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2014届高考江苏专用(理)一轮复习第四章第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例


第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例

考点梳理
1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航 海问题、物理问题等. 2.实际问题中的常用角

(1)仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,

上方 目标视线在水平视线_____的角叫仰角,目标视线在水平 下方 视线_____的角叫俯角(如图①).

(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,

北偏西45°,西偏北60°等;
(3)方位角

顺时针 指从正北方向_______转到目标方向线的水平角,如B点的
方位角为α(如图②). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.

【助学· 微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未

知,理清量与量之间的关系.侧重考查从实际问题中提炼
数学问题的能力. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问

题的模型.
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有 关单位问题、近似计算的要求等.

解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在 一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.

(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个
或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条 件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知

量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要
求的解.

考点自测
1.(2012· 江苏金陵中学)已知△ABC的一个内角为120°, 并且三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积

等于________.
解析
2

记三角形三边长为 a-4, a+4, a, 则(a+4)2=(a-4)2

1 +a -2a(a-4)cos 120° ,解得 a=10,故 S= ×10×6× 2 sin 120° =15 3.
答案 15 3

2.若海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10海

里,∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B,C间的距离
是________海里.
解析 BC AB 由正弦定理,知 = .解 sin 60° sin?180° -60° -75° ?

得 BC=5 6(海里).
答案 5 6

3.(2013· 日照调研)如图,一船
自西向东匀速航行,上午10 时到达一座灯塔P的南偏西 75°距塔68海里的M处,下午 2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速 度为________海里/时.
解析 68sin 120° 由正弦定理,得 MN= =34 6(海里),船 sin 45°

34 6 17 6 的航行速度为 = (海里/时). 4 2 17 6 答案 2

4.在△ABC 中,若 2 3absin C=a2+b2+c2,则△ABC 的形状是________.

解析

由 2 3absin C=a2+b2+c2,a2+b2-c2=2abcos C
2 2

相加,得 a +b

? π? =2absin?C+ 6 ?.又 ? ?

a2+b2≥2ab,所以 π a=b,C= 时等号 3

? π? sin?C+ 6 ?≥1,从而 ? ?

? π? sin?C+ 6 ?=1,且 ? ?

成立,所以△ABC 是等边三角形.

答案

等边三角形

5.(2010· 江苏卷)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别 b a tan C tan C 为 a,b,c.若a+b=6cos C,则 + 的值是________. tan A tan B b a 解析 利用正、余弦定理将角化为边来运算,因为a+b= a2+b2 a2+b2-c2 3 2 2 2 6cos C, 由余弦定理得 ab =6· , a +b = c . 即 2ab 2 tan C tan C sin C ?cos A cos B? sin C sin C ? ?= + 而 + = · = tan A tan B cos C ? sin A sin B ? cos C sin Asin B c2 2c2 2c2 = = =4. a2+b2-c2 a2+b2-c2 3 2 2 c -c ab· 2 2ab

答案

4

考向一

测量距离问题

【例1】 如图所示,A、B、C、D都在
同一个与水平面垂直的平面内,B、 D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量

船于水面A处测得B点和D点的仰角
分别为75°,30°,于水面C处测得 B点和D点的仰角均为60°,AC= 0.1 km. (1)求证:AB=BD; (2)求BD.

(1)证明 在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°- ∠DAC=30°,所以CD=AC=0.1.又∠BCD=180°-

60°-60°=60°,
故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA. AB AC (2)解 在△ABC 中, = , sin∠BCA sin∠ABC
ACsin 60° 3 2+ 6 即 AB= = (km), sin 15° 20 3 2+ 6 因此,BD= (km) 20 3 2+ 6 故 B、D 的距离约为 km. 20

[方法总结] (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有 关的三角形中,建立一个解三角形的模型. (2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学 模型的解. (3)应用题要注意作答.

【训练 1】 隔河看两目标 A 与 B,但 不能到达, 在岸边先选取相距 3千 米的 C,D 两点,同时测得∠ACB =75° ∠BCD=45° ∠ADC=30° , , ,

∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,

B之间的距离.



如题图所示,在△ACD 中,∵∠ADC=30° ,∠ACD=

120° ,∴∠CAD=30° ,AC=CD= 3(千米). 在△BDC 中,∠CBD=180° -45° -75° =60° . 3sin 75° 6+ 2 由正弦定理,可得 BC= = (千米). sin 60° 2 在△ABC 中,由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos∠BCA, 即 AB =( 3)
2 2

? ? +? ?

6+ 2 6+ 2?2 ? cos 75° =5, ? -2 3· 2 2 ?

∴AB= 5(千米).所以两目标 A,B 间的距离为 5千米.

考向二

测量高度问题

【例2】 (2010· 江苏)某兴趣小组要测量 电视塔AE的高度H(单位:m)如图所 示,垂直放置的标杆BC的高度h= 4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β. (1)该小组已测得一组α、β的值,算出了tan α=1.24,tan

β=1.20,请据此算出H的值;
(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到 电视塔的距离d(单位:m),使α与β之差较大,可以提高 测量精度.若电视塔的实际高度为125 m,试问d为多少 时,α-β最大?



H h (1)由 AB= ,BD= , tan α tan β

H H AD= 及 AB+BD=AD 得 tan β tan α h H htan α + = 解得 H= tan β tan β tan α-tan β 4×1.24 = =124. 1.24-1.20

因此,算出的电视塔的高度H是124 m.

H (2)由题设知 d=AB,得 tan α= d . H-h H h 由 AB=AD-BD= - ,得 tan β= d , tan β tan β tan α-tan β h 所 以 tan(α - β) = = 1+tan αtan β H?H-h? d+ d h ≤ , 2 H?H-h? H?H-h? 当且仅当 d= ,即 d= H?H-h?= 125×?125-4? d =55 5时,上式取等号.所以当 d=55 5时,tan(α-β)最 π π 大.因为 0<β<α< ,则 0<α-β< ,所以当 d=55 5时,α 2 2 -β 最大.故所求的 d 是 55 5 m.

[方法总结] (1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念.

(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角
形应用正、余弦定理. (3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形.

【训练2】

如图所示,测量河对岸的塔

高AB时,可以选与塔底B在同一水平
面内的两个测点C与D,现测得∠BCD =α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测 得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB. 解 在△BCD 中,∠CBD=π-α-β, BC CD 由正弦定理得 = , sin∠BDC sin∠CBD CDsin∠BDC s· β sin 所以 BC= = sin∠CBD sin?α+β? stan θsin β 在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB= . sin?α+β?

考向三

运用正、余弦定理解决航海应用问题

【例 3】 我国海军在东海举行大规模演习.在海岸 A 处, 发现北偏东 45° 方向,距离 A( 3-1)km 的 B 处有一艘 “敌舰”.在 A 处北偏西 75° 的方向,距离 A 2 km 的 C 处的“大连号”驱逐舰奉命以 10 3 km/h 的速度追截 “敌舰”.此时,“敌舰”正以 10 km/h 的速度从 B 处 向北偏东 30° 方向逃窜,问“大连号”沿什么方向能最 快追上“敌舰”?



设“大连号”用 t h 在 D 处追上

“敌舰”, 则有 CD=10 3t, BD=10t, 如图在△ABC 中,∵AB= 3-1,AC =2,∠BAC=120° , ∴由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· cos∠BAC AC· =( 3-1)2 +22 -2· 3-1)· cos 120° ( 2· =6

AC 2 3 2 ∴BC= 6,且 sin∠ABC=BC· sin∠BAC= · = . 2 6 2 ∴∠ABC=45° , ∴BC 与正北方向垂直. ∴∠CBD=90° +30° =120° , 在△BCD 中,由正弦定理,得 BD· sin∠CBD 10tsin 120° 1 sin∠BCD= = = , CD 2 10 3t ∴∠BCD=30° . 即“大连号”沿东偏北 30° 方向能最快追上“敌舰”.

[方法总结] 用解三角形知识解决实际问题的步骤:
第一步:将实际问题转化为解三角形问题; 第二步:将有关条件和求解的结论归结到某一个或两个三 角形中. 第三步:用正弦定理和余弦定理解这个三角形.

第四步:将所得结果转化为实际问题的结果.

【训练3】 (2013· 广州二测)如图,渔船 甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B 处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙

以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正
北方向航行,若渔船甲同时从B处出 发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚

好用2小时追上,此时到达C处.
(1)求渔船甲的速度; (2)求sin α的值.

解 (1)依题意知, ∠BAC=120° AB=12(海里), , AC=10×2 =20(海里),∠BCA=α,在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· cos∠BAC AC· =122+202-2×12×20×cos 120° =784. BC 解得 BC=28(海里).所以渔船甲的速度为 =14 海里/时. 2 (2)在△ABC 中,因为 AB=12(海里), ∠BAC=120° ,BC=28(海里),∠BCA=α, AB BC 由正弦定理,得 = . sin α sin 120° 3 12× 2 3 3 ABsin 120° 即 sin α= = = . BC 28 14

规范解答8

如何运用解三角形知识解决实际问题

航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数

据,这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形,根据
这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离, 因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量 目标归入到一个可解三角形中.

【示例】 (2012· 镇江调研)如图,甲船以每小 时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按 固定方向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处 时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行

20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里.问:乙船每小时航行多少海里?

[审题路线图] (1)分清已知条件和未知条件(待求). (2)将问题集中到一个三角形中.(3)利用正、余弦定理求 解. [解答示范] 如图,连接 A1B2,由已知
20 A2B2=10 2,A1A2=30 2× =10 2, 60 ∴A1A2=A2B2.(3 分) 又∠A1A2B2 =180° -120° =60° ,∴△ A1A2B2 是等边三角形,∴A1B2 =A1A2 =10 2.由已知,A1B1 =20,∠B1A1B2 =105° -60° =45° ,(9 分)

在△A1B2B1 中,由余弦定理得 B1B 2 =A1B 2 +A1B 2 - 2 1 2 2A1B1· 1B2· 45° A cos =202 +(10 2)2 -2×20×10 2× =200,∴B1B2=10 2. 10 2 因此,乙船的速度为 ×60=30 2(海里/时).(14 分) 20 2 2

[点评] 三角形应用题常见的类型: ①实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一 个三角形中,可用正弦定理或余弦定理解之; ②实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个三角 形,这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解; ③实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,但由 题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定

理.

高考经典题组训练
1.(2012· 四川卷改编)如图,正方 形ABCD的边长为1,延长BA 至E,使AE=1,连结EC、ED, 则sin∠CED=________.
解析

在 Rt△EAD 和 Rt△EBC 中, 易知 ED= 2, EC= 5, ED2+EC2-CD2 在△DEC 中,由余弦定理得 cos∠CED= = 2ED· EC 2+5-1 3 10 10 = .∴sin∠CED= . 10 10 2× 2× 5
答案 10 10

2.(2011· 新课标卷)在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB +2BC 的最大值为________. AB 3 BC 解析 由正弦定理知 = = , sin C sin 60° sin A ∴AB=2sin C,BC=2sin A. 又 A+C=120° ,∴AB+2BC=2sin C+4sin(120° -C)= 2(sin C+2sin 120° C-2cos 120° C) cos sin =2(sin C+ 3cos C+sin C)=2(2sin C+ 3cos C) 3 =2 7sin(C+α),其中 tan α= ,α 是第一象限角. 2 由于 0° <C<120° ,且 α 是第一象限角, 因此 AB+2BC 有最大值 2 7.

答案

2 7

3.(2012· 湖北卷改编)若△ABC的三边长为连续三个正整 数,且A>B>C,3b=20acos A,则sin A∶sin B∶sin C=

________.
解析 由 A>B>C,得 a>b>c.设 a=c+2,b=c+1,则由 3b ?c+1?2+c2-?c+2?2 =20acos A,得 3(c+1)=20(c+2)· ,即 2?c+1?c 3(c+1)2c=10(c+1)(c+2)(c-3),解得 c=4,所以 a=6,b =5. 答案 6∶5∶4

4.(2010· 陕西卷)如图,A,B 是海 面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点,现位 于 A 点北偏东 45° ,B 点北偏 西 60° D 点有一艘轮船发出 的 求救信号,位于 B 点南偏西 60°

且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营 救,其航行速度为 30 海里/时,该救援船达到 D 点需 要多长时间?



由题意知 AB=5(3+ 3)海里,∠DBA=90° -60° =

30° ,∠DAB=90° -45° =45° , 所以∠ADB=180° -(45° +30° )=105° , DB AB 在△ADB 中,由正弦定理得 = , sin∠DAB sin∠ADB AB· sin∠DAB 5?3+ 3?· 45° sin 所以 DB= = sin 105° sin∠ADB 5?3+ 3?· 45° sin = =10 3(海里), sin 45° 60° cos +cos 45° 60° sin

又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30° +(90° -60° )=60° , BC=20 3(海里),在△DBC 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD· cos∠DBC BC· 1 =300+1 200-2×10 3×20 3× =900, 2 30 所以 CD=30(海里),则需要的时间 t= =1(小时). 30 所以救援船到达 D 点需要 1 小时.


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