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新课标人教A版高中数学常用结论与方法 -五、数列

新课标高中数学经典结论与解题方法—理科 编辑: 高中数学组 五、数列 47.等差数列及其性质: (1). 定义的表达式 an+1-an=d (n ? N*,d为常数) . (2).等差中项:数列 a,A,b 成等差数列的充要条件是 A= (3).通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d . (4).前 n 项和公式: S n ? a?b ,其中 A 叫作 a, b 的等差中项. 2 n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 (5).若 m +n=p+q则am+an=ap+aq (6).若 ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ?an ? bn ? 为等差数列。 (7).数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m, ?也是等差数列. (8). ap ? q, aq ? p, 则ap?q ? 0 . (9).若 a1 ? 0? a1 ? 0? ? ? Sn 有最大值, ? ? Sn 有最小值. d ? 0? d ? 0? S2 n?1 n(a1 ? a2 n ?1 ) / 2 an ? ? T2 n?1 n(b1 ? b2 n ?1 ) / 2 bn (10).等差数列 an , bn 的前 n 项和分别是 Sn 和 Tn (11).等差数列的判断方法:①定义法: an+1-an=d ② 等差中项法: 2an+1=an+an+2 (n ? N* ). ③通项公式: an=pn+q( p,q为常数). ④ 前 n 项和公式: Sn=An2+Bn. 48.等比数列及其性质: (1).定义的表达式: an ?1 =q. (q 不为零). an 2 (2).等比中项: G 是 a 与 b 的等比中项 ? a,G,b 成等比数列 ? G =ab. (3).通项公式: an=a1qn-1. ? na1 (4).前 n 项和公式: S ? ? ? a1 (1 ? q n ) n ? 1? q ? (q ? 1) (q ? 1) (5).若 m+n=p +q 则 aman =ap aq . -1- 新课标高中数学经典结论与解题方法—理科 编辑: 高中数学组 (6).数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m, ?也是等比数列. (7)若 ?an ? 、 ?bn ? 为等比数列,则 ?an ? bn ? 为等比数列. (8). {log a bn } 首项为 log a b1 公差为 log a q 的等差数列. (9).等比数列判定方法: ①定义 an ?1 =q. (q 不为零).②通项公式: an=a1qn-1.③等比中项法: an2=an?1· an?1 an 49.常见数列的通项: ① 1, 2,3, 4,5?????an ? n ② 1,3,5,7,9???????an ? 2n ?1 ③ 2, 4,6,8,10???????an ? 2n ④ 1, ?1,1, ?1,? ????an ? (?1)n?1 ⑤ 9,99,999,999,??????????an ? (10)n ?1 50.求通项 an 常见的几种方法: (1).累加法: an+1 ? an ? f (n) ? an ? a1 ? f (1) ? f (2)? f (n) . (2).累乘法: an+1 =f (n) ? an ? a1 ? f (1) ? f (2) ??? f (n) . an (3).化等比: an+1=Aan+B ? an ?1 ? k ? A(an ? k ) ? 数列 {an ? k} 首项 a1 ? k 公比 A 的等比数列. (4).化等等差:① an+1=Aan+B ? An?1 ? ② an ? an?1 ? an ? an?1 ? an+1 an a a ? n ? B ? 数列 { n } 首项 1 公差 B 的等差数列. n ?1 A A A A ?1? 1 1 1 ? ? 1 ? 数列 ? ? 首项 公差为1 的等差数列. an ?1 an a1 ? an ? (5). s n 与 an 的关系: an ? ? 51.数列求和: ? s1????????? , n ? 1 ? sn ? sn ?1, n ? 2 (1).分组求和法:通项由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成. 形如 an ? 2n ? 2n . (2).并项求和法:一个数列的前 n 项和,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an=- ( 1) f ? n? . n (3).错位相减法:通项为等差与等比乘积的形式. 形如 an ? (2n ?1) ? 2 n 类型. (4).裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,常见的裂项 -2- 新课标高中数学经典结论与解题方法—理科 编辑: 高中数学组 ① an ? 1 1 1 n ? ? ? Sn ? n ?1 n(n ? 1) n n ? 1 ② an ? ③ an ? 3n2 ? 5n 1 1 1 1 ? ( ? ) ? Sn ? n(n ? 2) 2 n n ? 2 4(n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 1 n ? ( ? ) ? Sn ? 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 n ? n ?1 n ④ an ? ? n ? 1 ? n ? Sn ? n ? 1 ?1 ⑤ an ? (?1) 4n 1 1 ? (?1)n ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 52.一些常见数列的前 n 项和公式 (1) 1+2+3+4+?+n= n(n ? 1) n(n ? 1) .(2) 1+2+3+4+…+n—1= . 2 2 2 2 (3) 1+3+5+7+?+2n ? 1=n .(4) 2+4+6+8+?+2n=n +n . 53. 求通项与求前 n 和典例二十: (1)求通项: ① an+1