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2015年重点高中高一自主招生(数学科模拟考试5)


2015 年重点高中高一自主招生(数学科模拟考试 5) (时间:90 分钟 满分:100 分[] 班 号 姓名 成绩 一.填空题(每小题 3 分,共 24 分) 2 1.在实数范围内分解因式:x -2x-4= . 2.按照一定顺序排列的数列,一般用 a1,a2,a3,…,an 表示一个数列,可简记为{an},现有一数列{an}满足关 系式: an?1 ? an2 ? nan ?1 (n=1,2,3,…,n),且 a1=2,试猜想 an= 式表示). 3.若关于 x 的分式方程
x 3a ? ? 2 有非负数解,则 x ? 1 2x ? 2

(用含 n 的代数

a 的取值范围是

.

4.请你将一根细长的绳子,沿中间对折,再沿对折后的绳子中间再对折,这样连续对折 5 次,最后用剪刀沿对折 5 次后的绳子的中间将绳子剪断,此时绳子将被剪成 段. 2 2 5.抛物线 y=ax +2ax+a +2 的一部分如图所示,那么该抛物线在 y 轴右侧与 x 轴交点 的坐标是 . 6.如图,在△ABC 中 AB=AC= 5 ,BC=2,在 BC 上有 50 个不同的点 P1,P2,…,P50,过这 50 个点分别作△ABC 的内接矩形 P1E1F1G1,P2E2F2G2,……,P50E50F50G50,每个内接矩形 的周长分别为 L1,L2,…,L50,则 L1+L2+…+L50= 。 7.如图在梯形 ABCD 中,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,如果直线 AB 上的点 P 使得 以 P、A、D 为顶点的三角形与以 P、B、C 为顶点的三角形相似,那么这样的点 P 有 个。 8.直角坐标系中直线 AB 交 x 轴,y 轴于点 A(4,0)与 B(0,-3) ,现有一半径为 1 的动圆 的圆心位于原点处,以每秒 1 个单位的速度向右作平移运动,则经过 秒后动圆与直线 AB 相切。 二、单项选择题(每小题 4 分,共 16 分) 9.已知 a , b 为实数,且 ab ? 1 ,设 M A. M ? N B. M ? N
?

1 1 ,则 M , N 的大小关系是( a b , N? ? ? a ?1 b ?1 a ?1 b ?1



C. M ? N

D.无法确定记 ( ) D.一个整数的立方

10.若 x ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 22 ??1 ? 24 ??1 ? 28 ? ??? ?1 ? 2256 ?,则x ? 1是 A.一个奇数 B.一个质数 C.一个整数的平方

11.已知 a、b、c 为正实数,且满足

b+c a+b a+c = = =k ,则一次函数 y=kx+(1+k)的图象一定经过( ) a c b

A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 12.若一直角三角形的斜边长为 c ,内切圆半径是 r ,则内切圆的面积与三角形面积之比是( ) ?r ?r A. B. ?r C. ?r D. 2 c ? 2r c?r 2c ? r c ? r2 三、解答题(共 60 分) a?2 a ? 1 ? a ? 4 ,其中 a 满足 a 2 ? 2a ? 1 ? 0 . 13. (7 分)先化简再求值 ? ? 2 ? 2 ?? ? a ? 2a a ? 4 a ? 4 ? a ? 2

14.(7 分)已知:关于 x 的方程 x 2 ? 2 x ? k ? 0 有两个不相等的实数根. (1)则 k 的取值范围是 . (2)若 ? 、 ? 是这个方程的两个实数根,判定 ? ? ? 的值是否为定值,并说明理由.
1?? 1? ?

15. (7 分)甲、乙两名职工接受相同的量的生产任务,开始时,乙比甲每天少做 4 件,乙比甲多用 2 天时 间,这样甲、乙两人各剩下 624 件,随后,乙改造了技术,每天比原来多做了 6 件,而甲每天的工作量不 变,结果两人完成全部生产任务的时间相同,求原来甲、乙两人每天各做多少件?每人的全部生产任务是 多少?

16.(7 分)如图,在 5×5 的正方形网格中,每个小正方形的边长都为 1,请在所给网格中按下列要求画出图 形。 (1)从点 A 出发的一条线段 AB,使它的另一个端点落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为 2 2 ; (2)以(1)中的 AB 为边的一个等腰三角形 ABC,使点 C 在格点上,且另两边的长都是无理数; (3)以(1)中的 AB 为边的两个凸多边形,使它们都是中心对称图形且不全等,其顶点都在格点上,各边长 都是无理数。

17. (7 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,点 N 是 CD 的中点, M 是 AD 边上不同于点 A 、 D 的点, 若 sin ?ABM ? 10 ,求证: ?NMB ? ?MBC .
10

A

M

D

N
B C

18.(12 分)如图,AB 是⊙O 的直径,过点 B 作⊙O 的切线 BM ,点 P 在右半圆上移动 点 P 与点 A、B 不重合) ,过点 P 作 PC⊥AB,垂足为 C;点 Q 在射线 BM 上移动(点 M 在点 B 的右边) ,且在移 动过程中保持 OQ∥AP. (1)若 PC、QO 的延长线相交于点 E,判断是否存在点 P,使得点 E 恰好在⊙O 上? 若存在,求出 ?APC 的大小;若不存在,请说明理由; (2)连结 AQ 交 PC 于点 F,设 k ? PF ,试问:k 的值是否随点 P 的移动而变化?
PC

证明你的结论.

19. (13 分) 已知抛物线 y=-x +bx+c 与 x 轴的两个交点分别为 A(x 1 ,0)、 B(x 2 ,0)(A 在 B 的左边),且 x 1 + x 2 =4. (1)求 b 的值及 c 的取值范围; (2)如果 AB=2,求抛物线的解析式; (3)设此抛物线与 y 轴的交点为 C,顶点为 D,对称轴与 x 轴的交点为 E,问是否存在这样的抛物线,使△AOC 和 △BED 全等,如果存在,求出抛物线的解析式;如果不存在,请说明理由.

2


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