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专题四、立体几何(有答案)


立体几何
类型一、基本概念 棱柱: 直棱柱: 正棱柱: 棱锥: 正棱锥: 棱台: 圆柱: 圆锥: 圆台: 平行六面体: 长方体: 正方体: 正四面体: 球: 例 1、 (1)设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体;④棱台的相对侧棱延长后必交于一点. 其中真命题的序号是___①④_____. (2)下面是关于四棱柱的四个命题: ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱; ④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱. 其中,真命题的编号是_____②④___. (3)以下命题: ①直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥; ②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱; ③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台; ④棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台. 其中正确的命题序号是____③____. 例 2、 (1)有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为 r 的 铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度. 解 如图所示,作出轴截面, 因轴截面是正三角形,根据切线性质知当 球在容器内时,水的深度为 3r,水面半径

BC 的长为 3r,则容器内水的体积为 V=V 圆锥-V 球 π 4π 5π = ( 3r)2· 3r- r3= r3, 3 3 3 将球取出后,设容器中水的深度为 h, 则水面圆的半径为 3 π 3 π h,从而容器内水的体积为 V′= ? h?2h= h3, 3 3? 3 ? 9

3 由 V=V′,得 h= 15r. (2)直径为 3 的球的内接正四面体的体积=

1 3

(3)表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为( A ) A.

2 ? 3
36?

B. ?

1 3

C.

2 ? 3

D.

2 2 ? 3

(4)正四面体的四个顶点都在同一个球面上,且正四面体的高为 4,则这个球的表面积为 (5)在三棱锥 P ? ABC 中,侧棱 PA、PB、PC 两两垂直,Q 为底面△ABC 内一点,若点 Q 到 三个侧面的距离分别为 3,4,5,则以线段 PQ 为直径的球的表面积为( B ) A. 100? B. 50? C. 25? D. 5 2?

类型二、几何位置关系 1、平行 2、垂直 例 3、如图,已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在平面, M、N 分别是 AB、PC 的中点,若∠PDA=45° , 求证: (1) MNP 平面 PAD; (2)MN⊥AB; (3)MN⊥平面 PCD; (4)平面 ANB⊥平面 PCD。 类型三、空间角 方法: 例 4、在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形.已知 AB=3,AD=2,PA=2,PD=2 2, ∠PAB=60° . (1)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值的大小; (2)求 PD 与面 ABCD 所成角的角的余弦值; (3)求二面角 P—BD—A 的正切值的大小. 答案: (1)异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值的大小为 (2)PD 与面 ABCD 所成角的角的余弦值为 7 ; 2

10 4

(3)二面角 P—BD—A 的正切值的大小为 类型四、立体几何中的探索问题

39 4

例 5、如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, MD ? 平面ABCD ,

NB ? 平面ABCD ,且 MD=NB=1,E 为 BC 的中点。在线段 AN 上是否存
在点 S,使得 ES ? 平面 AMN?若存在,求线段 AS 的长;若不存在,请说明 理由

AS ?

2 2

例 6、如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE ∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2.线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由

解:设线段 BC 上存在点 P ,设 P 点坐标为 ? 0 , , ? ,则 a ? ? 0 , ? a 0 3

??? ? ???? 则 A1 P ? 0 ,a ,? 2 3 , DP ? ? 2 , , ? a 0

?

?

?? ? 设平面 A1 DP 法向量为 n1 ? ? x1 ,y1 ,z1 ?
?ay ? 2 3z1 ? 0 ? 则? 1 ?2 x1 ? ay1 ? 0 ?
?? ? ∴ n1 ? ?3a ,6 , 3a



? 3 ay1 ? z1 ? ? 6 ∴? ? x ? ? 1 ay 1 ? 1 ? 2

?

?。

假设平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直, ?? ? ? 则 n1 ? n ? 0 ,∴ 3a ? 12 ? 3a ? 0 , 6a ? ?12 , a ? ?2 , ∵ 0 ? a ? 3 ,∴不存在线段 BC 上存在点 P ,使平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直。


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