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【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:2.5 二次函数


§2.5

二次函数

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.二次函数的三种表示形式 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) (1)一般式:______________________________. (2)顶点式:若二次函数的顶点坐标为(k,h),则其解析式为 a(x-k)2+h(a≠0) f(x)=_______________________.

(3)两根式:若二次函数图象与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0), a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 则其解析式为f(x)=______________________.

目录

2.二次函数的图象和性质
解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)

图象

定义域 值域

单调性

奇偶性 对称性 a、b、c 的作用

_____ R 4ac-b2 4ac-b2 (-∞, ] [ ,+∞) _______________ 4a 4a b 在 x∈?-∞,- ?上 ? 2a ? b 在 x∈?-∞,- ?上单调递减 ? 2a ? 单调递增 b b 在 x∈?- ,+∞ ?上单调递增 在 x∈?- ,+∞ ?上 ? 2a ? ? 2a ? 单调递减 b=0 时为偶函数,b≠0 时为非奇非偶函数 b x=- 2a 图象关于直线_______________成轴对称图形 a 决定图象开口方向,a 与 b 共同决定对称轴位置,c 决定图 象与 y 轴的交点位置,a、b、c 共同决定图象的顶点

R

目录

思考探究 1.函数f(x)=ax2+bx+c是二次函数吗?

提示:不一定.可表示二次函数(a≠0),可表示一次函数(a=
0,b≠0),可表示常数函数(a=0且b=0).

2.抛物线y=ax2与y=ax2+bx+c有什么关系?
提示:y=ax2+bx+c可以由y=ax2平移得到,两个抛物线的 形状相同,位置不同(b≠0,c≠0).
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课前热身
1.若函数f(x)=ax2+bx+c满足f(4)=f(1),那么( A.f(2)>f(3) B.f(3)>f(2) C.f(3)=f(2) D.f(3)与f(2)的大小关系不能确定 答案:C
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)

2.二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x)且f(x)=0有两个实根 x1、x2,则x1+x2等于( )

A.0
C.6

B.3
D.不能确定

答案:C

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3.函数 y=2x2-6x+3,x∈[-1,1],则 y 的最小值是( 3 A.- 2 C.-1 B.3 D.不存在

)

答案:C

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4.(2011· 高考陕西卷)设 n∈N+,一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根的充要条件是 n=________.
解析:∵x2-4x+n=0 有整数根, 4± 16-4n ∴x= =2± 4-n, 2 ∴4-n 为某个整数的平方且 4-n≥0,∴n=3 或 n=4. 当 n=3 时,x2-4x+3=0,得 x=1 或 x=3; 当 n=4 时,x2-4x+4=0,得 x=2.∴n=3 或 n=4.

答案:3或4

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5.抛物线y=8x2-(m-1)x+m-7的顶点在x轴上, 则m=__________. 答案:9或25

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考点探究讲练互动
考点突破
考点1 求二次函数解析式
一般用待定系数法,巧妙设出解析式的形式,求解过程中,

充分结合题目中所暗示的二次函数的性质,如开口方向、顶
点坐标、对称轴、特征点等.

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例1

已知函数f(x)=x2+2ax+b的图象过点(1,3),

且f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数x都成立,函数y=g(x)与
y=f(x)的图象关于原点对称.求f(x)与g(x)的解析式.

【思路分析】
点求g(x).

通过对称轴及待定系数求a和b,通过设对称

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【解】

由题意知:a=1,b=0,∴f(x)=x2+2x.

设函数y=f(x)图象上的任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为 P(x,y),则x0=-x,y0=-y,

∵点Q(x0,y0)在y=f(x)的图象上,
∴-y=x2-2x,∴y=-x2+2x,∴g(x)=-x2+2x. 【领悟归纳】 f(x)与g(x)关于原点对称,g(x)也可以用奇函数

的性质求解,即g(x)=-f(-x).

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考点2

二次函数的图象与性质

二次函数根据图象研究性质,注意开口方向,对称轴位置, 对于闭区间上的最值要注意轴与区间的关系. 例2 若 f(x)=1-2a-2acos x-2sin2x 的最小值为 g(a).
(1)求 g(a)的表达式; 1 (2)求能使 g(a)= 的 a 值, 并求出当 a 取此值时, f(x)的最大值. 2

【思路分析】

sin2x→cos2x→t=cos x→配方→讨论求g(a).

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【解】 (1)f(x)=1-2a-2acos x-2(1-cos2x) =2cos2x-2acos x-1-2a.令 t=cos x∈[-1,1], a2 a2 ∴g(t)=2t2-2at-1-2a=2(t- ) -1-2a- . 2 2 a 当 ≤-1,即 a≤-2 时,g(t)在 t∈[-1,1]上为增函数, 2 a2 a2 g(t)min=g(-1)=2+ +2a-1-2a- =1. 2 2 a a a2 当-1< ≤1 时,即-2<a≤2 时,g(t)min=g( )=-1-2a- . 2 2 2 a 当 >1 即 a>2 时,g(t)min=g(1)=1-4a. 2

?1 ? a2 ∴g(a)=?-1-2a- 2 ?1-4a ?a>2? ?

?a≤-2? ?-2<a≤2?

.

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1 (2)由上式可知:a≤-2 时,g(a)=1≠ ; 2 1 a>2 时,g(a)=1-4a<-7≠ ; 2 a2 1 ∴-2<a≤2 时,-1-2a- = , 2 2 即 a2+4a+3=0,(a+3)(a+1)=0,∴a=-1,a=-3(舍) 12 1 ∴g(t)=2(t+ ) + ,当 t=1 时,f(x)max=g(1)=5. 2 2

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【思维总结】

(1)二次函数的对称轴是变动的,而区间是固

定的,要求其最值,需要讨论对称轴在区间端点之间、端点
之外时的各种情况才能确定. (2)如果需通过换元将问题转化为二次函数问题,需注意变量 的取值范围.

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考点3 有关二次函数的综合应用
二次函数常和二次方程、二次不等式及导数、直线综合在一 起,解题的关键是转化.

例3

设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),曲线y=f(x)通过点

(0,2a+3),且在点(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴. (1)用a分别表示b和c;

(2)当bc取最小值时,求f(x)的解析式;
(3)在(2)的条件下,f(x)=0的两根为x1和x2,设g(x)=f(x)+c, g(x)=0的两根为x3,x4, 求证:|x3-x4|>|x2-x1|.

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【思路分析】

(1)由f(x)→f′(x)→f′(-1)=0→b和c.

(2)bc取最小值→a→f(x). (3)利用图象与x轴的交点关系证明.

【解】

(1)因为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

所以f′(x)=2ax+b. 又因为曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),

故f(0)=2a+3,而f(0)=c,
从而c=2a+3. 又曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴,

故f′(-1)=0,即-2a+b=0,因此b=2a.

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32 9 (2)由(1)得 bc=2a(2a+3)=4(a+ ) - , 4 4 3 9 故当 a=- 时,bc 取得最小值- . 4 4 3 3 3 2 3 3 此时有 b=- ,c= .从而 f(x)=- x - x+ . 2 2 4 2 2 3 (3)证明:∵c= >0, 2 3 3 ∴g(x)=f(x)+ 看作由 y=f(x)的图象向上平移 个单位, 由图象 2 2 可知,g(x)=0 的两根在 f(x)=0 两根之外, ∴|x3-x4|>|x2-x1|.

【领悟归纳】

抛物线的切线问题仍是求导数,(3)中的绝对

值不等式证明采用了数形结合法,要理解x1,x2,x3,x4的关

系及意义.
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跟踪训练
在(2)的条件下,如果f(x)在点(x0,f(x0))时的函数值大于该点 处的切线的斜率,求x0的范围.
3 2 3 3 3 3 解:∵f(x)=- x - x+ ,f′(x)=- x- , 4 2 2 2 2 由题意可得 f(x0)>f′(x0), 3 2 3 3 3 3 ∴- x0- x0+ >- x0- , 4 2 2 2 2 ∴x2<4,∴-2<x0<2,∴x0 的取值范围为(-2,2). 0

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方法感悟
方法技巧
1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二 次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路. 2.二次函数的最值的三种形式 (1)轴定区间定,(2)轴定区间动,(3)轴动区间定.一般来说, 讨论二次函数在区间上的最值,主要看区间是落在二次函数的 哪一个单调区间上,从而用相应的单调性来求最值. 3.关于二次函数 y=f(x)对称轴的判断方法. (1)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(x1)=f(x2), x1+x2 那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x= . 2

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(2)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(a+x)=f(a- x)成立,那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=a(a 为常数). (3)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(x+2a)=f(x), 那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=a(a 为常数). 注意: (2)(3) 中,f(a+x)=f(a-x)与 f(x+2a)=f(x)是等价的. (4)利用配方法求二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴方程为 b x=- . 2a (5)利用方程根法求对称轴方程.若二次函数 y=f(x)对应方程为 f(x)=0 两根为 x1、x2,那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x1+x2 x= . 2

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失误防范
1.对于函数 y=ax2+bx+c 要认为它是二次函数,就必须认定 a≠0,当题目条件中未说明 a≠0 时,就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况. 2.对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)给定了定义域为一个区 4ac-b2 间[k1,k2]时,利用配方法求函数的最值 是极其危险的, 4a 一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况,有时要讨 论下列四种情况:

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k1+k2 b b k1+k2 b b ①- <k1; 1≤- < ②k ; ③ ≤- <k2; ④- ≥k2. 2 2 2a 2a 2a 2a 对于这种情况,也可以利用导数法求函数在闭区间的最值方法 求最值.这两种方法运算量相当. 3.通过换元转化为二次函数时,要注意新元的范围.

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考向瞭望把脉高考
命题预测
纵观近几年来高考数学试题,涉及二次函数及其应用的题型 连年出现,归纳起来,主要有两种类型:一种是直接考查二次函 数知识的试题;另一种是运用构造二次函数求解的试题.尤 其是其它基本初等函数经过求导等方法转化后经常出现二次 函数、二次方程、二次不等式三者综合运用的题目. 在2012年的高考中,江苏卷结合二次函数考查了参数值的求法. 预测2014年的高考函数解答题仍是求导后转化为三个“二次” 问题,客观题中以考查二次函数性质为主.
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规范解答



(本题满分12分)设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.

(1)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,求实数a的值; (2)是否存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数? 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

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【解】 f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a.(2 分) (1)∵x1,x2 是 f(x)的两个极值点,∴f′(x1)=f′(x2)=0. 即 x1,x2 是 f′(x)=0 的两根.(4 分) 2a ∴x1x2= =1,∴a=9.(6 分) 18 (2)对 f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a,开口向上的抛物线. Δ=36(a+2)2-4×18×2a=36(a2+4)>0, ∴f′(x)=0 有两相异实根. ∴f′(x)有正有负.(10 分) ∴f′(x)在(-∞,+∞)上不单调,故不存在实数 a,使得 f(x) 在(-∞,+∞)上为单调函数.(12 分)

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【名师点评】

本题求导只是一个转化方法,其余是有关二

次函数问题,难度不大.关键是转化,(1)转化为根与系数的

关系.(2)转化为判断式.尤其(2),用研究探索的过程回答问
题,改变了以往已知、求解的死板题目,有利于培养学生解 决问题的灵活性.

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知能演练轻松闯关

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