=3 ,则实数 m 的值为 _________ . 2 14. (5 分)曲线 y=x ﹣1 与直线 x+y=1 围成的图形的面积为 _________ . 15. (5 分)甲、乙两名选手进行围棋比赛,甲选手获胜的概率为 ,乙选手获胜的概率为 , 有如下两种方案,方案一:三局两胜;方案二:五局三胜.对于乙选手,获胜概率最大的是 方案 _________ . 16. (5 分)已知函数 f(x)=x +ax ﹣ a(a∈R) ,若存在 x0,使 f(x)在 x=x0 处取得极值, 且 f(x0)=0,则 a 的值为 _________ . 三.解答题(共 5 小题,共 70 分) 17. (12 分)甲乙两个班级均为 40 人,进行一门考试后,按学生考试成绩及格与不及格进 行统计,甲班及格人数为 36 人,乙班及格人数为 24 人. (Ⅰ )根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (Ⅱ )试判断能否有 99.5%的把握认为“考试成绩与班级有关”?参考公式: K=
2 3 2 9 2 9

;n=a+b+c+d

2 P(K > 0.50 k) k 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10

0.05 0.025

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

2.706 3.841 5.024

18. (12 分)某次考试中,从甲、乙两个班各随机抽取 10 名学生的成绩进行统计分析,学 生成绩的茎叶图如图所示,成绩不小于 90 分为及格. (Ⅰ )从每班抽取的学生中各随机抽取一人,求至少有一人及格的概率 (Ⅱ )从甲班 10 人中随机抽取一人,乙班 10 人中随机抽取两人,三人中及格人数记为 X, 求 X 的分布列和期望.

19. (12 分)设数列{an}满足 a1=3,an+1=an ﹣2nan+2,n∈N . (Ⅰ )求出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式(不需证明) ; n (Ⅱ )记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,试求使得 2 >Sn 成立的最小正整数 n,并给出证明. 20. (12 分)已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a<0) . (Ⅰ )求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ )若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈[0, 3 2 1],函数 g(x)=x +x [f′ (x)+m]在区间(t,2)上总不是单调函数,其中 f′ (x)为 f(x) 的导函数,求实数 m 的取值范围. 21. (12 分)已知函数 f(x)=f′ (1)e 为 f(x)的导函数. (Ⅰ )求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ )若函数 g(x)= x +a 与函数 f(x)的图象在区间[﹣1,2]上恰有两个不同的交点,求 实数 a 的取值范围. 四.选考题 (请考生在 22-24 题三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分) [选 修 4-1 几何证明选讲] 22. (10 分)如图,△ ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明:△ ABE∽ △ ADC; (2)若△ ABC 的面积 S= AD?AE,求∠ BAC 的大小.
2 x﹣1

2

*

﹣f(0)x+ x ,其中 e 是自然对数的底数,f′ (x)

2

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23.已知圆 C1 的参数方程为 (φw 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半 ) .

轴为极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4sin(θ+

(Ⅰ )将圆 C1 的参数方程化为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程化为直角坐标系方程; (Ⅱ )圆 C1,C2 是否相交?请说明理由. [选修 4-5:不等式选讲] 24.设不等式|2x﹣1|<1 的解集为 M. (Ⅰ )求集合 M; (Ⅱ )若 a,b∈M,求证:ab+1>a+b.

石家庄市 2013~2014 学年度第二学期期末考试试卷

高二数学(理科答案)
一、选择题 1-5ABDCA 6-10BDDBC 二、填空题 13. 5 15. 方 案 一 三、解答题 17. 解: (Ⅰ)2×2 列联表如下: 不及格 甲班 乙班 总计 4 16 20 及格 36 24 60
2

11-12AC 14.

9 2 16. ?3

总计 40 40 80

??????6 分 n(ad ? bc) 80 ? (4 ? 24 ? 16 ? 36) 2 ? ? 9.6 (Ⅱ) K 2 ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 40 ? 40 ? 20 ? 60 由 P( K 2 ? 7.879) ? 0.005 , 所 以 有 99.5% 的 把 握 认 为 “ 成 绩 与 班 级 有 关 系”. ???????12 分 18. 解:(Ⅰ)由茎叶图可知:甲班有 4 人及格,乙班有 5 人及格,

设事件“从每班 10 名同学中各抽取一人,至少有一人及格”为事件 A. 6?5 3 ? , 则 P( A) ? 10 ?10 10 7 所以 P ( A) ? 1 ? P ( A) ? .? ? ? ? 4 分 10 (Ⅱ)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.? ? ? ? 5 分 6 ? C52 4 ? C52 6 ? 5 ? 5 19 2 ; P( X ? 0) ? ? P ( X ? 1) ? ? ? ; 2 2 2 10 ? C10 15 10 ? C10 10 ? C10 45

4 ? C52 4 ? 5 ? 5 6 ? C52 16 4 ; .? ? ? ? 9 分 ? ? P ( X ? 3) ? ? 2 2 2 10 ? C10 10 ? C10 45 10 ? C10 45 所以 X 的分布列为 P( X ? 2) ?
0 X P 1 2 3

2 15

19 45

16 45

4 45
? ? ? ? 10 分

因此 E ( X ) ? 0 ? 19. 解

2 19 16 4 7 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .? ? ? ? 12 分 15 45 45 45 5

(Ⅰ)a2=5,a3=7,a4=9,猜想 an=2n+1. ? ? ? ? 4 分 n?3+2n+1? (Ⅱ)Sn= =n2+2n,? ? ? ? 6 分 2

使得 2n ? Sn 成立的最小正整数 n=6. ? ? ? ? 7 分 下证:n≥6(n∈N*)时都有 2n>n2+2n. ①n=6 时,26>62+2×6,即 64>48 成立;? ? ? ? 8 分 ②假设 n=k(k≥6,k∈N*)时,2k>k2+2k 成立,那么 2k+1=2· 2k>2(k2+2k)=k2 +2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1), 即 n=k+1 时, 不等式成立; * 由①、②可得,对于所有的 n≥6(n∈N ) 都有 2n>n2+2n 成立. ? ? ? ? 12 分
a (1 ? x) ( x ? 0) ,? ? ? ? 2 分 x

20.解 (Ⅰ)根据题意知, f ?( x) ?

当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1]. ????4 分

a ? 1 ,∴ a ? ?2 , 2 ∴ f ? x ?=-2lnx+2x- 3.
(Ⅱ)∵ f ?(2) ? ? ∴ g ( x) ? x3 ? (m ? 2) x2 ? 2x , ∴ g ?( x) ? 3x2 ? (2m ? 4) x ? 2 .? ? ? ? 6 分 ∵ g ? x ? 在区间 ? t , 2 ? 上总不是单调函数,且 g ?(0) ? ?2 , ∴?

由题意知:对于任意的 t ??0,1? , g ?(t ) ? 0 恒成立,

? g ?(t ) ? 0 ????8 分 ? g ?(2) ? 0

? g ?(0) ? 0 ? ∴ ? g ?(1) ? 0 ? ? ? ? 10 分 ? g ?(2) ? 0 ?
∴?

9 5 ? m ? ? .? ? ? ? 12 分 2 2 x ?1 21.解:(Ⅰ)由已知得 f ?( x) ? f ?(1)e ? f (0) ? x , 1 ,得 f ?(1) ? f ?(1) ? f (0) ? 1 , 令 x=
即 f ? 0?= 1.? ? ? ? 2 分

f ?(1) ,所以 f ?(1) ? e . e 1 2 x 从而 f ( x ) ? e ? x ? x .? ? ? ? 4 分 2 x (Ⅱ)由 f ? x ?=g ? x ? 得 a=e -x .
又 f ? 0 ?= 令 h ? x ?=e -x ,则 h? ? x ?=e - 1 .? ? ? ? 6 分
x x

由 h? ? x ?=0 得 x=0 .

1, 0) 时, h? ? x ? ? 0 ; 所以当 x ? (-
当 x ? ? 0,2? 时, h? ? x ? ? 0 . ∴ h ? x ? 在(-1,0)上单调递减,

在(0,2)上单调递增.? ? ? ? 8 分 又 h ? 0?= 1 , h(?1) ? 1 ?

且 h(- 1) ? h ? 2? .? ? ? ? 10 分

1 , h ? 2?=e2-2 e 1 e

∴两个图像恰有两个不同的交点时,实数 a 的取值范围是 (1,1 ? ] .? ? ? ? 12 分 22.解析: (Ⅰ)证明:由已知条件,可得∠BAE=∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角, 所以∠AEB=∠ACD. 故△ABE∽△ADC. ? ? ? ? 5 分 AB AD (Ⅱ)因为△ABE∽△ADC,所以 = , AE AC 即 AB·AC=AD·AE. 1 1 又 S= AB·ACsin ∠BAC,且 S= AD·AE, 2 2 故 AB·ACsin ∠BAC=AD·AE. 则 sin ∠BAC=1, 又∠BAC 为三角形内角,所以∠BAC=90°. ? ? ? ? 10 分 23.坐标系与参数方程

? x ? 2cos ? 可得 x2 ? y 2 ? 4 , y ? 2sin ? ? ? ? ? 2 由 ? ? 4 sin(? ? ) 得 ? ? 4 ? (sin ? cos ? cos ? sin ) , 3 3 3 2 2 2 2 即 x ? y ? 2 y ? 2 3x ,整理得 ( x ? 3) ? ( y ?1) ? 4 .? ? ? ? 5 分
(I)由 ? (II)圆 C1 表示圆心在原点,半径为 2 的圆,圆 C2 表示圆心为 ( 3,1) ,半径为 2 的圆, 又圆 C2 的圆心 ( 3,1) 在圆 C1 上,由几何性质可知,两圆相交.? ? ? ? 10 分 24.不等式选讲 1|? 1 得 -1 ? 2x-1 ? 1 ,解得 0 ? x ? 1 . 解 (Ⅰ)由 | 2x- 所以 M=?x | 0 ? x ? 1? .? ? ? ? 5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)和 a,b ? M 可知 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 . 1)-(a+b)=(a- 1)(b- 1) ? 0 . 所以 (ab+

1 ? a+b .? ? ? ? 10 分 故 ab+


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