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河南省新野县第三高级中学2015届高三数学上学期第三次阶段考试(10月)试题 理_图文

河南省新野县第三高级中学 2015 届高三数学上学期第三次阶段考试 (10 月)试题 理
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的

1 x | ( )x ? 1 A ?R B = 2 1.已知全集为 R,集合 A={ },B={ x | x ? 2 },
A.[0,2) 2.已知复数 A. | z |? 2
z?

B.[0,2]

C.(1,2) )

D.(1,2]

2 ?1 ? i ,则下列正确的是(

B.z 的实部为 1

C.z 的虚部为﹣1

D.z 的共轭复数为 1+i )

3.已知向量 a ? (?1, 2) , b ? (3, m) , m ? R ,则“ m ? ?6 ”是“ a //(a ? b) ”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 4.在等差数列 A.10 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) D.28

?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 =
C.20

B.18

5 、设 角 ? 为第四象 限角 , 并 且角 ? 的终边 与单 位圆交 于点 P( x0 , y0 ) , 若
cos 2? ? (

x0 ? y0 ? ?

1 3 ,则

) .

8 A. 9 ?

?
B.

8 9

C.

?

17 9

D.

?

17 9

6.已知函数 f ( x) ? sin 2 x 向左平移 6 个单位后,得到函数 y ? g ( x ) ,下列关于 y ? g ( x ) 的 说 法正确的是( )

?

(?
A. 一个 対称中心为

?
3

,0)
B.

x??

?
6 是其一个对称轴 [ k? ,

? 7? [ ? k? , ? k? ], k ? Z , 12 C. 减区间为 12

?
12

? k? ], k ? Z ,

D. 增区间为

y?

10 ln x ? 1 x ?1

7.下列四个图中,函数
y -1

的图象可能是
y

y





y

O

x

-1

O

x

-1

O

x

-1

O

x

-1-

A

B

C

D

8.设 M 是 ?ABC 边 BC 上任意一点,且 2 AN ? NM ,若 AN ? ? AB ? ? AC ,则 λ +μ 的值为

1 A. 4

1 B. 3

C.

1 2

D. 1

9.如图,点 P 是函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) (其中 x ? R,

0?? ?

?

) 2 的图象上的最高点,M、N

y P N M O x

是图象与 x 轴的交点,若 PM ? PN ? 0 ,则函数 ( ) A.4 B.8 C. 4? D. 8?

y ? 2 sin(?x ? ? ) 的最小正周期是

2? 10.已知 a ? b ? 0 , | a ? b |? t | a | ,若 a ? b 与 a ? b 的夹角为 3 ,则 t 的值为 (
(A)1 ( B) 3 (C)2 (D)3

)

3 2 ? ?2 x ? 3 x ? 1, ( x ? 0) f ( x) ? ? ax ? ?e . ( x ? 0) 11. 函数 在 [ ?2,2] 上的最大值为 2,则 a 的取值范围是

1 [ ln 2,??) A. 2

1 [0, ln 2] 2 B.

C. (??,0)

1 (??, ln 2] 2 D.

12.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, f ( x ? 1) 为奇函数, f (0) ? 0 ,当 x ? (0,1] 时,

f ( x ) ? log2x,则在 (8,10) 内满足方程 f ( x ) ? 1 ? f (1) 的实数 x 为

19 A. 2

17 B. 2

C.9

33 D. 4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)

3 (0 ? x ? ? ) 2 的图像与 y 轴及 y ? ?1 所围成的一个封闭图形的面积是 13. 由函数 y ? sin x
____.

? 4? a ? (sin(? ? ),1), b ? (4, 4 cos ? ? 3) sin(? ? ) 6 3 等于 14 . 4. 已知向量 ,若 a ? b ,则
-2-

______ 15. 已知 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c , 且角 A, B, C 成等差数列,?ABC 的

面积

S?

b 2 ? (a ? c ) 2 k ,则实数 k 的值为



? ?? 0, ? ? y ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a 2 ? 上有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围 ? 16. 若函数 在
为_________________. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分)
n ?1 ? an ? S ? a ? 2 ? 1, ( n ? N ) ,且 a1 ? 1 。 ? S n n ? 1 n n 设数列 的前 项和为 ,满足

? an ? ? n ?1 ? ?a ? 证明:数列 ? 2 ? 为等差数列,并求数列 n 的通项公式。

18(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 2 cos x ? sin 2 x ? a (a ? R ) .
2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间;

x ? [0, ] 6 时, f ( x) 的最大值为 2,求 a 的值,并求出 y ? f ( x)( x ? R ) 的对称轴方程. (2) 当

?

19(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 2 cos A cos C (tan A tan C ? 1) ? 1 .

求 B 的大小; (2)若

a?c ?

3 3 2 , b ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

-3-

b ? (cos ? ,sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? . 20(本小题满分 12 分)已知 a=(cos ? ,sin ? ),
若 | a ? b |?

2 ,求证: a ? b ;(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

ln x 21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=kx,g(x)= x .
(1)求函数 g(x)的单调区间; (2)若不等式 f(x)≥g(x)在区间(0,+∞)上恒成立,求实数 k 的取值范围。

22. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? xe .
x

(1) 求 f ( x) 的单调区间与极值; (2) 是 否 存 在 实 数 a , 使 得 对 任 意 的 x1、x2 ? (a,??) , 当 x1 ? x2 时 恒 有

f ( x2 ) ? f (a ) f ( x1 ) ? f (a ) ? x2 ? a x1 ? a 成立.若存在,求 a 的范围,若不存在,请说明理由.

-4-

第三次月考数学(理)参考答案 答案:1 答案 A

2 .C

3.A

4. C

5、答案 D 解析: 由三角函数定义,x0 ? cos ? , y0 ? sin ? , 则
cos ? ? sin ? ? ? 1 8 sin 2? ? ? 3, 9, 两边平方得



cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ?

17 9 , 注 意 到 ? 为 第 四 象 限 角 , sin ? ? 0 , cos ? ? 0 ,

cos ? ? sin ? ? 0 ,

2 2 ∴ | sin ? | ? | cos ? | ,∴ cos 2? ?| cos ? | ? | sin ? | ? 0 ,∴

cos 2? ? ?

17 9 .

6.【答案】 C

? f ( x) ? sin 2( x ? ), 6 即 试 题 分 析 : 函 数 f ( x) ? sin 2 x 向 左 平 移 6 个 单 位 后 , 得 到 函 数

?

? f ( x) ? sin(2 x ? ), 3

-5-



x??

? ?

f (? ) ? ? sin ? 0 3 ,得 3 3 , A 不正确;

?

?

x??


f (? ) ? sin 0 ? 0 ? ?1 6 ,得 6 , B 不正确;

?



?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2 k? , k ? Z

5? ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z , 12 ,得 12 ?

[?
即函数的增区间为 故选 C . 7. C

5? ? ? 7? ? k? , ? k? ], k ? Z , [ ? k? , ? k? ], k ? Z , 12 12 12 减区间为 12

8. 【答案】B 【 解 析 】 因 为 M 是 ?ABC 边 BC 上 任 意 一 点 , 设 AM ? m AB ? n AC , 且m ? n ? 1 , 又

AN ?

1 1 1 1 AM ? m AB ? n AC ? ? AB ? ? AC ? ? ? ? ( m ? n) ? 3 3 3 3。 ,所以
解析:由条件可得 MN ? 4 ,所以周期为 8.

?

?

9.答案 B 10.答案 C 11.答案 D

? ?2, 0? 上的最大值为 2,则 y ? e 在区间 ? 0, 2? 上的最大值只 解析: y ? 2 x ? 3 x ? 1 在区间
3 2 ax

能小于等于 2,当 a ? 1 ,最大值为 e 不合题意,所以 A 不对,当 a ? 0 时,符合题意,所以 C
2

不对;当 a ? ?1 时,符合题意,所以排除 B,所以选 D。 12 答案 B 因为 f(x+1)为奇函数,即 f(x+1)=-f(-x+1) ,即 f(x)=-f(2-x) . 当 x∈(1,2)时,2-x∈(0,1) ,∴f(x)=-f(2-x)=-log2(2-x) . 又 f(x)为偶函数,即 f(x)=f(-x) ,于是 f(-x)=-f(-x+2) ,即 f(x)=-f(x+2)=f

-6-

(x+4) ,故 f(x)是以 4 为周期的函数. ∵f(1)=0,∴当 8<x≤9 时,0<x-8≤1,f(x)=f(x-8)=log2(x-8) .

17 由 log2(x-8)+1=0,得 x= 2 。
当 9<x<10 时, 1<x-8<2, f (x) =f (x-8 ) =-log2[2(x-8 ) ]=-log2 (10-x) , -log2 (10-x)

17 +1=0,得 10-x=2,x=8<9(舍) .综上 x= 2 。故选 B.

二填空题

3? ?1 13. 答 案 : 2

解 析 : 画 图 可 知 封 闭 图 形 的 面 积 为

?

3? 2 0

3? 3? ?1 (sin x ? 1)dx (? cos x ? x) | 2 0 = 2 = ? 4sin(? ? )+4 cos ? ? 3=0 6 解析:因为 a ? b ,所以 a ? b =0 ,则有 ,整

1 14. 答案: 4

?

1 3 1 ? 1 sin ? + cos ? ? sin(? ? ) ? 2 4 ,可得 3 4 ,因为 理可得 2 3 sin ? +6 cos ? ? 3 ,即 2
sin(? ? 4? ? 1 ) ? ? sin(? ? ) ? ? . 3 3 4

4 3 ? B? 3, 15. 3 ; 解析:因为角 A, B, C 成等差数列,所以 2B=A+C,又 A+B+C=,所以 S?
所 以

b 2 ? (a ? c)2 ?2ac cos B ? 2ac ac 1 3 S? ? ? ac sin B ? ac k k k , 所 以 2 4 , 又

4 3 1 3 ? , 即k ? k 4 3 。
16. 答案: (?2,- 1]

-7-

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 证明∵

S n ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1, (n ? N ? ) a1 ? 1

2 S ? a ? 2 ?1 1 2 ∴

a2 ? 4

? S n ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1, (n ? 1) ? ? ? S ? a ? 2n ? 1, (n ? 2) n 由 ? n ?1
检验知



an ?1 ? 2an ? 2n (n ? 2) -------4 分

a1 ? 1 , a2 ? 4 满足 an ?1 ? 2an ? 2n (n ? 2)
an ?1 a ? nn ? 1(n ? 1) n 2 ?1 变形可得 2

a ? 2an ? 2n (n ? 1) ∴ n ?1

? an ? ? n ?1 ? ∴数列 ? 2 ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, --------8 分
解得

an ? n ? 2n ?1 (n ? 1)

------------------10 分

? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? a 4 18 解: (1) f ( x) ? 2 cos x ? sin 2 x ? a ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? a ?2
2

?

分 则 f ( x) 的最小正周期

T?

2?

?

??
, ????????????????4 分

2 k? ?
且当

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z )

时 f ( x) 单调递增.

x ? [ k? ?


3? ? , k? ? ](k ? Z ) 8 8 为 f ( x) 的单调递增区间(写成开区间不扣分) .

?6 分

? ? ? 7? ? ? ? ? x ? [0, ] ? ? 2 x ? ? 2x ? ? x? sin(2 x ? ) ? 1 6 时 4 4 12 ,当 4 2 ,即 8时 4 (2)当 .
- 8-

所以

f ( x) max ? 2 ? 1 ? a ? 2 ? a ? 1 ? 2 .??????????????9 分

2x ?
19

?
4

? k? ?

?
2

?x?

k? ? ? (k ? Z ) 2 8 为 f ( x) 的对称轴.????????12 分

?

cos B ?

1 2 ,又 0 ? B ? ?

20.【解析】(1)∵ | a ? b |?
2 2 2

2 ,∴ | a ? b | 2 ? 2 ,即 a ? b ? a ? 2ab ? b ? 2 ,
2 2 2 2 2

? ?

2

2

2

又∵ a ?| a | ? cos ? ? sin ? ? 1 , b ?| b | ? cos ? ? sin ? ? 1 , ∴ 2 ? 2ab ? 2 ,∴ a ? b ? 0 ,∴ a ? b . ------------------6 分

?cos ? ? cos ? ? 0 ? sin ? ? sin ? ? 1 , a ? b ? (cos ? ? cos ? , sin ? ? sin ? ) ? ( 0 , 1 ) (2)∵ ,∴ ? ?cos ? ? ? cos ? 1 ? sin ? ? sin ? ? 1 ? sin ? ,两边分别平方相加得: 1 ? 2 ? 2 sin ? ,∴ 2, 即?
sin ? ?


1 5 1 ? ? ?,? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 2 ,∵ 6 6 .--------------12 分 ,∴

-9-

? ? 22. 解: (1) f ( x) ? (1 ? x)e .令 f ( x) ? 0 ,得 x ? ?1 ;
x

列表如下

x
f ?( x) f ( x)

(??,?1)


?1
0 极小值

(?1,??)
+ ↗

? f ( x) 的单调递减区间是 (??,?1) ,单调递增区间是 (?1,??) .--------------4 分

f ( x) 极小值=

f (?1) ? ?

1 e

-----------------5 分

- 10 -

- 11 -


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