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直线与圆圆与圆的位置关系答案


直线与圆、圆与圆的位置关系答案
一、选择题 1.(2012·福建)直线 x+ 3y-2=0 与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度等于 ( A.2 5 B.2 3 C. 3 D.1 ).
2 2

解析 由题意作出图象如图,由图可知圆心 O 到直线 AB 的 距离 d= 答案 B 2.(2012·安徽)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a) +y =2 有公 共点,则实数 a 的取值范围是 ( A.[-3,-1] C.[-3,1] ). B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
2 2

|-2| 1+3

=1,故|AB|=2|BC|=2 2 -1 =2 3.

2

2

解析 由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为 2, ∴ |a-0+1| 1 +?-1?
2 2

≤ 2,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.

答案 C 3.(2013·潍坊模拟)若圆 x +y =r (r>0)上仅有 4 个点到直线 x-y-2=0 的距离为 1,则 实数 r 的取值范围是 A.( 2+1,+∞) C.(0, 2-1) 解析 计算得圆心到直线 l 的距离为 B.( 2-1, 2+1) D.(0, 2+1) 2 2 = 2>1, ( ).
2 2 2

得到右边草图.直线 l:x-y-2=0 与圆相交,

l1,l2 与 l 平行,且与直线 l 的距离为 1,故可以
看出,圆的半径应该大于圆心到直线 l2 的距离 2 +1,故选 A. 答案 A 4.(2013·银川一模)若圆 C1:x +y +2ax+a -4=0(a∈R)与圆 C2:x +y -2by-1+b = 0(b∈R)恰有三条切线,则 a+b 的最大值为 A.-3 2 B.-3 C.3 ( ). D.3 2
2 2 2 2 2 2

解析 易知圆 C1 的圆心为 C1(-a,0),半径为 r1=2;

圆 C2 的圆心为 C2(0,b),半径为 r2=1. ∵两圆恰有三条切线,∴两圆外切, ∴|C1C2|=r1+r2,即 a +b =9.∵?
2 2

?a+b?2≤a +b , ? 2 ? 2 ?
时取“=”),

2

2

∴a+b≤3 2(当且仅当 a=b= ∴a+b 的最大值为 3 2. 答案 D 二、填空题

3 2

5.(2012·北京)直线 y=x 被圆 x +(y-2) =4 截得的弦长为________. 解析 由题意得,圆 x +(y-2) =4 的圆心为(0,2),半径为 2,圆心到直线 x-y=0 的 距离 d= 2 2 = 2.
2 2

2

2

设截得的弦长为 l,则由? ? +( 2) =2 ,得 l=2 2. ?2?
2 2

?l?2

答案 2 2 6.(2011·江苏)设集合 A=(x,y)? ≤ ?2

?m

(x-2) +y ≤m ,x,y∈R,B={(x,y)|2m≤x

2

2

2

+y≤2m+1,x,y∈R},若 A∩B=?,则实数 m 的取值范围是________. 解析 ∵A∩B≠?,∴A≠?,

m 1 2 ∴m ≥ .∴m≥ 或 m≤0.显然 B≠?. 2 2
要使 A∩B≠?,只需圆(x-2) +y =m (m≠0)与 x+y=2m 或 x+y=2m+1 有交点,即 |2-2m| |1-2m| 2- 2 ≤|m|或 ≤|m|,∴ ≤m≤2+ 2. 2 2 2 1 1 又∵m≥ 或 m≤0,∴ ≤m≤2+ 2. 2 2 当 m=0 时,(2,0)不在 0≤x+y≤1 内.
2 2 2

?1 ? 综上所述,满足条件的 m 的取值范围为? ,2+ 2?. ?2 ? ?1 ? 答案 ? ,2+ 2? ?2 ?
三、解答题 7.(12 分)已知:圆 C:x +y -8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 2时,求直线 l 的方程.
2 2

解 将圆 C 的方程 x +y -8y+12=0 化成标准方程为 x +(y-4) =4, 则此圆的圆心为 (0,4),半径为 2. |4+2a| 3 (1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 =2,解得 a=- . 2 4 a +1 (2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,

2

2

2

2

? ? 得?|CD| +|DA| =|AC| =2 , 1 ? ?|DA|=2|AB|= 2.
|4+2a| |CD|= 2 , a +1
2 2 2 2

解得 a=-7 或 a=-1. 故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 8.(13 分)已知圆 C 经过 P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3,半 径小于 5. (1)求直线 PQ 与圆 C 的方程; (2)若直线 l∥PQ,且 l 与圆 C 交于点 A,B 且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点,求直 线 l 的方程. 解 (1)直线 PQ 的方程为:x+y-2=0, 设圆心 C(a,b)半径为 r, 1 3 由于线段 PQ 的垂直平分线的方程是 y- =x- , 2 2 即 y=x-1,所以 b=a-1. 又由在 y 轴上截得的线段长为 4 3,知 r =12+a , 可得(a+1) +(b-3) =12+a , 由①②得:a=1,b=0 或 a=5,b=4. 当 a=1,b=0 时,r =13 满足题意, 当 a=5,b=4 时,r =37 不满足题意, 故圆 C 的方程为(x-1) +y =13. (2)设直线 l 的方程为 y=-x+m,A(x1,m-x1),B(x2,m-x2), → → 由题意可知 OA⊥OB,即OA·OB=0, ∴x1x2+(m-x1)(m-x2)=0, 化简得 2x1x2-m(x1+x2)+m =0.
? ?y=-x+m, 由? 2 2 ??x-1? +y =13 ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2






2

得 2x -2(m+1)x+m -12=0,

2

∴x1+x2=m+1,x1x2=
2

m2-12
2

.
2

代入③式,得 m -m·(1+m)+m -12=0, ∴m=4 或 m=-3,经检验都满足判别式 Δ >0, ∴y=-x+4 或 y=-x-3.


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