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复变函数试题及答案


西安交通大学考试题
课 程
系 别

成绩

复变函数

(A) 考 试 日 期 2007 年 7 月 5 日

专业班号 姓 名 学 号 期中 期末

一. 填空(每题 3 分,共 30 分) 1. 3 i = 2. z0 =0 是函数 f ( z ) ?
cos z ? 1 的 z5 (说出类型,如果是极点,则要说明阶数)

3. f ( z) ? x 3 ? 3x 2 yi ? 3xy 2 ? y 3i ,则 f ?( z ) = 4. Re s[ 1
z sin z , 0] ?

5. 函数 w ? sin z 在 z ?
?

?
4

处的转动角为

6. 幂级数 ? (cosin) z n 的收敛半径为 R =____________
n ?0

7.

?

1

0

z sin zdz ?
1

8.设 C 为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线,则 ?
C

ez dz ? z2

9.函数 f ? z ? ? 10.

?
| z| ?

3 2

z 在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ z ?1 dz ? 2 ( z ? 1)(z 2 ? 4)
4

二.判断题(每题 3 分,共 30 分)
1. f ( z) ? zz n 在 z ? 0 解析。 【 】 】

2. f (z ) 在 z 0 点可微,则 f (z ) 在 z 0 解析。 【 3. f ( z) ? e z 是周期函数。 【 】

4. 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。 【
? ? ?

】 】

5. 设级数

【 ? c n 收敛,而 ?| cn | 发散,则 ? cn z n 的收敛半径为 1。
n ?0 n ?0 n ?0

6. tan( ) 能在圆环域 0 ?| z |? R(0 ? R ? ??) 展开成洛朗级数。 【 7. n 为大于 1 的正整数, Lnz ? nLnz 成立。 【
n

1 z



】 】

8.如果函数 ? ? f (z ) 在 z 0 解析,那末映射 ? ? f (z ) 在 z 0 具有保角性。 【 9.如果 u 是 D 内的调和函数,则 f ?

?u ?u ?i 是 D 内的解析函数。 【 ?x ?y



10.

3 | z| ? 2

?

1 dz ? 2 z ( z ? 1)
px

3 | z| ? 2

?

1 z 2 dz ? 2? i 1 | ? 2? i 。 【 z ?1 z ?1 z2



三. 分) v ? e (8

sin y 为调和函数,求 p 的值,并求出解析函数 f ( z) ? u ? iv 。
z 在圆环域 1 ? z ? 2 和 1 ? z ? 2 ? ?? 内的洛朗展开式。 ( z ? 1)(z ? 2)
??

四. 分) 求 f ?z ? ? (8

五. 分)计算积分 (8

?

??

2 cos x dx 。 x ? 4x ? 5
2

六. 分)设 f ( z ) ? (8

?
C

3? 2 ? 7? ? 1 d? ,其中 C 为圆周 | z |? 3 的正向,求 f ?(1 ? i) 。 ? ?z

七. 分)求将带形区域 {z | 0 ? Im(z ) ? a} 映射成单位圆的共形映射。 (8

复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)
一.填空(各 3 分)

1. e

?2 k? ?i ln 3

; 2. 三级极点 ;3. 3z

2

;4. 0 ;5. 0 ;6.

1 e

;7.

6s 2 ? 2 ;8. 0; ( s 2 ? 1) 3

9. 0 ;10.

1 1 1 [ ? ? ?? (? ? 2) ? ?? (? ? 2)] 。 2 j (? ? 2) j (? ? 2)

二.判断 1.错;2.错;3.正确; 4. 错 ;5.正确 ;6.错; 7.错 ;8. 错 ;9. 正确 ;10. 错 。 三(8 分) 解: 1)在 1 ?| z |? 2

f ( z) ? z(

? 1 1 1 ? z 1 ? 1 z n?1 1 ? ) ? z (? ? ( ) n ? ? ( ) n ) ? ?? ( n?1 ? n ) -----4 分 z ? 2 z ?1 2 n ?0 2 z n ?0 z z n ?0 2 2) 在 1 ?| z ? 2 |? ? ? 1 1 1 1 1 1 f ( z) ? (1 ? )? (1 ? ) ? ? ? ( ?1) n --4 分 1 z?2 z ? 2 ?1 z ? 2 z ? 2 n ?0 ( z ? 2) n ? 2 ( z ? 2)(1 ? ) z?2

四.(8 分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有 一个一级极点 -2+i, 故

eix eiz dx ? 2?i Re s[ 2 ,?2 ? i] --------3 分 ??? x 2 ? 4 x ? 5 z ? 4z ? 5 eiz ? ? 2?i lim ( z ? (?2 ? i)) 2 ? (cos2 ? i sin 2) --------6 分 z ??2?i z ? 4z ? 5 e ix ?? ?? 2 cos x e 2? dx ? 2 Re ? 2 dx ? cos 2 故 ? ---------8 分 2 ?? x ? 4 x ? 5 ?? x ? 4 x ? 5 e 3? 2 ? 7? ? 1 五.(8 分) 解: f ?( z ) ? ? -------3 分 ? (? ? z)2 d? C 由于 1+i 在 | z |? 3 所围的圆域内, 故
??

f ?(1 ? i) ? ?

3? 2 ? 7? ? 1 d? ? 2?i(3? 2 ? 7? ? 1)? |? ?1?i ? 2? (?6 ? 13i) 2 (? ? (1 ? i)) C
ea ? ?
? ?
z

-------8 分

六. (8 分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到

f ( z) ? e

i?

(映射不唯一,写出任何一个都算对)

e

a

z

??
s 2`Y ( s) ? sy (0) ? y?(0) ? ( sY ( s) ? y (0)) ? 3Y ( s) ? 3 s ?1

七.(8 分) 解:对方程两端做拉氏变换:

3 ?1 代入初始条件,得 Y ( s) ? 2s ? 1 s ? 2s ? 3 ?

--------4 分

5 1 3 3 1 ? ? ? 4 ? 8 ? 8 ( s ? 1)(s ? 3)(s ? 1) ( s ? 3)(s ? 1) s ? 1 s ? 1 s ? 3 3 ?t 5 t 1 ?3t 故, y (t ) ? ? e ? e ? e ---------8 分(用留数做也可以) 4 8 8

1. OLSE 估计量的性质线性、无偏、最小方差。 4. 在一元线性回归中,SST 自由度为 n-1, SSE 自由度为 n-2, SSR 自由度为 1。

SSR SSE ? 1? SST 。 5. 在多元线性回归中,样本决定系数 R ? SST
2

1. 证明:

?2 ?

^

1 SSE 2 是误差项方差 ? 的无偏估计。 n ? p ?1

E (? 2 ) ? E (
证明:

^

n n 1 1 2 2 ? ei ) ? n ? p ? 1 ? E (ei ) n ? p ? 1 i ?1 i ?1

?

n n 1 1 ? ( D(ei ) ? E 2 (ei )) ? n ? p ? 1 ? D(ei ) n ? p ? 1 i ?1 i ?1

? D(ei ) ? (1 ? hii )? 2 (i ? 1,2,? , n) E (? 2 ) ? ? ?
^ n 1 ? (1 ? hii )? 2 n ? p ? 1 i ?1

?2
n ? p ?1

(n ? ? hii )
i ?1

n

?

2

n ? p ?1

(n ? p ? 1)

?? 2

2. 证明

?e
i ?1

n

i

? 0, ? xi ei ? 0
i ?1

n

? xi ei ? ? xi ( yi ? ? 0 ? ?1 xi )
i ?1 i ?1

n

n

^

^

? ? xi yi ? ? 0 ? xi ? ?1 ? xi2
i ?1 n i ?1 i ?1

n

^

n

^

n

? ? xi yi ? ( y ? ?1 x)n x ? ?1 ? xi2
i ?1 n i ?1

?

^ ?

?

^

n

?e ? ?(y
i ?1 i i ?1 n ^ i ?1 n

n

n

i

? yi )
^

^

? ? xi yi ? n x y ? n x ?1 ? ?1 ? xi2
i ?1 n i ?1

? ?

?2 ^

^

n

? ? ( yi ? ? 0 ? ?1 xi ) ? ? yi ? n ? 0 ? ?1 ? xi
i ?1 i ?1 ^ ^ n

? ? ( xi ? x)( yi ? y ) ? ?1 ? ( xi ? x) 2
i ?1 i ?1

?

?

^

n

?

? Lxy ?
?

Lxy Lxx

Lxx

? n y ? n( y ? ?1 x) ? ?1 n x ?0
2. 5. H 是帽子矩阵,则 tr(H)=p+1

?

?

^ ?

^

?0

。 Cov(e) ? ? 2 ( I ? H ) (e 为多元回归的残差阵)

引起异常值消除的方法(至少 5 个)? 答案:异常值消除方法: (1)重新核实数据;重新测量数据;删除或重新观测异常值数据;增加必要的自变量;增加观 测数据,适当扩大自变量取值范围; (2)采用加权线性回归;改用非线性回归模型; 叙述一元回归模型的建模过程? 答案:第一步:提出因变量与自变量;第二步:收集数据; 第三步:画散点图; 第四步:设定理论模型; 第五步:用软件计算,输出计算结果; 六步:回归诊断,分析输出结果。 E( ? )=E(( X
^



T

X ) ?1 X T y )
T

=( X

T

X ) ?1 X T E(y)

=( X

T

X ) ?1 X T E(X ? + ? )

=( X
^ ^

X ) ?1 X T X ?
=cov(( X
T

=?

D( ? )=cov( ? , ? ) =( X
2

^

X ) ?1 X T y ,( X T X ) ?1 X T y )

T

X ) ?1 X T cov(y,y)(( X T X ) ?1 X T ) T =( X T X ) ?1 X T ? 2 X( X T X ) ?1
T

=? ( X

X ) ?1 X T X ( X T X ) ?1 = ? 2 ( X T X ) ?1


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