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南通中学2011-2012学年高一第一学期数学期末考试


南通中学 2011-2012 学年高一第一学期数学期末考试
一、选择题。本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. 定义 A ? B ? ?x | x ? A, 且x ? B? ,若 A ? ?1,3,5,7,9? , B ? ?2,3,5? ,则 A ? B =( (A) A (B) B (C) ?1,2,7,9? (D) ?1,7,9? ( ) )

2. 下列判断错误的是 A.命题“若 q 则 p”与命题“若 p 则 q ”互为逆否命题 B.“am2<bm2”是“a<b”的充要条件 C.“矩形的两条对角线相等”的否命题为假

{ D.命题“ ? ? {1,2}或4? 1,2} ”为真(其中 ? 为空集)
3.设集合 A ? x | x ? a ? 1, a ? N , B ? y | y ? b ? 4b ? 5, b ? N , 则下列正确的是(
2 2

?

?

?

?

)

(A) A ? B
x

(B) A ? B

(C) A ? B

(D) A ? B ? ?

4.将函数 y ? 2 的图象先作下面哪一种变化,再作关于直线 y ? x 对称的图象可得到函数

y ? log 2 ( x ? 1) 的图象? (
(A)先向左平行移动 1 个单位 (C)先向上平行移动 1 个单位 5. 若

) (B) 先向右平行移动 1 个单位 (D) 先向下平行移动 1 个单位 )

?an ? 是等比数列, a4 a7 ? ?512, a3 ? a8 ? 124, 且公比 q 为整数,则 a10 =(
(B)-256 (C)512 (D)-512

(A)256

6. 某次试验获得如下组数据: X y 1.98 1.5 3.01 4.04 4 7.5 5.04 12 6.25 18.01

在下列四个函数中最能近似表达以上数据规律的函数是

A、 y ? log 2 x C、 y ?
1 2 ? x ? 1? 2
2

B、 y ? 2 x ? 2 D、 y ? 2 x ? 2
1 4
)

7.已知 y ? log 2 [ax ? ( a ? 1) x ? ] 的定义域是一切实数,则实数 a 的取值范围(

(A) (0,

3? 5 ) 2

(B) (

3? 5 3? 5 3? 5 3? 5 3? 5 ,1) (C) (0, )?( , ??) (D) ( , ) 2 2 2 2 2
1

8 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 3 ,又满足 an ?1 ? 3 an , 则该数列的通项 an 等于(
n



(A) 3

n ( n?1) 2

(B) 3

n2 ? n ? 2 2

(C) 3

n2 ? n ?1

(D) 3

n2 ? n ?1

9 等差数列 ?an ? 共有 2n ? 1 项, 其中 a1 ? a3 ? ? ? a2 n ?1 ? 4, a2 ? a4 ? ? ? a2 n ? 3, 则 n 的值 为( (A)3 ) (B)5 (C)7

l
(D)9 D C

10.如右图所示,四边形 ABCD 为直角梯形,上底 CD 为 下底 AB 的一半,直线 l 截这个梯形所得的位于此直线左方 A
B

的图形面积为 y ,点 A 到直线 l 距离为 x ,则函数 y ? f ( x ) 的大致图象为(

)

y
2
3 2

y
3 2

y

y
3 2

x
O
1 2

x
O
1 2

x
O
1 2

x
O 3
1

3 2 3 2 2 2 11.方程 x ? (2 ? a ) x ? 5 ? a ? 0 的两根都大于 2,则实数 a 的范围是(
(A) a ? ?2 (B) ?5 ? a ? ?2 (C) ?5 ? a ? ?4

(A)

(B)

(C)

(D)

2

)

(D) a ? 4 或 a ? ?4 )

12.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 11 ? 2n, S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , 则 S10 =( (A)100 (B)50 (C)25 (D)125

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.答案填在题中横线上 13.(3a b )(-6a b )÷ (9 ab )的结果为________________ 14.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 15, an ? an ?1 ? an ?2 ? 78, Sn ? 155, 则 n =_____ 15.函数 f ( x ) ? log a x(a ? 0, a ? 1) ,已知 f (25) ? 2 ,则 f
?1
2 3 1 2 1 2

1 3

6

5

(log 25 2) ? _________。

16.我国规定:个人工资、薪金的月总收入不超过 800 元的免征个人所得税,超过 800 元部 分需征税,全月应纳税的数额(记作 x )为 x =全月总收入-800(单位:元) 税率如下表:

2

级数 1 2 3 …… 9

每月应纳税数额 x 元

税率 5% 10% 15% …… 45%

x ≤500
500< x ≤2000 2000< x ≤5000 ……

x >100000

某人今年 5 月份工资、薪金总收入是 2645 元,则此人 5 月份应交纳的个人所得税额为 _______________________。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.
17、解不等式:ax 2 -2(a+1)x+4>0 18、已知 A ? x

?

4 x ? 9 ? 2 x ?1 ? 32 ? 0

? , B ? ?y

y ? log 1
2

x x ? log 1 , x ? A 2 2 8

?;

若y1 ? B, y2 ? B. 求 y1 ? y2 最大值。
19、已知函数 f(x)= log 4 7 ? 6x ? x

?

2

?

(1)写出 f(x)的单调递增区间,并证明。 (2)在 f(x)的单调递增区间上,求 f(x)的反函数 f --1(x). 20 设二次函数 f(x)=x2+x+c(c>0),若方程 f(x)=0 有两个实数根 x1,x2(x1<x2). (1)求 c 的取值范围; (2)求 x2-x1 的取值范围; (3)如果存在一个实数 m,使得 f(m)<0,求证:m+1>x2.

3

21、为了测试某种金属的热膨胀性能,将这种金属的一根细棒加热,从 100? 开始第一次量 C 细棒的长度, 以后每升高 40? 量一次, C 把依次量得的数据所成的数列{ln}用图象表示如 图所示.若该金属在 20? C~500? 之间,热膨胀性能与温度成一次函数关系,试根据图 C 象回答下列问题: (Ⅰ)第 3 次量得金属棒的长度是多少米?此时金属棒的温度是多少? (Ⅱ)求通项公式 ln; (Ⅲ)求金属棒的长度 ln(单位:m)关于温度 t(单位:? )的函数关系式; C; (Ⅳ)在 30? 的条件下,如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上,这个平面的 C 最高温度可达到 500? C,问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙? ln
(细棒长度) (单位:m)

2.006 2.005 2.004 2.003 2.002 2.001

n O 1 2 3 4 5
(测量序号)

第 21 题图

22、设数列{an}和{bn}满足 a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列{an+1-an }(n∈N*)是等差数 列,数列{bn-2}(n∈N*)是等比数列. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)是否存在 k∈N*,使 ak-bk∈(0, 理由.

1 )?若存在,求出 k;若不存在,说明 2

4

题号 答案 D

1 D

2 A 10

3 D

4 C

5 C 16、

6 C 184.50

7 B

8 A

9

10 C

11 C

12 B

13、-2a.

14、

15、 2

17、ax 2 ? 2 ? a ? 2 ? x ? 4 ? 0 ? ? ax ? 2 ?? x ? 2 ? ? 0 1、a=0时,原不等式的解集为:?x x ? 2? ? 2 ? 2、a<0时,原不等式的解集为:?x ? x ? 2? ? a ? ? 2? 3、0<a<1时,原不等式的解集为:?x x ? 2或x ? ? a? ? 4、a=1时,原不等式的解集为:R ? 2? 5、a>1时,原不等式的解集为:?x x ? 2或x ? ? a? ?
18. ? 2 x ? ? 18 ? 2 x ? 32 ? 0 ? 2 ? 2 x ? 16
2

? 1 ? x ? 4 ? A ? ? x 1 ? x ? 4? y ? log 1
2

令t= log 2 x ? 0 ? t ? 2 ?

x x ? log 1 ? ?1 ? log 2 x ?? 3 ? log 2 x ? 2 2 8

y ? ?1 ? t ?? 3 ? t ?? 0 ? t ? 2 ? 3 3 ? t ? , ymin ? ? ; t ? 0, ymax ? 3 2 4 15 ? y1 ? y2 max ? 4

19. f ? x ?的单调递增区间 ? ?1,3? 令-1<x1 ? x2 ? 3 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? log 4 ? 7 ? 6 x1 ? x12 ? ? log 4 ? 7 ? 6 x2 ? x2 2 ?
1 2 1 2 2

?7 ? 6x ? x ? ?7 ? 6x ? x ? ?7 ? 6x ? x ? ?1 ? ?7 ? 6x ? x ? ? ?7 ? 6x ? x ? ?7 ? 6x ? x ? ?7 ? 6x ? x ? ? 7 ? 6 x ? x ? ? ? 7 ? 6 x ? x ? ? ? x ? x ?? x ? x ? 6 ? ? 0 ? ?7 ? 6x ? x ? ?7 ? 6x ? x ? ? 7 ? 6 x ? x ? ? 1? f x ? f x ? 0即f x 的单调递增区间 ?1,3 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ?7 ? 6x ? x ?
? log 4
2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2

5

19. ? 2 ? ? f ? x ?的单调递增区间? ?1,3? ?0 ? f ? x? ? 2 由f ? x ? ? log 4 ? 7 ? 6 x ? x 2 ? 7 ? 6 x ? x 2 ? 4 y ? ( x ? 3) 2 ? 16 ? 4 y ? x ? ? ?1,3?? x ? 3 ? 16 ? 4 y ? f ?1 ? x ? ? 3 ? 16 ? 4 x ? x ? ? 0, 2??
20、 (1)由方程 x2+x+c=0 有两个实数根 x1,x2(x1<x2=及 c>0,得 ? 解得 0<c<

?Δ ? 12 ? 4c ? 0 ?c ? 0

1 . 4
? x1 ? x2 ? ?1 ? x1 x2 ? c

(2)根据根与系数的关系,得 ? 又 x2-x1>0,所以, x2-x1= ( x2 ? x1 ) = 1? 4c ,
2

所以 0<x2-x1<1. (3)因为 f(m)<0,且抛物线 f(x)=x2+x+c 的开口向上, 所以 x1<m<x2,所以 m-x1>0, 从而 m+1>m+(x2-x1)=(m-x1)+x2>x2.

21. ? ? ? l3 ? 2.003.此时金属棒的温度是1800 C

? ?? ? ln ? 2.001 ? ? n ? 1? ? 0.001 ? 0.001n ? 2 ? ??? ? t ? 1000 C ? 400 C ? n ? 1? ? 400 Cn ? 600 C
t ? 60 t ? 60 , ln ? ?2 40 40000 500 ? 60 ? ?30 ? 60 ? ? 2?? ? 2? ? ?V ? ?l ? 40000 ? 40000 ? 53 53 ? ? 两块金属板之间至少要留 米空隙. 4000 2000 n?
22、解: (I)由已知 a2-a1=-2, a3-a2=-1, -1-(-2)=1 ∴an+1-an=(a2-a1)+(n-1)· 1=n-3 n≥2 时,an=( an-an-1)+( an-1-an-2)+…+( a3-a2)+( a2-a1)+ a1 =(n-4)+(n-5) +…+(-1)+(-2)+6

6

=

n 2 ? 7n ? 18 2 n 2 ? 7n ? 18 2
(n∈N*) ∴bn-2=(b1-2)· )n (

n=1 也合适. ∴an=

又 b1-2=4、b2-2=2 .而

2 1 ? 4 2

1 2

-1

即 bn=2+8· )n (

1 2

n 2 ? 7n ? 18 1 - ∴数列{an}、{bn}的通项公式为:an= ,bn=2+( )n 3 2 2

1 2 7 1 1 7 7 1 k ? k ? 7 ? 8 ? ( ) k ? (k ? ) 2 ? ? 8 ? ( ) k 2 2 2 2 2 8 2 1 7 2 7 1 k 1 当 k≥4 时 (k ? ) ? 为 k 的增函数,-8· ) 也为 k 的增函数,而 f(4)= ( 2 2 2 2 8 1 ∴当 k≥4 时 ak-bk≥ 2 1 又 f(1)=f(2)=f(3)=0 ∴不存在 k, 使 f(k)∈(0, ) 2
(II)设 f (k ) ? a k ? bk ?

7


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