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黑龙江省大庆实验中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


大庆实验中学 2015-2016 学年度上学期期中考试

高一年级数学试题
第I卷 选择题(共 60 分)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.集合 U ? {1,2,3,4} , M ? {1,2} , N ? {2,3} ,则 CU ? M ? N ? ? A. {2} B. {4} C. {1, 2,3} ( )

D. {1,3, 4} ( D. )

2.中心角为 60°的扇形,它的弧长为 2 ? ,则它的内切圆半径为 A.2 B. 3 C.1

3 2


3. 设 ? ? ?1,2,3, A. -1,3

? ?

1 ? ? 则使幂函数 y ? x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为 ( ,?1? , 2 ?
B.-1,1 C. 1,3 D.-1,1,3 ( C. (2,3) )

4.函数 y ? loga (3x ? 2) ? 2 的图象必过定点 A. (1, 2)
x

B. (2, 2)

D. ( , 2) )

2 3

5. 函数 y ? a 与 y ? ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 在同一坐标系中的图像只可能是( y 1 0 1 x -1 0 B.
x x

y 1 x

y

y 1 1 x 0 D. 1 x

1 0 C.

A.

6. 设 f ?x? ? 3 ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3 ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内近似解的过程中得

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0 ,则方程的根落在区间(
A. (1,1.25)
2

) D. 不能确定 )

B. (1.25,1.5)
0.31

C. (1.5, 2) 之间的大小关系为(

7.三个数 a ? 0.31 , b ? log2 0.31, c ? 2 A.a<c<b

B.a<b<c

C.b<a<c 8.已知 3 ? 2 , log 3 A.1
x

D.b<c<a

9 ? y , 则 2 x ? y 的值为( 4
B.2 C.3

) D.9

9 .设 f ? x ? 与 g ? x ? 是定义在同一区间 ? a, b? 上的两个函数,若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 在 则称 f ? x ? 和 g ? x ? 在 ? a, b? 上是“关联函数”, 区间 ? a, b? 称 x ? ? a, b? 上有两个不同的零点, 为“关联区间”. 若 f ? x ? ? x ? 3x ? 4 与 g ? x ? ? 2x ? m 在 ?0,3? 上是“关联函数”, 则m的
2

取值范围为 ( A. ? ? , ?2?



? 9 ? 4

? ?

B. ? ?1,0?

C. ? ??, ?2?

D. ? ?

? 9 ? , ?? ? ? 4 ?

?(a ? 2) x( x ? 2) ? 10.设函数 f ( x) ? ? 1 x 是 R 上的单调递减函数,则实数 a 的取值范围为( ( ) ? 1 ( x ? 2 ) ? ? 2
A.(-∞,2) B.(-∞,
13 ] 8

)

C.(0,2)

D.[

13 ,2) 8

11.设 f ( x) 是偶函数,且在 (0, ??) 上是减函数,又 f ( ?1) ? 0 ,则 xf (x ) ? 0 的解集是( A. (?1,1) C. (?1,0) ? (1, ??) 12.不等式 log 1 ( x 2 ? x) ? x 2 ? x ?
2



B. (1, ??) D. (??, ?1) ? (0,1)

1 的解集为( 2



A. ?

? 1? 3 ? ? 1? 3 ? ? 2 ,0 ? ??? ?1, 2 ? ? ? ? ? ?

B. ? ??,

? ? ?

? 1? 3 ? ? 1? 3 ?? , ?? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?

C. ?

? 1? 3 ? ? 2 ,0 ? ? ? ?

D. ? 1,

? 1? 3 ? ? ? 2 ? ? ?

第 II 卷

非选择题(共 90 分)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 f ( x) ? 1 ? 2 log6 x 的定义域为 .

14.与-1050°终边相同的最小正角是

.

15 . 二 次 函 数 y ? kx 2 ? 4 x ? 8 在 区 间 [5,20] 上 是 减 少 的 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 为 .

16.设定义在 R 上的函数 f ( x) ? ?

? ?1( x ? 0) ,若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 恰有 ? ?lg x ( x ? 0)
2 2 2

3 个不同的实数解 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 ?

.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本题满分 10 分) 已知全集 U ? R ,集合 A ? x x ? ?4, 或x ? 1 , B ? x ? 3 ? x ? 1 ? 2 , (1)求 A ? B 、 (CU A) ? (CU B) ; (2)若集合 M ? x 2k ? 1 ? x ? 2k ? 1 是集合 A 的子集,求实数 k 的取值范围.

?

?

?

?

?

?

18. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? log2 (4 x) ? log 2 (2 x) 的定义域为 [ , 4] , (Ⅰ)若 t ? log2 x ,求 t 的取值范围; (Ⅱ)求 y ? f ( x) 的最大值与最小值,并求出最值时对应的 x 的值.

1 4

19. (本题满分 12 分)

? 2? x x ? 1 设函数 f ( x) ? ? . ?log 4 x x ? 1

1 的解. 4 (Ⅱ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集.
(Ⅰ)求方程 f ( x) ?

20. (本题满分 12 分)

设 A 是 符 合 以 下 性 质 的 函 数 f(x) 组 成 的 集 合 : 对任意的x ? 0, f ( x) ??1,4?,



f ( x)在?0,??? 上是减函数。
(Ⅰ)判断函数 f 1 ( x) ? 2 ? 理由; (Ⅱ)把(Ⅰ)中你认为是集合 A 中的一个函数记为 g ( x), 若不等式 g ( x) ? g ( x ? 2) ? k 对任意的 x ? 0 总成立,求实数 k 的取值范围。

1 x及f 2 ( x) ? 1 ? 3 ? ( ) x ( x ? 0) 是否属于集合 A,并简要说明 2

21. (本题满分 12 分) 乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果,他俩商定:乔经理的采购价 y (元/ 吨)与采购量 x (吨)之间函数关系的图象如图中的折线段 ABC 所示(不包含端点 A, 但包含端点 C). (Ⅰ)求 y 与 x 之间的函数关系式; (Ⅱ)已知老陈种植水果的成本是 2800 元/吨,那么乔经理的采购量为多少时,老 陈在这次买卖中所获的利润 W 最大?最大利润是多少?

y
8 000 4 000 0 20 A B C 40

x

22. (本题满分 12 分) 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且对任意 a、 b? R , 当 a ? b ? 0 时, 都有 (1)若 a ? b ,试比较 f ( a ) 与 f (b) 的大小关系; (2)若 f (9 x ? 2 ? 3 x ) ? f (2 ? 9 x ? k ) ? 0 对任意 x ? [0,??) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

f (a) ? f (b) ?0. a?b

大庆实验中学 2015-2016 学年度上学期期中考试高一年级数学试题答案—仅供参 考
一、选择题:BACAA 二、填空题: 13, 0, 6 ? ? 三、解答题: 17. (1)? B ? x ? 3 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 2 ? x ? 3 BCBAB CA 15, ( ?? ,0) ? (0,

?

14, 30°

1 ] 10

16, 200

?

? ?

?

? A ? B ? ?x1 ? x ? 3?, ???3 分

(CU A) ? (CU B) ? ?x x ? 1, 或x ? 3?
(2)由题意: 2k ? 1 ? 1 或 2k ? 1 ? ?4 , 解得: k ? 1 或 k ? ?

5 . 2

18.解: (Ⅰ) t 的取值范围为区间 [log 2

1 , log 2 4] ? [?2, 2] . 4 (Ⅱ)记 y ? f ( x) ? (log2 x ? 2)(log2 x ? 1) ? (t ? 2)(t ? 1) ? g (t ) (?2 ? t ? 2) .
∵ y ? g (t ) ? (t ? ) ?
2

3 2

1 3 3 在区间 [ ?2, ? ] 是减函数,在区间 [? , 2] 是增函数 4 2 2

3 ? 3 2 3 1 2 ∴当 t ? log 2 x ? ? 即 x ? 2 2 ? 时, y ? f ( x) 有最小值 f ( ) ? g (? ) ? ? ; 2 4 2 4 4 2 当 t ? log2 x ? 2 即 x ? 2 ? 4 时, y ? f ( x) 有最大值 f (4) ? g (2) ? 12 .

?x ? 1 ?x ? 1 1 ? ? 19.解: (Ⅰ) f ( x) ? ? ? ? x 1 (无解)或 ? 1 ? x? 2. 4 2 ? log x ? ? 4 ? 4 ? ? 4
∴方程 f ( x) ?

1 的解为 x ? 2 . 4

?x ? 1 ?x ? 1 ?x ? 1 ?x ? 1 (Ⅱ) f ( x) ? 2 ? ? ? x 或? 或? . ?? ?2 ? 2 ?log x4 ? 2 ? x ? ?1 ? x ? 16
? ?1 ? x ? 1 或 1 ? x ? 16 即 ?1 ? x ? 16 .
∴不等式 f ( x) ? 2 的解集为: [ ?1,16] . 20.解: (Ⅰ)? f1 ( x) ? 2 ? x在x ? 0时是减函数 , f1 ( x) ? ?? ?,2? ,? f1 ( x) 不在集合 A 中。 又? x ? 0时,0 ? ( ) ? 1,1 ? 1 ? 3 ? ( ) ? 4 ,
x x

1 2

1 2

1 1 ? f 2 ( x) ? ?1,4?, 且f 2 ( x) ? 1 ? 3 ? ( ) x 在?0,?? ? 上是减函数,? f 2 ( x) ? 1 ? 3 ? ( ) x 在集 2 2
合 A 中。

(Ⅱ)当 x ? 0时, g ( x) ? g ( x ? 2) ? 2 ?

15 1 x 23 ?( ) ? , 4 2 4

又由已知 ,因此所求的实数 k 的取值范围是 ? 21 解: (Ⅰ)当 0 < x ≤ 20 时,y = 8000

? 23 ? ,?? ?. ?4 ?

?20k + b = 8 000 当 20 < x≤40 时,设 BC 满足的函数关系式为 y = kx + b,则? , ?40k + b = 4 000

解得 k = ? 200,b = 12 000,∴y = ? 200x + 12 000 所以 y ? ?

(0 ? x ? 20) ?8000 ??200 x ? 12000 (20 ? x ? 40)

(Ⅱ)当 0 < x≤20 时,老陈获得的利润为 w = (8000 ? 2800)x =5 200x≤104 000, 此时老陈获得的最大利润为 104 000 元 当 20 < x≤40 时,老陈获得的利润为 2 2 w = (? 200x + 12 000 ? 2800)x = ? 200(x ? 46x) = ? 200(x ? 23) + 105 800, 所以,当 x = 23 时,利润 w 取得最大值,最大值为 105 800 元 因为 105 800 > 104 000,所以当乔经理的采购量为 23 吨时,老陈在这次买卖中所获得 的利润最大,最大利润为 105 800 元 22. (1)因为 a ? b ,所以 a ? b ? 0 ,由题意得:

f (a) ? f (?b) ? 0 ,所以 f (a) ? f (?b) ? 0 ,又 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, a ?b

? f (?b) ? ? f (b) ? f (a) ? f (b) ? 0 ,即 f (a) ? f (b) .
(2)由(1)知 f ( x) 为 R 上的单调递增函数,

? f (9 x ? 2 ? 3x ) ? f (2 ? 9 x ? k ) ? 0 对任意 x ? [0,??) 恒成立, ? f (9 x ? 2 ? 3 x ) ? ? f (2 ? 9 x ? k ) ,即 f (9 x ? 2 ? 3 x ) ? f (k ? 2 ? 9 x ) ,
? 9 x ? 2 ? 3 x ? k ? 2 ? 9 x ,? k ? 3 ? 9 x ? 2 ? 3 x 对任意 x ? [0,??) 恒成立,
即 k 小于函数 u ? 3 ? 9 ? 2 ? 3 , x ? [0,??) 的最小值.
x x
x 令 t ? 3 ,则 t ? [1,??) ? u ? 3 ? 9 ? 2 ? 3 ? 3t ? 2t ? 3(t ? ) ?
x x 2 2

1 3

1 ? 1, 3

? k ? 1.


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