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天津市静海区(经典1)高三数学上学期三校联考试题 文

静海区 2018—2019 学年度第一学期三校联考试卷

高三文数试卷

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 页至第 1 页,第Ⅱ卷第 1 页至第 2

页。试卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题(共 8 题;每题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目的要求.请将答案

填在答题纸上.)

1.若复数 z 满足 (3 ? 4i)z ?| 4 ? 3i | ,则 z 的虚部为( )

A. ?4

B. ? 4 5

C. 4

D. 4 5

?2x ? y ? 4,

2.设

x



y

满足

? ?

x

?

y

?

1,

则z ? x? y(



??x ? 2 y ? 2,

A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最小值

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

3. 已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1,则

()

A. ?p : ?x ? R,sin x ? 1

B. ?p : ?x ? R,sin x ? 1

C. ?p : ?x ? R,sin x ? 1

D. ?p : ?x ? R,sin x ? 1

4. 一个四棱柱的三视图如图所示,该四棱柱的体积为( )

A. 12 B. 24 C. 36 D. 48

5. 设 ,若“

”是“

”的充分而不必要条件,则实数的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

6.为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y= 2cos3x 的图象( )

1

A.向右平移π4 个单位 B.向左平移π4 个单位 C.向右平移1π2个单位 D.向左平移1π2个单位

7.函数 f ? x? ? ex ? x ? 2 的零点所在的一个区间是( ).

A. ??2, ?1?

B. ??1,0?

C. ?0,1?

D. ?1,2?

8. 已知函数

,且

,则实数 的取值范围为( )

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷 二、填空题(每题 5 分,满分 30 分,请将答案填在答题纸上)

9. 已知函数

, 为 的导函数,则 的值为__________.

10. 阅读如图所示的程序框图,若输入的 分别为 1,2,运行相应的程序,则输出 的值为__________.

11.抛物线 y2 ? 2x 的焦点坐标为__________. 12.若命题“? x∈R,使得 x2+(a-1)x+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是__________

13. 函数

的图象恒过定点 A,若点 A 在直线

上,其中

,则 的最

小值为______________.

14.如图,在 ?ABC 中, H 为 BC 上异于 B , C 的任一点, M 为 AH 的中点,若 AM ? ? AB ? ? AC ,则

??? ?



2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请将答案填在答题纸上.)
15.在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 bsin A ? 3csin B , a ? 6 , cos B ? 1 . 3
(Ⅰ)求 b ; (Ⅱ)求 cos(2B ? ? ) .
6

16. 某公司需要对所生产的 产品

三种产品进行检测,三种产品数量(单位:件)如下表所示:

A

B

C

数量(件)

180

270

采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取 6 件. (1)求分别抽取三种产品的件数; (2)将抽取的 6 件产品按种类 编号,分别记为 (ⅰ)用所给编号列出所有可能的结果; (ⅱ)求这两件产品来自不同种类的概率.

90 ,现从这 6 件产品中随机抽取 2 件.

17.如图四边形 PDCE 是正方形,四边形 ABCD 为直角梯形, AB // DC , ?ADC ? 900 ,且平面 PDCE ? 平 面 ABCD . (Ⅰ)若 M 为 PA 中点,求证: AC ∥平面 MDE ; (Ⅱ)求证:直线 PC ? 平面 ADE ; (Ⅲ)若正方形 PDCE 边长为 2a , AB ? AD ? a ,求直线 BE 与平面 PDCE 所成角的余弦.

3

? ? ? ? 18. 已知等差数列 an 满足:a1 ? 1, an?1 ? an n ? N* ,a1 ? 1 ,a2 ? 1,a3 ? 1 成等比数列,an ? 2 log2 bn ? ?1.
(Ⅰ)求数列?an? ,?bn?的通项公式; (Ⅱ)求数列?an ?bn? 的前 n 项和Tn .
19. 已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率 e= ,P( , )为椭圆 C 上的点. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若直线 y=kx+b(k≠0)与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,且线段 AB 的垂直平分线过定点 M( ,0),求实 数 k 的取值范围. 20. 已知函数 f (x) ? ax ? b ? ln x (其中 a,b?R )表示的曲线在点 (2,f (2)) 处的
切线方程为 x ? 2y ? 2ln 2 ? 0 . (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若 f (x) ≥ kx ? 2 对于 x ?(0,? ?) 恒成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)求证:当 n ? N* 时, n(n ? 1) ≤ 2 en ?1 e ?1
4

一、选择题(每题 5 分) DBAC ACCD 二、填空题(每题 5 分)

9、1
14、 1 2

10、 15 8

11、( 1 ,0) 2

12、a<–1,或 a>3

三简答题(15——18 每题 13 分,19、20 每题 14 分)

13、 3 ? 2 2

15.解:(Ⅰ)在 ?ABC 中, a ? b ,可得 bsin A ? asin B , sin A sin B
又由 bsin A ? 3csin B ,可得 a ? 3c ,又因 a ? 6 ,故 c ? 2 . 由 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ,则 cos B ? 1 ,可得 b ? 4 2 . --------------
3

(6 分)

(Ⅱ)由 cos B ? 1 ,可得 sin B ? 2 2 ,进而得 cos 2B ? 2cos2 B ?1 ? ? 7 ,

3

3

9

sin 2B ? 2sin B cos B ? 4 2 , 9

所以 cos(2B ? ? ) ? cos 2B cos ? ? sin 2B sin ? ? ? 7 ? 3 ? 4 2 ? 1 ? ? 7 3 ? 4 2

6

6

6 92 9 2

18

--------------(7 分)

16、(1)由题意得在每层中抽取的比例为



因此,在 产品中应抽取的件数为

件,

在 产品中应抽取的件数为

件,

在 产品中应抽取的件数为

件.

所以 A、B、C 三种产品分别抽取了 2 件、3 件、1 件. --------------(4 分)

(2)(i)设 产品编号为 ; 产品编号为

产品编号为 ,

则从这 6 件产品中随机抽取 2 件的所有结果是:

,共 个. (ii)根据题意,这些基本事件的出现是等可能的;其中这两件产品来自不同种类的有:
,共 11 个.
5

所以这两件产品来自不同种类的概率为

. --------------(9 分)

17 证明:(Ⅰ)连接 PC ? DE ? O ,连接 MO ,因为四边形 PDCE 是正方形,所以 O 是 PC 的中点,M 为

PA 中点,则 MO// AC ,------------1 分

又 MO ? 平面 MDE ,

----------------------------2 分

AC ? 平面 MDE ,

----------------------------3 分

所以 AC ∥平面 MDE 。

----------------------------4 分

(2)平面 PDCE ^ 平面 ABCD,平面 PDCE ? 平面 ABCD = CD .

?ADC ? 900 所以 AD ? DC

------------5 分

所以 AD ? 平面 PDCE

----------------------------6 分

又 PC ? 平面 PDCE ,所以 AD ? PC --------------------------7 分

又正方形 PDCE 中 PC ? DE -------------------------8 分

DE ? AD ? D 所以直线 PC ? 平面 ADE

----------------------------9 分

(3)取 AD的中点 N ,连接 BN ,则 BN // AD

则 BN ? 平面 PDCE

----------------------------10 分

连接 NE ,则 NE 是 BE在平面 PDCE 内的射影,

所以 ?BEN 是直线 BE与平面 PDCE 所成角 ---------------------11 分

Rt?BCN 中 BC ? BN2 ? CN 2 ? 2a

Rt?BCE 中 BE ? BC2 ? CE2 ? 6a 所以 Rt?BEN 中 sin ?BEN ? BN ? 6 ----------------------------12 分
BE 6

直线 BE与平面 PDCE 所成角的余弦 30 ----------------------------13 分 6

18. 解:(Ⅰ)设 d 为等差数列?an? 的公差, a1 ? 1,
则 a2 ? 1? d, a3 ? 1? 2d , ∵ a1 ? 1 , a2 ? 1, a3 ? 1 成等比数列,
∴ ?2 ? d ?2 ? 2?4 ? 2d ? .
∵d ?0, ∴d ?2. ∴ an ? 2n ?1. ∵ an ? 2 log2 bn ? ?1,
6

∴ log2 bn ? ?n .

∴ bn

?

1 2n

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

an

? bn

?

2n ?1 2n



∴ Tn

?

1 2

?

3 22

?

5 23

?

? 2n ?1 , 2n

1 2

Tn

?

1 22

?

3 23

?

5 24

?

? 2n ?1 . 2n?1

①-②得

--------------(6 分)

1 2 Tn

?

1 2

?

2

?

? ??

1 22

?

1 23

?

?

1 2n

? ??

?

2n ?1 2n?1



1 2

Tn

?

1 2

?

2?

1 22

???1

?

1 2n-1

1? 1

? ??

?

2n ?1 2n?1

?

1 2

?1?

1 2n?1

?

3 2

?

2n ? 3 2n?1



2

∴ Tn

?

3?

2n ? 2n

3

.

--------------

(7 分)

19、解:(Ⅰ)依题意,得

,解得

,故椭圆 C 的方程为

+

=1;

--------------

(Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),



,消去 y,

得(4k2+3)x2+8kbx+4b2﹣12=0, 依题意△=(8kb)2﹣4(3+4k2)(4b2﹣12)>0, 即 b2<3+4k2,

而 x1+x2=﹣

,则 y1+y2=k(x1+x2)+2b=



所以线段 AB 的中点坐标为(﹣



).

因为线段 AB 的垂直平分线的方程为 y=﹣ (x﹣ ).

所以(﹣



)在直线 y=﹣ (x﹣ )上,



=﹣ (﹣

﹣ ).

(4 分)

7

故 4k2+3kb+3=0,则有 b=﹣

(3+4k2),

所以

<3+4k2,

故 k2> .解得 k<﹣

或 k>



所以实数 k 的取值范围是(﹣∞,﹣ 解:(Ⅰ)∵ f (x) ? ax ? b ? ln x ,

)∪(

,+∞) --------------(10 分)

∴ f ?(x) ? a ? 1 . x
又曲线在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 x ? 2y ? 2ln 2 ? 0 ,

∴ f ?(2) ? a ? 1 ? 1 , f (2) ? 2a ? b ? ln 2 ? 1? ln 2 . 22
∴ a ?1,b ? ?l . …………… 4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f (x) ? x ?1? ln x ,
f (x) ≥ kx ? 2 对于 x ? (0,? ?) 恒成立, 即 x ?1? ln x≥kx ? 2 在 (0,? ?) 上恒成立,

也即 k ≤ x ?1? ln x 在 (0,? ?) 上恒成立. x



g(x)

?

x

?1? x

ln

x

(x

?

0)



g ?( x)

?

ln

x? x2

2



令 g?(x) ? 0 ,得 x ? e2 .

由 g?(x) ? 0 得, 0 ? x ? e2 ;由 g?(x) ? 0 得, x ? e2 ,

∴ g(x) 在 (0,e2 ) 内单调递减,在 (e2,? ?) 内单调递增.

∴ (g(x))min ?

g(e2 )

?1?

1 e2



∴ k ≤1 ? 1 . ……………9 分 e2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知

g(x)

?

x

?1? ln x

x

≥1 ?

1 e2

,即

x ≥ e2 (ln

x

?1) .

令 x = et?2 ,得 et?2 ≥ e2 (t+1) ,即 et ≥ t+1 .

∴ e0 + e1 + e2 ? ? en?1 ≥1+ 2 + 3 + + n ,

即 1 ? en ≥ n(n ? 1) ,

1? e

2

∴ n(n ? 1) ≤ 2 en ?1 (n?N*) . ……………14 分 e ?1

8