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河北省2012年普通高中学业水平(12月)考试数学试题


2012 年 12 月河北省普通高中学业水平考试 数 学
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注意事项: 1.本试卷共 4 页,包括两道大题,33 道小题,共 100 分,考试时间 120 分钟. 2.所有答案在答题卡上作答,在本试卷和草稿纸上作答无效.答题前请仔细阅读答题卡上的“注 意事项” ,按照“注意事项”的规定答题. 3.做选择题时,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动,请用橡皮将原选涂 答案擦干净,再选涂其它答案. 4.考试结束后,请将本试卷与答题卡一并收回. 参考公式: 柱体的体积公式:V=Sh (其中 S 为柱体的底面面积,h 为高) 1 锥体的体积公式:V= Sh (其中 S 为锥体的底面面积,h 为高) 3 1 台体的体积公式:V= (S ?+ S ?S +S ) h(其中 S ?、S 分别为台体的上、下底面面积,h 为高) 3 4 球的体积公式:V= ?R3(其中 R 为球的半径) 3 球的表面积公式:S=4?R2(其中 R 为球的半径) 一、选择题(本题共 30 道小题,1-10 题,每题 2 分,11-30 题,每题 3 分,共 80 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.sin 150?= A. 1 2 B.- 1 2 C. 3 2 D.- 3 2

2.已知集合 A={1,2,3,4},B={2,4,6},则 A∩B 中的元素个数是 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3.函数 f (x)=sin(2x+ A. ? 2 ? )(x∈R)的最小正周期为 3 B.? C.2? D.4?

4.不等式(x-1)(x+2)<0 的解集为 A.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是 A.圆锥 C.棱锥 6.在等比数列{an}中,a1=1,a5=4,则 a3= A.2 B.-2 C.±2 D. 2 1 7.函数 f (x)=log2 x- 的零点所在区间是 x A.(0, 1 ) 2 1 B.( ,1) 2 C.(1,2) D.(2,3) B.(-1,2) D.(-2,1)

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正视图

侧视图

B.棱柱 D.圆柱

俯视图

8.过点 A (1,-2)且斜率为 3 的直线方程是

A.3x-y-5=0 C.3x-y+1=0

B.3x+y-5=0 D.3x+y-1=0

9.长方体的长、宽、高分别为 2,2,1,其顶点在同一个球面上,则该球的表面积 A.3? B.9? C.24? D.36?

10.当 0<a<1 时,函数 y=x+a 与 y=ax 的图象只能是 y 1 O A. 1 x B. y 1 O x O C. y 1 x D. y 1 O x

? 11.将函数 y=sin 2 x(x∈R)图象上所有的点向左平移 个单位长度,所得图象的函数解析式为 6 A.y=sin (2x- C.y=sin (2x- ? )(x∈R) 6 ? )(x∈R) 3 B.y=sin (2x+ D.y=sin (2x+ ? )(x∈R) 6 ? ) ( x ∈R ) 3

12.某单位有青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人数的 2 倍,老、中、青职工共有 430 人.为 了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32 人,则该样本 中的老年职工人数为 A.16 B.18 C.27 D.36 13.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是 A.y=- 1 x B.y=cos x D.y=e|x| B.3 C. 5
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C.y=-x2+3 A. 3

14.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 c=1,b=2,C=30?,则 a= D.1
?2x+1,x≥0, 15.已知函数 f (x)=? 且 f (x0)=3,则实数 x0= ?|x|, x<0,

A.-3 C.-3 或 1

B.1 D.-3 或 1 或 3

16.从集合{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从集合{1,2,3}中随机选取一个数为 b,则 b>a 的概率是 A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5

5? 17.若等差数列{an}的前 5 项和 S5= ,则 tan a3= 3 A. 3 B.- 3 C. 3 3 D.- 3 3

1 3 18.已知向量 a=(1,0),b=(- , ),则 a 与 b 的夹角为 2 2 A.30? B.60? C.120? B.[0,+∞) D.150? 19.函数 y= 2x-1的定义域是 A.(0,+∞)

C.(1,+∞) D.[1,+∞) 20.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据北京某日早 7 点 至晚 8 点甲、乙两个 PM2.5 监测点统计的数据(单位:毫克/每立方米)列出的茎叶图,如图,则 甲、乙两地所测数据的中位数较低的是 A.甲 B.乙 C.甲乙相等 D.无法确定 21.下列命题中正确的是( ) 甲 2 0.04 1 9 6 3 3 3 6 3 0.05 9 1 0.06 2 1 0.07 9 4 0.08 3 8 9 9
[来源:学。 科。 网]

乙 2 3 6

A.若直线 m //平面?,直线 n ??,则 m//n B.若直线 m⊥平面?,直线 n ??,则 m⊥n C.若 平面? //平面 β,直线 m ??,直线 n ?β,则 m//n D.若平面?⊥平面 β,直线 m ??,则 m⊥ ? 22.在下列直线中,与圆 x +y +4x-2y+4=0 相切的直线是 A.x=0 B.y=0 C.x+y=0
2 2

D.x-y=0

1 23.某程序框图如图所示,若分别输入如下四个函数:f (x)= ,f (x)=x2,f (x)=ex,f (x)=sin x,则可 x 以输出的函数是 A.f (x)=x2 C.f (x)=ex B.f (x)= 1 x
开始 输入 f (x) f (x)+f (-x)=0? 是 f (x)存在零点? 是 输出 f (x) 否 否

D.f (x)=sin x

24.在△ABC 中,→ AB 2+→ AB ·→ BC <0,则△ABC 为 A.锐角三角形 C.钝角三角形 25.现有下列四个命题: ①若直线 y=k1x+b1 与直线 y=k2x+b2 垂直,则 k1k2=- 1; ②若向量 a,b 满足 a·b=0,则 a=0 或 b=0; ③若实数 a,b,c 满足 b2=ac,则 a,b,c 成等比数列. 其中真命题的个数是 A.0 B.1
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B.直角三角形 D.锐角或钝角三角形

结束

C.2

D.3 y D(0,3) C(1,2) x A(2,0)

26.已知函数 f(x)= 3sin2x+2cos2x,则函数 f (x)最大值为( ) A.2 B.2 3 C.3 D.2 3+2 27.如图,点(x,y)在四边形 OACD 所围成的区域内(含边界) ,若(1,2) 是目标函数 z=mx-y 唯一的最优解,则实数 m 的取值范围是 A.(-1,+∞) B.(-∞,-2) C.(-2,-1) D.(-∞,-2)∪(-1,+∞)

o

f (x2)-f (x1) 28.定义在 R 上的偶函数 f (x)满足:对任意的 x1, x2∈ (-∞,0](x1≠x2) ,有 <0,则 x2-x1 A.f (-3)<f (-2)<f (1) C.f (-2)<f (1)<f (-3) B.f (1)<f (-2)<f (-3) D.f (-3)<f (1)<f (-2)

29.如右图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AC⊥ AB 且 AA1=AC=AB,则直线 AC1 与直线

A1B 所成的角等于 A.30?

B.45?

C.60?

D. 90? A1

C1 B1

30.函数 y=loga (x+3)-1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 1 2 mx+ny+1=0(m>0,n>0)上,则 + 的最小值等于 m n A.16 B.12 C.9 D.8

C A B

二、解答题(本大题共 3 道小题,满分 20 分.解答应写出文字说明、演算步骤 或证明过程) 31. (本小题满分 6 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ............

某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个,对其等级进行统计分析, 得到频率分布表如下: 等级 频率 一 0.05 二 0.35 三 m 四 0.35 五 0.10

(Ⅰ)求 m; (Ⅱ)从等级为三和五的所有零件中,任意抽 取 2 个,求抽取的 2 个零件等级恰好相同的概率.

32. (本小题满分 7 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ............ 已知圆心为(1,1)的圆 C 经过点 M (1,2). (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 x+y+m=0 与圆 C 交于 A、B 两点,且△ABC 是直角三角形,求实数 m 的值.

33. (本小题满分 7 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ............ 在数列{an}中,a1=1,an+1= an (n∈N*) . 2an+1 12 (log3 m-log2 m+1)恒成立,求实数 m 的 35

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)当 n≥2,n∈N*时,不等式 an+1+an+2+?+a2n> 取值范围.





一、选择题 ACBDD ACABD DBDAC AACBB BBDCB CCBCD 二、解答题 31.解: (Ⅰ)由频率分布表,得 0.05+0.35+m+0.35+0.10=1,即 m=0.15. ??2 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得等级为三的零件有 3 个,记作 x1,x2,x3;等级为五的零件有 2 个, 记作 y1,y2.从 x1,x2, x3,y1,y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为: (x1,x2),(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2), 共计 10 种. ??4 分 记事件 A 为“从零件 x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 件,其等级相等” ,则 A 包含的基本事件为(x1,x2), 4 (x1,x3),(x2,x3),(y1,y2)共 4 个,故所求概率为 P(A)= =0.4. 10 32.解: (Ⅰ)由已知,圆的半径 r=|CM|= (1-1)2+(2-1)2=1, 所以圆 C 的方程为(x-1)2+(y-1)2=1. (Ⅱ)由题意可知,|CA|=|CB|=1,且∠ACB=90?, |1+1+m | 2 2 ∴ 圆心 C 到直线 x+y+m=0 的距离为 ,即 2 2 = 2 , 2 1 +1 解得 m=-1 或 m=-3. 2an+1 1 1 1 1 33.解: (Ⅰ)由题意得 an>0,且 = = +2, - =2, an an an+1 an+1 an 1 1 所以数列{ }是以 为首项,2 为公差的等差数列, an a1 1 1 1 故 = +2(n-1)=2n-1,所以 an= . an a1 2n-1 (Ⅱ)令 f (n)=an+1+an+2+?+a2n,f (n+1)=an+2+an+3+?+a2n+a2n+1+a2n+2, 1 1 1 1 f (n +1)-f (n)=a2n+1+a2n+2-an+1= + - = >0, 4n+1 4n+3 2n+1 (4n+1)(4n+3)(2n+1) ∴函数 f (n)单调递增,当 n≥2 时,[f (n)]min=f (2)=a3+a4= 12 . 35 ??3 分 ??6 分

??3 分

??7 分

12 12 lg m lg m 故有 > (log3 m-log2 m+1),整理,得 log3 m<log2 m, < , 35 35 lg 3 lg 2 得 lg m(lg 3-lg 2)>0,即 lg m>0,解得 m>1, 故实数 m 的取值范围是(1,+∞). ??7 分


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