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解直角三角形提高练习题1(含答案)


解直角三角形练习题 1
一. 选择题:(每小题 2 分,共 20 分) 1. 在△EFG 中,∠G=90°,EG=6,EF=10,则 tanE=( ) 3 4 3 5 A. B. C. D. 4 3 5 3 2. 在△ABC 中,∠A=105°,∠B=45°,tanC 的值是( ) A.

1 2

B.

3 3

C. 1

D.

3

3. 在△ABC 中,若 cos A ? 2 , tan B ?
2

3 ,则这个三角形一定是( )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图 18,在△EFG 中,∠EFG=90°,FH⊥EG,下面等式中,错误的是( ) A. sin G ? EF
EG

B. sin G ? EH
EF

C. sin G ? GH

FG

D. sin G ? FH

FG

5. sin65°与 cos26°之间的关系为( ) A. sin65°<cos26° B. sin65°>cos26° C. sin65°=cos26° 6. 已知 30°<α <60°,下列各式正确的是( ) A. B. C. D. )

D. sin65°+cos26°=1

2 7. 在△ABC 中,∠C=90°, sin A ? ,则 sinB 的值是( 5 2 2 4 21 A. B. C. D. 3 5 5 5

8. 若平行四边形相邻两边的长分别为 10 和 15,它们的夹角为 60°,则平 行四边形的面积是( )米 2 A. 150 B. 75 3 C. 9 D. 7 9. 如图 19,铁路路基横断面为一个等腰梯形,若腰的坡度为 i= 2∶3,顶宽是 3 米,路基高是 4 米,则路基的下底宽是( ) A. 7 米 B. 9 米 C. 12 米 D. 15 米 10. 如图 20,两条宽度都为 1 的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为α , 则它们重叠部分(图中阻影部分)的面积为( ) A.

1 sin ?

B.

1 cos ?

C. sin ?

D. 1

二. 填空题:(每小题 2 分,共 10 分) 11. 已知 0°<α <90°,当α =__________时, sin ? ? Cota= 3 . 12. 若 ,则锐角α =__________。 13. 在 Rt △ ABC 中,∠ C=90 °, sin A ?

1 ,当α =__________时, 2

3 , a ? b ? c ? 36 ,则 a=__________ , b=__________ , 5

c=__________,cotA=__________。 14. 若一个等腰三角形的两边长分别为 2cm 和 6cm,则底边上的高为__________cm,底角的余弦值为 __________。 15. 酒店在装修时,在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯,已知这种地毯每平方米售价 30 元,主楼梯宽 2 米,其侧面如图 21 所示,则购买地毯至少需要__________元。 三. 解答题:(16、17 每小题 5 分,其余每小题 6 分共 70 分) 16. 计算(1 ? tan 60 ? ? sin 60 ? )(1 ? tan 30 ? ? cos 30 ? )

1

20. 已知在△ABC 中, AB ? 2 3 ,AC=2,BC 边上的高 AD ? 3 。 (1)求 BC 的长; (2)若有一个正方形的一边在 AB 上,另外两个顶点分别在 AC 和 BC 上,求正方形的面积。

21. 已知,△ABC 中,∠BAC=120°,AD 平分∠BAC,AB=5,AC=3,求 AD 的长。

23.已知 ?ABC 中,AD 为中线, ?BAD ? 60? , AB ? 10, BC ? 4 3 ,求 AC 的长。

24.在△ABC 中,∠A=1200,AB=12,AC=6。求 sinB+sinC 的值。

25. 四 边 形 ABCD 中 , BC⊥CD , ∠BCA = 60 , ∠CDA = 135 ,

0

0

BC ? 10, S?ABC ? 40 3 。求 AD 边的长。

26.湖面上有一塔高 15 米,在塔顶 A 测得一气球的仰角为 45 ,又测得气球在水中像的俯角为 60 ,求气 球高出水面的高度(精确到 0.1 米)。

?

?

27、由于过度采伐森林和破坏植被,使我国许多地区遭受沙尖暴侵袭。近日 A 市气象局测得沙尘暴中心在 A 市正西 300 公里的 B 处以 10 7 海里/时的速度向南偏东 60 的 BF 方向移动, 距沙尘暴中心 200 公里的范 围是受沙尘暴影响的区域。 (1)通过计算说明 A 市是否受到本次沙尘暴的影响?
2
?

(2)若 A 市受沙尘暴影响,求 A 市受沙尘暴影响的时间有多长?

试题答案 一. 选择题: 1. A 2. B 3. A 4. C 5. B 6. C 7. D 8. B 9. D 10. A 提示:10. 如图 24 所示,作 AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为 E、F,依题意,有 AE=AF=1,可证得∠ ABE=∠ADF=α 。

所以可证得△ABE≌△ADF,得 AB=AD, 则四边形 ABCD 是菱形。 在 Rt△ADF 中, 所以 二. 填空题: 11. 30°,30°;12. 60°;13. a=9,b=12,c=15,
3





14. 15. 504。 提示:13. 设 a=3t,c=5t,则 b=4t, 由 a+b+c=36,得 t=3。 所以 a=9,b=12,c=15。 。 14. 等腰三角形的腰只能是 6,底边为 2,腰不能为 2,否则不满足三角形两边之和大于第三边,作底边 上的高,利用勾股定理求高。 15. 利用平移线段,把楼梯的横竖向上向左平移,构成一个矩形,长宽分别为 5.8 米,2.6 米,则地毯的 长度为 2.6+5.8=8.4 米,地毯的面积为 8.4×2=16.8 平方米,则买地毯至少需要 16.8×30=504 元。 三. 解答题: 16. 17. ; ;

18. 19. 分析:根据条件可知 MN 是 AE 的垂直平分线,则 AN=NE。所以∠AEN 可以是 Rt△EGN 的一个锐 角,或是 Rt△GAN 的一个锐角,或是 Rt△EBA 的一个锐角。 解:∵ ∵DC+CE=10, ∴3a+2a=10,∴a=2。 ∴BE=2,AB=6,CE=4。





。 20. 根据条件显然有两种情况,如图 25。 (1)在图 25(1)中,可求 CD=1,∠CAD=30°,∠B=30°,∠C=60°,BC=4,所以△ABC 是直角 三角形。

在图 25(2)中,可求 CD=1,∠CAD=30°,∠B=30°,∠BAD=60°,BC=AC=2,△ABC 是等腰三 角形,AC 平分∠BAD。
4

( 2 ) 在 图 26 ( 1 ) 中 , 设 正 方 形 边 长 为 x , ∵ 。 在图 26(2)中,设正方形边长为 x。

,解得

解得

21. 解法一:过 B 作 CA 延长线的垂线, 交于 E 点, 过 D 作 DF⊥AC 于 F。 ∴DF∥BE ∴△FDC∽△EBC

∵AD 平分∠BAC

∵∠BAC=120° ∴∠EAB=180°-∠BAC=60° 在 Rt△ABE 中,

在 Rt△ADF 中,∵∠DAC=60°

解法二:如图 11,过 C 作 CE⊥AD 于 D,过 B 作 BF⊥AD 交 AD 的延长线于 F。 ∵AD 平分∠BAC,∠BAC=120° ∴∠BAD=∠CAD=60°。 在 Rt△AEC 中,

在 Rt△ABF 中,

5

∵CE∥BF ∴△BDF∽△CDE。

∵EF=1

分析:题目中有 120°角及它的角平分线,所以有两个 60°这个特殊角,要求 60°角的一条夹边 AD 的长,可以构造等边三角形,得到与 AD 相等的线段。 解法三:如图 12,过点 D 作 DE∥AB 交 AC 于 E。 则∠ADE=∠BAD=∠DAC=60° ∴△ADE 是等边三角形。 ∴AD=DE=AE 设 AD=x ∵△ABC∽△EDC

解法四:如图 13,过 B 作 AC 的平行线交 AD 的延长 ∵AD 平分∠BAC,∠BAC=120° ∴∠BAD=∠DAC=∠E=60°。 ∴△ADE 是等边三角形 ∴AE=AB=BE=5 ∵AC∥BE ∴△CAD∽△BED

线于 E。

小结:解三角形时,有些图形虽然不是直角三角形,但可以添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三 角形和矩形,从而可以运用解直角三角形的有关知识去解决这些图形中求边角的问题。另外,在考虑这些 组合图形时,要根据题目中的条件和要求来确定边与边,角与角是相加还是相减。
6

22.解:在△AED 中,∵DE⊥AB 于 E, 又∵DE∶AE=1∶5,∴设 DE=x,则 AE=5x。

在△ADC 中,∵∠C=90°,∠ADC=45°,∴∠DAC=45°,

在 Rt△BED 和 Rt△BCA 中,∵∠B 是公共角, ∠BED=∠BCA=90°,∴△BED∽△BCA。

∴AB=AE+BE=10+3=13。

23.解:

7

24 提示:过 C 点作 CE⊥BA 交 BA 的延长线于 E,过点 B 作 BD⊥CA 交 CA 的延长线于 D。

SinB+sinC=

21 21 3 21 ? ? 14 7 14

25. 提示:作 AF⊥AC 于 F,作 AE⊥CD 交 CD 的延长线于 E。可求 AC=16,AD=8 2 。

8


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