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2013年高中数学基础知识点汇编(排版工整,超级详细,含理科选修部分)


2013 年高中数学知识点汇编
第一章 集合与简易逻辑 1、 集合 (1) 、定义:某些指定的对象集在一起叫集合;集合中的每个对象叫集合的元素。 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性;表示一个集合要用{ }。 (2) 、集合的表示法:列举法() 、描述法() 、图示法() ; (3) 、集合的分类:有限集、无限集和空集(记作 ? , ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集) ; (4) 、元素 a 和集合 A 之间的关系:a∈A,或 a ? A; (5) 、常用数集:自然数集:N ;正整数集:N;整数集:Z ;整数:Z;有理数集:Q;实数集:R。 2、子集 (1) 、定义:A 中的任何元素都属于 B,则 A 叫 B 的子集 ;记作:A ? B, 注意:A ? B 时,A 有两种情况:A=φ与 A≠φ (2) 、性质:①、 A ? A, ? ? A ;②、若 A ? B, B ? C ,则 A ? C ;③、若 A ? B, B ? A 则 A=B ; 3、真子集 : 、定义:A 是 B 的子集 ,且 B 中至少有一个元素不属于 A;记作: A ? B ; (1) (2) 、性质:①、 A ? ? , ? ? A ;②、若 A ? B, B ? C ,则 A ? C ; 4、补集:①、定义:记作: CU A ? {x | x ?U , 且x ? A}; ②、性质: A ? CU A ? ?,A ? CU A ? U,CU CU A) A ; ( ? 5、交集与并集(1) 、交集: A ? B ? {x | x ? A且x ? B} 性质:①、 A ? A ? A, A ? ? ? ? ②、若 A ? B ? B ,则 B ? A A

CU A

A

B

(2) 、并集: A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 性质:①、 A ? A ? A, A ? ? ? A ②、若 A ? B ? B ,则 A ? B

A B

6、一元二次不等式的解法: (二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系) 判别式:△=b -4ac 二次函数 y
2

??0
y

??0

??0
y

f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

的图象

x1

O

x2

x O x1=x2

x O 没有实数根

x

一元二次方程

有两相异实数根

有两相等实数根

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根
一元二次不等式

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集
一元二次不等式

{x | x ? x1 , x ? x2 }
“>”取两边

b 2a b {x | x ? ? } 2a

R

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集
2

{x | x1 ? x ? x2 }
“<”取中间

?

?
1

不等式解集的边界值是相应方程的解 含参数的不等式 ax +b x+c>0 恒成立问题 ? 含参不等式 ax +b x+c>0 的解集是 R;
2 2

其解答分 a=0(验证 bx+c>0 是否恒成立)、a≠0(a<0 且△<0)两种情况。 7、绝对值不等式的解法:“>”取两边, ( “<”取中间) (1) 、当 a ? 0 时, | x |? a 的解集是 {x | x ? ?a, x ? a} , | x |? a 的解集是 {x | ?a ? x ? a} (2) 、当 c ? 0 时, | ax ? b |? c ? ax ? b ? ?c, ax ? b ? c , | ax ? b |? c ? ?c ? ax ? b ? c (3) 、含两个绝对值的不等式:零点分段讨论法:例: | x ? 3 | ? | 2 x ? 1 |? 2 8、简易逻辑: (1)命题:可以判断真假的语句;逻辑联结词:或、且、非; 简单命题:不含逻辑联结词的命题;复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题; 三种形式:p 或 q、p 且 q、非 p; 判断复合命题真假: 、思路:①、确定复合命题的结构,②、判断构成复合命题的简单命题的真假, (1) ③、利用真值表判断复合命题的真假; (2) 、真值表:p 或 q,同假为假,否则为真;p 且 q,同真为真;非 p,真假相反。 (2) 、四种命题: 互逆 逆命题 原命题 原命题:若 p 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 若q则p 若p则q 否命题:若 ? p 则 ? q; 逆否命题:若 ? q 则 ? p; 否 互 互为逆否的两个命题是等价的。 为逆 互 互 原命题与它的逆否命题是等价命题。 为 逆 否 (3) 、反证法步骤:假设结论不成立→推出矛盾→否定假设。 否 互 否 (4) 、充分条件与必要条件: 若 p ? q ,则 p 叫 q 的充分条件; 若 p ? q ,则 p 叫 q 的必要条件; 若 p ? q ,则 p 叫 q 的充要条件; 否命题 若? p 则? q 互逆 逆否命题 若? q 则? p

第二章 函数 1、映射:按照某种对应法则 f ,集合 A 中的任何一个元素,在 B 中都有唯一确定的元素和它对应, 记作 f:A→B,若 a ? A, b ? B ,且元素 a 和元素 b 对应,那么 b 叫 a 的象,a 叫 b 的原象。 2、函数: 、定义:设 A,B 是非空数集,若按某种确定的对应关系 f,对于集合 A 中的任意一个数 x, (1) 集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,就称 f:A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x) , (2) 、函数的三要素:定义域,值域,对应法则;自变量 x 的取值范围叫函数的定义域,函数值 f(x)的 范围叫函数的值域,定义域和值域都要用集合或区间表示; (3) 、函数的表示法常用:解析法,列表法,图象法(画图象的三个步骤:列表、描点、连线) ; (4) 、区间:满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫闭区间,表示为:[a ,b] 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫开区间,表示为: a ,b) ( 满足不等式 a ? x ? b 或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫半开半闭区间,分别表示为:[a ,b)或(a ,b]; (5) 、求定义域的一般方法:①、整式:全体实数,例一次函数、二次函数的定义域为 R; ②、分式:分母 ? 0 ,0 次幂:底数 ? 0 ,例: y ?

1 2? | 3 x |

③、偶次根式:被开方式 ? 0 ,例: y ? ④、对数:真数 ? 0 ,例: y ? log a (1 ?

25 ? x 2
1 ) x
2

(6) 、求值域的一般方法:①、图象观察法: y ? 0.2| x| ②、单调函数:代入求值法: y ? log 2 (3 x ? 1), x ? [ ,3] ③、二次函数:配方法: y ? x 2 ? 4 x, x ? [1,5) , y ?

1 3

? x 2 ? 2x ? 2

x 2x ? 1 2 ? sin x ⑤、 “对称”分式:分离常数法: y ? 2 ? sin x
④、 “一次”分式:反函数法: y ? ⑥、换元法: y ? x ? 1? 2 x (7) 、求 f(x)的一般方法: ①、待定系数法:一次函数 f(x) ,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f(x) ②、配凑法: f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 , 求 f(x) x x

③、换元法: f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f(x) ④、解方程(方程组) :定义在(-1,0)∪(0,1)的函数 f(x)满足 2 f ( x ) ? f ( x ) ? 3、函数的单调性: (1) 、定义:区间 D 上任意两个值 x1 , x 2 ,若 x1 ? x 2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,称 f (x) 为 D 上增函数; 若 x1 ? x 2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,称 f (x) 为 D 上减函数。 (一致为增,不同为减) (2) 、区间 D 叫函数 f (x) 的单调区间,单调区间 ? 定义域; (3) 、判断单调性的一般步骤:①、设,②、作差,③、变形,④、下结论 (4) 、复合函数 y ? f [h( x)] 的单调性:内外一致为增,内外不同为减; 4、反函数:函数 y ? f (x) 的反函数为 y ? f 反函数的求法: 由 y ? f (x) , ①、 解出 x ? f 的定义域(即原函数的值域) ; 反函数的性质:函数 y ? f (x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f 函数 y ? f (x) 的图象和它的反函数 y ? f
?1 ?1 ?1

1 ,求 f(x) x

( x) ;函数 y ? f (x) 和 y ? f ?1 ( x) 互为反函数;

?1

?1 ?1 ②、 写成 y ? f ( x) , 写出 y ? f ( x) ③、 ( y) , x, y 互换,

( x) 的值域、定义域;

( x) 的图象关于直线 y ? x 对称;

点(a,b)关于直线 y ? x 的对称点为(b,a) ; 5、指数及其运算性质: 、如果一个数的 n 次方根等于 a( n ? 1, n ? N ) (1) ,那么这个数叫 a 的 n 次方根;
* n

?a(a ? 0) a 叫根式,当 n 为奇数时, n a n ? a ;当 n 为偶数时, n a n ?| a |? ? ?? a(a ? 0)
3

(2) 、分数指数幂:正分数指数幂: a

m n

? a ;负分数指数幂: a
n m

?

m n

?

1
m

an
0 的正分数指数幂等于 1,0 的负分数指数幂没有意义(0 的负数指数幂没有意义) ;
1

(3) 、运算性质:当 a ? 0, b ? 0, r , s ? Q 时: a r ? a s ? a r ? s , (a r ) s ? a rs , (ab) r ? a r b r , r a ? a r ; 6、 对数及其运算性质: 、 (1) 定义: 如果 a b ? N (a ? 0, a ? 1) , b 叫以 a 为底 N 的对数, 数 记作 loga N ? b , 其中 a 叫底数,N 叫真数,以 10 为底叫常用对数:记为 lgN,以 e=2.7182828…为底叫自然对数:记为 lnN (2) 、性质:①:负数和零没有对数,②、1 的对数等于 0:loga 1 ? 0 ,③、底的对数等于 1:loga a ? 1 , ④、积的对数: loga (MN ) ? loga M ? loga N , 商的对数: log a 幂的对数: loga M n ? n loga M , 7、指数函数和对数函数的图象性质 函数 定义 指数函数 对数函数

M ? log a M ? log a N , N 1 方根的对数: log a n M ? log a M , n

y ? ax
a>1

( a ? 0且a ? 1) 0<a<1

y ? loga x ( a ? 0且a ? 1)
a>1 y y y=logax 0<a<1 y x O

图象 (非奇非偶)

y

y=a

x

y=ax

1 定义域 值域 性 单调性 函数值 变化 质 图 象 定 点 图象 特征 图象 关系
|x|

1 O (-∞,+∞) (0,+∞) 在(-∞,+∞) 上是减函数 x

1

x

O

1 y=logax

x O (-∞,+∞) (0,+∞) 在(-∞,+∞) 上是增函数

(0,+∞) (-∞,+∞) 在(0,+∞) 上是增函数

(0,+∞) (-∞,+∞) 在(0,+∞) 上是减函数

?? 1, x ? 0 ? a ?? 1, x ? 0 ?? 1, x ? 0 ?
x

?? 1, x ? 0 ? a ?? 1, x ? 0 ?? 1, x ? 0 ?
x

?? 0, x ? 1 ? loga x ?? 0, x ? 1 ?? 0,0 ? x ? 1 ?

?? 0, x ? 1 ? loga x ?? 0, x ? 1 ?? 0,0 ? x ? 1 ?

? a 0 ? 1,?过定点(0,1) ? a x ? 0,?图象在 x 轴上方

? loga 1 ? 0,?过定点(1,0)
? x ? 0,?图象在 y 轴右边

y ? a x 的图象与 y ? loga x 的图象关于直线 y ? x 对称
a ?1
y y=a|x| y

0 ? a ?1
y

a ?1
y=|logax|

0 ? a ?1
y y=|logax| x

y=a

1 O

1 x O x

O

1

x

O 1
4

y=loga|x| y

a ?1

y=loga|x| 0 ? a ? 1 y x

1 1 第三章 数列 (一) 、数列: 、定义:按一定次序排列的一列数叫数列;每个数都叫数列的项; (1) 数列是特殊的函数:定义域:正整数集 N (或它的有限子集{1,2,3,…,n}) , 值域:数列本身,对应法则:数列的通项公式; (2) 、通项公式:数列{ an }的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系式;例:数列 1,2,…,n 的通项公式 an = n 1,-1,1,-1,…,的通项公式 an = (?1) n ?1 ; 0,1,0,1,0,…,的通项公式 an ?
?

O

x

O

1 ? (?1) n 2

(3) 、递推公式:已知数列{ an }的第一项,且任一项 an 与它的前一项 a n ?1 (或前几项)间的关系用一个 公式表示,这个公式叫递推公式;例:数列{ an }: a1 ? 1 , a n ? 1 ?

1 ,求数列{ an }的各项。 an?1
?a1 ? S1 (n ? 1) ?S n ? S n ?1 (n ? 2)

(4) 、数列的前 n 项和: S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; 数列前 n 项和与通项的关系: a n ? ?

(二) 、等差数列 : 、定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数, (1) 那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。 (2) 、通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d (其中首项是 a1 ,公差是 d ;整理后是关于 n 的一次函数) ,
n(n ? 1) d (整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数) 2 a?b (4) 等差中项: 、 如果 a , A ,b 成等差数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。 即:A ? 或 2A ? a ? b 2

(3) 、前 n 项和:1.S n ?

n(a1 ? a n ) 2

2. S n ? na1 ?

[说明]:在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项 的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 (5) 、等差数列的判定方法: ①、定义法:对于数列 ?an ? ,若 an?1 ? an ? d (常数),则数列 ?an ? 是等差数列。 ②、等差中项:对于数列 ?an ? ,若 2an?1 ? an ? an?2 ,则数列 ?an ? 是等差数列。 (6) 、等差数列的性质: ①、等差数列任意两项间的关系:如果 an 是等差数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项,且 m ? n ,公 差为 d ,则有 an ? am ? (n ? m)d ②、等差数列 ?an ? ,若 n ? m ? p ? q ,则 an ? am ? a p ? aq 。
a1 n ??????a???? ? ? a1 , a2 , a3 ,?, an?2 , an?1 , an ? ?? ,如图所示: ??? ???? ? ? a2 ? an ?1
*

也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2

③、若数列 ?an ? 是等差数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N ,那么 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 成等差数列。

5

???????????S 3k ??????????? ? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a3k 如下图所示: ???? ??? ? ? ?? ??? ??? ?? ? ? ? ?
④、设数列 ?an ? 是等差数列, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的和, 则有:前 n 项的和 S n ? S 奇 ? S 偶 , 当 n 为偶数时, S 偶 ? S奇 ? 当 n 为奇数时,则 S 奇 ? S偶 ? a中 , S奇 ?
n d ,其中 d 为公差; 2
Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

n ?1 n ?1 。 a中 , S偶 ? a中 (其中 a中 是等差数列的中间一项) 2 2 a S ' ⑤、等差数列 ?an ? 的前 2n ? 1 项的和为 S 2 n ?1 ,等差数列 ?bn ? 的前 2n ? 1 项的和为 S 2 n?1 ,则 n ? 2 n ?1 。 ' bn S 2 n ?1

(三) 、等比数列: 、定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数, (1) 那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示( q ? 0 ) 。 (2) 、通项公式: an ? a1q n?1 (其中:首项是 a1 ,公比是 q )

na1 ,( q ? 1) ? ? n (3) 、前 n 项和] S n ? ? a1 ? a n q a1 (1 ? q ) (推导方法:乘公比,错位相减) ? , (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
说明:① S n ?
a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 1? q

2 ○ Sn ?

a1 ? a n q (q ? 1) 1? q

3 ○当 q ? 1 时为常数列, S n ? na1 ,非 0 的常数列既是等差数列,也是等比数列 (4) 、等比中项: 如果在 a 与 b 之间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。 G b 2 也就是,如果是的等比中项,那么 ? ,即 G ? ab (或 G ? ? ab ,等比中项有两个) a G (5) 、等比数列的判定方法: ①、定义法:对于数列 ?an ? ,若
a n ?1 ? q ( q ? 0) ,则数列 an

?an ? 是等比数列。

2 ②、等比中项:对于数列 ?an ? ,若 an an?2 ? an?1 ,则数列 ?an ? 是等比数列。

(6) 、等比数列的性质: ①、等比数列任意两项间的关系:如果 an 是等比数列的第 n 项, a m 是等比数列的第 m 项,且 m ? n , 公比为 q ,则有 an ? am q n?m ②、对于等比数列 ?an ? ,若 n ? m ? u ? v ,则 an ? am ? au ? av
a1?a ??????n????? a , a 2 , a , ?, a n ? , a n ? , a ? ?? 。如图所示: 1 ??3 ? ?2 ? 1 n ? ? ? ? a2 ?an ?1
*

也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2

③、若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N ,那么 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2k 成等比数列。

???????????S 3k ??????????? ? ? ? a1 ? a2 ? a ? ? ? a ? ak ? ? ? a2 ? a2 ? ? ? a3 如下图所示: ???? 3 ??? k ??1? ?? k ?k ?1 ??? k ? ? ? ? ? ?? ?
Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

(7) 、求数列的前 n 项和的常用方法:分析通项,寻求解法

1? 2 ? 3 ??? n ?

n(n ? 1) 1 2 2 2 2 12 , ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n , ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n(n ? 1)( 2n ? 1) 1 2 6
6

①公式法: “差比之和”的数列: (2 ? 3 ? 5?1 ) ? (2 ? 3 ? 5?2 ) ? ? ? (2 ? 3 ? 5?n ) ? ②、并项法: 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (?1) n?1 n ? ③、裂项相消法: 1 ?

1 1 1 ? ??? ? 2 6 (n ? 1)n 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1? 2 2? 3 3? 4 n ? n ?1
2 n ?1

④、到序相加法: ⑤、错位相减法: “差比之积”的数列: 1 ? 2 x ? 3x ? ? ? nx

?

第四章 三角函数 1、角: 、正角、负角、零角:逆时针方向旋转正角,顺时针方向旋转负角,不做任何旋转零角; (1) (2) 、与 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,都可以表示为集合{ ? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z }
?

(3) 、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象 限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限。 2、弧度制: 、定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。 (1) (2) 、度数与弧度数的换算: 180 ? ? 弧度,1 弧度 ? (
?

180

?

) ? ? 57 ?18 '

y P(x,y) r 0

(3) 、弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是角的弧度数)

1 1 2 扇形面积: S ? lr ?? | ? | r 2 2
3、三角函数 (1) 、定义: (如图)

r?

x2 ? y2 ? 0

?
x y

(2) 、各象限的符号: y

y y r + sin ? ?     ? ?     ? ?    tan sec r x x O x x r cos? ?     ? ?     ? ? cot csc _ r y y
(3) 特殊角的三角函数值 、

+ _
120 ?
x

_ _
O

y

+
x

_
O

+ _
270 ?
x

+
cos?
150 ?

+
tan ?

sin ?
60 ? 90 ? 135 ?

? 的角度 ? 的弧度
sin ?

0?

30 ?

45 ?

180 ?

360 ?

0
0
1

?
6

?
4
2 2 2 2
1

?
3
3 2

?
2
1

2? 3
3 2

3? 4
2 2
? 2 2
?1

5? 6

?
0
?1

3? 2
?1

2?
0
1

1 2
3 2

1 2
? 3 2 ? 3 3
sin ?

cos?
tan ?

1 2
3

0


?1 2
? 3

0


0

3 3

0

0

4、同角三角函数基本关系式 (1)平方关系: (2)商数关系: (3)倒数关系:

cos?

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

t a? ? n

s i? n c o? s

t a ? c o? ? 1 n t

tan ?

1

cot ?
7

sec?

csc?

1 ? tan2 ? ? sec 2 ? 1 ? cot2 ? ? csc 2 ?

c o? ? t

c o? s s i? n

s i ? c s? ?1 n c

cos ? sec ? ? 1

(4)同角三角函数的常见变形: (活用“1” ) ①、 sin ? ? 1 ? cos ? ,
2 2

sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ; cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? , cos? ? ? 1 ? sin2 ? ;

② tan? ? cot? ?

cos2 ? ? sin 2 ? 2 cos2 ? ? sin 2 ? 2 cos 2? , cot? ? tan? ? ? ? ? 2 cot 2? sin ? cos? sin 2? sin ? cos? sin 2?

③ (sin? ? cos?)2 ? 1 ? 2 sin ? cos? ? 1 ? sin 2? , 5、诱导公式: (奇变偶不变,符号看象限)

1 ? sin 2? ?| sin ? ? cos? |

公式一: sin(? ? k ? 360?) ? sin ?   cos(? ? k ? 360?) ? cos?  tan( ? k ? 360?) ? tan? ? 公式二: 公式三: 公式四: 公式五:

sin(180? ? ? ) ? sin ? cos(180? ? ? ) ? ? cos? tan( ? ? ? ) ? ? tan? 180
sin( ? ? ) ? cos? 2

sin(180? ? ? ) ? ? sin ? cos(180? ? ? ) ? ? cos? tan( ? ? ? ) ? tan? 180
sin( ? ? ) ? cos? 2

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? tan(?? ) ? ? tan?

sin(360? ? ? ) ? ? sin ?   cos(360? ? ? ) ? cos?   tan( ? ? ? ) ? ? tan? 360

?

补充: cos(? ? ? ) ? sin ? 2

t an( ? ? ) ? cot? 2

?

3? 3? ? ? ) ? ? cos? sin( ? ? ) ? ? cos? 2 2 3? ? 3? cos( ? ? ) ? ? sin ? cos( ? ? ) ? ? sin ? cos( ? ? ) ? sin ? 2 2 2 3? ? 3? tan( ? ? ) ? ? cot? tan( ? ? ) ? ? cot? tan( ? ? ) ? cot? 2 2 2

?

sin(

6、两角和与差的正弦、余弦、正切

S(? ?? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? C(? ?? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? T(? ?? ) :
tan( ? ? ) ? ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

S(? ?? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? C(? ?? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? T(? ? ? ) :
tan( ? ? ) ? ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

? T(? ?? ) 的整式形式为: tan? ? tan ? ? tan( ? ? ) ? (1 ? tan? tan ? )
例:若 A ? B ? 45 ? ,则 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 . (反之不一定成立) 7、辅助角公式: a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 ? ?

?

? a sin x ? 2b 2 cos x ? ? 2 a ?b ? a ?b ?
2

? a2 ? b2 (sin x ? cos? ? cos x ? sin ?) ? a2 ? b2 ? sin(x ? ?)
(其中 ? 称为辅助角, ? 的终边过点 (a, b) , tan? ?

b ) (多用于研究性质) a
8

8、二倍角公式: 、 S 2? : (1)

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

(2) 、降次公式: (多用于研究性质)

C 2? :

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1

sin ? cos ? ?

T2? :

t a 2? ? n

2t a? n 2 1? t a n ?

1 sin 2? 2 1 ? cos 2? 1 1 sin 2 ? ? ? ? cos 2? ? 2 2 2 1 ? cos 2? 1 1 cos 2 ? ? ? cos 2? ? 2 2 2

(3) 、二倍角公式的常用变形:①、 1 ? cos2? ? 2 | sin ? | ,

1 ? cos2? ? 2 | cos? | ;

②、

1 ? 1 cos2? ?| sin ? | , 2 2
4 2 2

1 1 ? cos2? ?| cos? | 2 2
sin 2 2? ; 2
cos4 ? ? sin 4 ? ? cos 2? ;

③、 sin ? ? cos ? ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? 1 ?
4

④半角: sin

?
2

??

sin ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? 1 ? cos ? ? ? , cos ? ? , tan ? ? sin ? 1 ? cos ? 2 2 2 2 1 ? cos?

9、三角函数的图象性质 (1)、函数的周期性:①、定义:对于函数 f(x),若存在一个非零常数 T,当 x 取定义域内的每一个 值时,都有:f(x+T)= f(x),那么函数 f(x)叫周期函数,非零常数 T 叫这个函数的周期; ②、如果函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,这个最小的正数叫 f(x)的最小正周期。 (2)、函数的奇偶性:①、定义:对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有:f(-x)= - f(x),则称 f(x)是奇函数,f(-x)= f(x),则称 f(x)是偶函数 ②、奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称; ③、奇函数,偶函数的定义域关于原点对称; (3)、正弦、余弦、正切函数的性质( k ? Z ) 函数 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] (-∞,+ ∞) 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间
3? ?? ? ? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ? ? ?

y ? sin x
y ? cos x

x?R
x?R
{x | x ?

T ? 2?
T ? 2? T ??

? ? ? ? ?? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ? ? ?

?(2k ? 1)? ,2k? ?
? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 2 ? ?

?2k? , (2k ? 1)? ?

y ? tan x

?
2

? k? }

3? ? ,1),( ? ,0),( ,-1),( 2? ,0); 2 2 3? ? y ? cos x 图象的五个关键点:(0,1),( ,0),( ? ,-1),( ,0),( 2? ,1); 2 2 y

y ? sin x 图象的五个关键点:(0,0),(

??

?

?
2

1

y ? sin x
0

? 2

?

3? 2
2?
x

y

-1 y

??
3? ? 2

??

?

?
2

1

y ? cos x
3? 2

? ? 2

o

? 2

?

3? x 9 2

y ? tan x

y ? sin x 的对称中心为( k? ,0 );对称轴是直线 x ? k? ?
y ? cos x 的对称中心为( k? ?

?
2



?
2

,0 );对称轴是直线 x ? k? ;

y ? tan x 的对称中心为点( k? ,0 )和点( k? ?

?
2

,0 );

? 2? ; y ? A cos(?x ? ? ) 的周期 T ? ? ? y ? A tan( x ? ? ) 的周期 T ? ; ? ?

y ? A sin(?x ? ? ) 的周期 T ?

2?



(4)、函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的相关概念: 函数 定义域 值域 [-A,A] 振幅 A 周期 频率 相位 初相

y ? A sin(?x ? ? )

x?R

T?

2?

?

f ?

1 ? ? T 2?

?x ? ?

?

图象 五点法

y ? A sin(?x ? ? ) 的图象与 y ? sin x 的关系:
①、振幅变换: y ? sin x 当 0 ? A ? 1 时, 图象上各点的纵坐标缩短到原来的 A 倍
当? 当 A ? 1 时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的 A 倍

y ? A sin x

? 1 时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的

1

②、周期变换: y ? sin x

?



当0

? ? ? 1 时, 图象上各点的纵坐标伸长到原来的

1

y ? sin ?x


当?

? 0 时,图象上的各点向左平移 ?

个单位倍

?

③、相位变换: y ? sin x

当?

? 0 时,图象上的各点向右平移 | ? | 个单位倍 ? 0 时,图象上的各点向左平移

y ? sin(x ? ? )

? 个单位倍 ? ④、平移变换: y ? A sin ?x ? | 个单位倍 当 ? ? 0 时,图象上的各点向右平移 | ?
当?

y ? A sin(?x ? ? )

常叙述成: ①、把 y ? sin x 上的所有点向左( ? ? 0 时)或向右( ? ? 0 时)平移| ? |个单位得到

y ? sin(x ? ? ) ;
②、再把 y ? sin(x ? ? ) 的所有点的横坐标缩短( ? ? 1 )或伸长( 0 ? ? ? 1 )到原来的

1

?

倍(纵坐标不

变) 得到 y ? sin(?x ? ? ) ;③、再把 y ? sin(?x ? ? ) 的所有点的纵坐标伸长 A ? 1 ) ( 或缩短 0 ? A ? 1 ) ( 到原来的 A 倍(横坐标不变)得到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象。 先平移后伸缩的叙述方向: y ? A sin(?x ? ? )

10

先平移后伸缩的叙述方向: y ? A sin(?x ? ? ) ? A sin[? ( x ? 10、反三角:

? )] ?
当 x 为钝角时

x 的值 sin x ? a ( ? 1 ? a ? 1 ) x ? arcsin a (反正弦)
求角条件

x 的范围
? ? ?? x ? ?? , ? ? 2 2?

x ? ? ? arcsin a ( 0 ? a ? 1 )

cos x ? a ( ? 1 ? a ? 1 ) x ? arccosa (反余弦)
tan x ? a ( a ? R )
11、三角函数求值域

x ? ?0, ? ?
? ? ? ? x ??? , ? ? 2 2?

x ? arctan a (反正切)

x ? arccosa ( ? 1 ? a ? 0 ) x ? ? ? arctan a ( a ? 0 )

(1)一次函数型: y ? A sin x ? B ,例: y ? ?2 sin( 3 x ? 用辅助角公式化为: y ? a sin x ? b cos x ?

?
12

) ? 5 , y ? sin x cos x

a 2 ? b 2 ? sin(x ? ? ) ,例: y ? 4 sin x ? 3 cos x

(2)二次函数型:①、二倍角公式的应用: y ? sin x ? cos 2 x ②、代数代换: y ? sin x cos x ? sin x ? cos x 第五章、平面向量 1、空间向量: 、定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段表示。 (1) (2) 、零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作 0 ;零向量的方向是任意的。 (3) 、单位向量:长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量;与向量 a 平行的单位向量: e ? ?

a |a|



(4) 、平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量,记作 a // b ;规定 0 与任何向量 平行; (5) 、相等向量:长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与零向量相等; 任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关。 2、向量的运算: 、向量的加减法: (1) 向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 向量的减法

a b b b

b a
a?b

a

b b

a?b

a

a ?b

a

首位连结

a

指向被减数

(2) 、实数与向量的积:①、定义:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作: ? a ; ②:它的长度: | ? a |?| ? | ? | a | ;
11

③: 它的方向: ? ? 0 , a 与向量 a 的方向相同; ? ? 0 , a 与向量 a 的方向相反; ? ? 0 时, a = 0 ; 当 当 当 ? ? ? 3、平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对平面内的任一向量 a ,有且 只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ; 不共线的向量 e1 , e2 叫这个平面内所有向量的一组基向量,{ e1 ,e2 }叫基底。 4、平面向量的坐标运算: (1)、运算性质: a ? b ? b ? a, a ? b ? c ? a ? b ? c , a ? 0 ? 0 ? a ? a (2)、坐标运算:设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ?x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ? 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 AB ? ?x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? . (3)、实数与向量的积的运算律: 设 a ? ?x, y ? ,则λ a ? ? ? x, y ? ? ??x, ?y ? , (4) 、平面向量的数量积:①、 定义: a? b ? a ? b cos? ? a ? 0, b ? 0,0 0 ? ? ? 1800 ? , 0 ? a ? 0 . ①、平面向量的数量积的几何意义:向量 a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影| b | cos ? 的乘积; ③、坐标运算:设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? ,则 a? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ; 向量 a 的模| a |: | a | 2 ? a ? a ? x 2 ? y 2 ;模| a | ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ?

? ?

? ?

?

?

?? ?

? ?

?

? ?

? ?

x2 ? y2

④ 、 设 ? 是 向 量 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? 的 夹 角 , 则 cos ? ?

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y 2
2

2

, a

? b ? a?b ? 0
5、重要结论: (1)、两个向量平行的充要条件: a// b ? a ? ? b (? ? R) 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? ,则 a// b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 (2)、两个非零向量垂直的充要条件: a ? b ? a ? b ? 0
?
? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?



a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
? ?

?

?

?

(3)、两点 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 的距离: | AB |?

(4) 分线段 P1P2 的:设 P 、P (x,y) ,P(x1,y1) ,P(x2,y2) ,且 P P ? ? PP2 , (即 ? ? ? 1 2 1

| P1 P | | PP2 |



12

? ?x ? ? 则定比分点坐标公式 ? ?y ? ? ?

x1 ? ?x 2 1? ? y1 ? ?y 2 1? ?



x1 ? x 2 ? ?x ? 2 ? 中点坐标公式 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?
? x ' ? x ? h, ? 平移至 P′(x′,y′),则 ? ' ? y ? y ? k. ?

(5)、平移公式:如果点 P(x,y)按向量 a ? ?h, k ? 6、解三角形: 、三角形的面积公式: S ? ? (1) (2) 、在△ ABC 中: A ? B ? C ? 180 ? , 因为 A ? B ? 180 ? ? C : sin(A ? B) ? sin C , 因为

?

1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

cos(A ? B) ? ? cosC ,

tan(A ? B) ? ? tanC

A ? B ? 90? ? C : sin( A ? B ) ? cos C , cos( A ? B ) ? sin C , 2 2 2 2 2 2
正 弦 定

tan(A ? B ) ? cot C 2 2
理 :

(3) 、正弦定理,余弦定理 ① 、

a b c ? ? ? 2 R, 边用角表示: a ? 2 R sin A,  b ? 2 R sin B,  c ? 2 R sin sin A sin B sin C

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A
②、余弦定理: b ? a ? c ? 2ac ? cos B
2 2 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ab
若: a ? b ? c ? ? 2ab 则:
2 2 2

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? (a ? b) 2 ? 2ab(1 ? cocC)
求角: cos A ? 第六章:不等式

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 3ab

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2      cos B ?      cosC ? 2bc 2ac 2ab

1、不等式的性质: 、对称性: a ? b ? b ? a ; 、传递性: a ? b, b ? c ? a ? c ; (1) (2) (3) a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d 、 (4) a ? b, 若 c ? 0 ? ac ? bc ,若 c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? acy? bd 、 (5) a ? b ? 0 ? a n ? b n , n a ? n b , (n ? N , n ? 1) (没有减法、除法) 、 1、 均值不等式: 、 (1)
2 2 ( ab ? a ? b ) 2

2 a ? a a ?2 a
x

a?b 2 ) 一正、二定、三相等 (2) a ? b ? 2 ab 或 ab ? ( 、 2

1 不满足相等条件时,注意应用函数 f ( x) ? x ? 图象性质(如图) x
应用:证明(注意 1 的技巧) ,求最值,实际应用 (3) 、对于 n 个正数: a1 , a 2 , a3 ?, a n (n ? 2) ,

13

那么:

a1 ? a 2 ? ? ? a n 叫做 n 个正数的算术平均数, n a1a 2 ? a n 叫做 n 个正数的几何平均数; n

3、不等式的证明,常用方法: (1)比较法:①、作差: a ? b ? 0 ? a ? b, a ? b ? 0 ? a ? b , (作差、变形、确定符号) ②、作商: a ? 1(b ? 0) ? a ? b(b ? 0), a ? 1(b ? 0) ? a ? b(b ? 0)
b b

? ? ? (2)综合法:由因到果,格式:? ? ,   ?;    ? ,   ?;
(3)分析法:执果索因,格式:原式 ? ?? ?? ?? ,  ,  ,  , (4)反证法:从结论的反面出发,导出矛盾。 4、不等式的解法: (不等式解集的边界值是相应方程的解) 一元二次不等式( x 的系数为正数) ? ? 0 时“>”取两边,“<”取中间 :
2

绝对值不等式:含一个绝对值符号的: “>”取两边,“<”取中间 含两个绝对值符号的: 零点分段讨论法(注意取“交” ,还是取“并” ) 高次不等式的解法:根轴法 (重根:奇穿偶不穿) 分式不等式的解法:移项、通分、根轴法

? |a ? |a | ? |a ? |a 5、绝对值不等式: | a | ? | b |     ? b |     | ? | b |   a | ? | b |     ? b |     | ? | b |  
例: f(x) | 2 x ? 3 | ? | 2 x ? 5 |?| 3 ? 2 x | ? | 2 x ? 5 |?| 3 ? 2 x ? 2 x ? 5 |? 8 (最小值) ?

f(x) | x ? 2 | ? | x ? 3 |?| x ? 2 | ? | 3 ? x |?| x ? 2 ? 3 ? x |? 5 (最大值) ?
第七章:直线和圆的方程 1、倾斜角和斜率: 、倾斜角: ①、范围: ? ? [0? ,180? ) (1) ②、定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴饶交点按逆时针方向旋转到和 直线重合时的最小正角记为 ? ,则 ? 叫直线的倾斜角; 当直线与和 x 轴平行或重合时,倾斜角为 0 ; 当直线与和 x 轴垂直时,倾斜角为 9 0
?

?

o

? 2

?

(2) 、斜 率: k ? tan ? , k ? (??,??)

当k ? 0时,  ? ? arct ank; 当 k 是特殊角的三角函数值时,直接写出角 当 k 不是特殊角的三角函数值时,可用反三角表示斜率: 当k ? 0时,  ? ? ? ? arct ank (3) 、直线上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) ,则斜率为 k ? y 2 ? y1 1 x 2 ? x1
直线的方向向量 P P2 ? ( x2 ? x1 , y1 ? y 2 ),或P P2 ? 1 1 所以直线的方向向量 P P 1 2
1 ( x2 ? x1 , y1 ? y 2 ) ? 1 k) (, x2 ? x1

? (1, k ) 或 P P2 ? ?(1, k ) 1

2、直线方程:直线方程的五种形式(1) 、点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) ; (2) 、斜截式: y ? kx ? b ; 、两点式: (3)

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1
14

(4) 、截距式: x ? y ? 1 (截距是直线与坐标轴的交点坐标,可正可负可为零) a b (5) 、一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A、B 不同时为 0) 斜率 k ? ? 3、两直线的位臵关系(1) 、平行: l1 // l 2 ? k1 ? k 2且b1 ? b2 垂直: k1 ? k 2 ? ?1 ? l1 ? l 2 (2) 、相交: k1 ? k 2

A C , y 轴截距为 ? B B
A1 B C ? 1 ? 1 时 , l1 // l 2 ; A2 B2 C2
A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ? l1 ? l 2 ;

A1 B ? A x ? B1 y ? C1 ? 0; 的解。 ? 1 ,交点就是方程组 ? 1 A2 B2 ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0.

任意曲线的交点就是:曲线方程构成的方程组 ? f1 ( x, y ) ? 0 的解 ? ? f 2 ( x, y ) ? 0 (3) 、到角范围: ?0, ? ? 到角公式 : t an? ? k 2 ? k1 1 ? k 2 k1 夹角公式: t an? ? k 2 ? k1 1 ? k 2 k1

k1、k 2 都存在, 1 ? k1k 2 ? 0

夹角范围: (0,

?
2

]

k1、k 2 都存在, 1 ? k1k 2 ? 0

(4) 、点到直线的距离公式 d ? Ax0 ? By0 ? C (直线方程必须化为一般式)

A2 ? B 2 两平行线间的距离公式: d ? C2 ? C1 (即一条直线上任一点到另一条直线的距离) A2 ? B 2
2

4、 线性规划: (1) 、二元一次不等式表示的平面区域: 不等式 Ax ? Bx ? C ? 0 (或≤,或>,或< ) 表示直角坐标系中以直线为分界的直线某一侧的平面区域。 (2) 、求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条 件的解 ( x, y ) 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域; 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。最优解常在区域的交点或边界上。 (3) 、具体解题的步骤:画出图形,求交点,代入目标函数求值,确定最大值或最小值 注意实际问题中的整数解(整点) 5、 曲线方程: 、曲线和方程的关系:在直角坐标系中,曲线 C 的点与方程 F(x,y)=0 的实数解满足: (1) ①、曲线 C 上的点的坐标都是方程 F(x,y)=0 的解, ②、方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上,那么,方程叫曲线的方程,曲线叫方程的曲线 (2)曲线方程步骤:①建系,设点; ②列方程;③化简(注明条件) 。 (3) 、方法:直接法:直接把相等关系转化为方程; 定义法:常用的是圆、椭圆、双曲线的定义; 代入法:用所求的点的坐标表示已知曲线上的点的坐标,代入已知曲线方程; 参数法:常用的参数有角、斜率、题中的字母系数; 6、圆的方程: 、圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,圆心为 C ( a, b) ,半径为 r (1)
2 2 2

(2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 (配方: ( x ?
2 2

D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F ) ) ? (y ? ) ? 2 2 4
1 2 D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆
15

D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个以 ( ? D ,? E ) 为圆心,半径为
2 2

(3) 、圆的参数方程为 ?

? x ? a ? r cos? ? y ? b ? r sin ?

( ? 为参数) ,圆心在原点时: ? x ? r cos? ? ? y ? r sin ?

(参数方程的实质是曲线上点的横、纵坐标) (4) 、点与圆的位臵关系:判断方法 上( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2,外 ? 0,内 ? 0 ,上=0 (5) 、直线与圆位臵关系:已知直线 Ax ? By ? C ? 0 和圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ①、圆心到直线的距离 d 与 r 比较,相离 d ? r ,相切 d ? r ,相交 d ? r ;

? Ax 2 ? Bx ? C ? 0 ②、利用根的判别式:联立 ? 消元后得一元二次方程的判别式 ? , ? ?( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ?

? ? 0 ? 直线和圆相交, ? ? 0 ? 直线和圆相切, ? ? 0 ? 直线和圆相离; 相关问题:求弦长:弦心距,半径,弦的一半组成 Rt ?
(6) 、求圆的切线方程:设点斜式,用圆心到切线的距离等于半径,求斜率; ①、过圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线只有一条,方程为: x0 x ? y0 y ? r 2 ②、过圆外一点的切线一定有两条; (若只解出一个斜率,另一条没有斜率,切线方程为: x ? x0 ) ③、斜率确定的切线一定有两条(如图) 。 (7) 、圆中的最值问题:数形结合,寻求解法 第八章:圆锥曲线 1、 圆锥曲线的定义、标准方程、图象、几何性质 曲线 第一定 义 第二定 义 标准方 程 椭圆 平面内到两个定点 F1,F2 的距 离 之 和 等 于 定 值 2a (2a>|F1F2|)的点的轨迹。 平面内到定点 F 和定直线 L 的 距离之比为常数 e(0<e<1)的点 的轨迹。 双曲线 抛物线 平面内到两个定点 F1, 的距 平面内到定点 F 和定直线 L F2 离之差的绝对值等于定值 2a 的距离相等的点的轨迹。 (0<2a<|F1F2|)的点的轨迹。 即:平面内到定点 F 和定直 平面内到定点 F 和定直线 L 的 线 L 的 距 离 之 比 为 常 数 距离之比为常数 e(e>1)的点的 e(e=1)的点的轨迹。 轨迹。

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

y 2 ? 2 px( p ? 0)

y
图象

y
x

y

F
1

0

F
2

F
1

0

F
2

x

0

F

x

16

圆锥曲线的几何性质 曲线 图象
F1

椭圆
y 0 F x

双曲线
y
F1

抛物线
y

2

0

F2 x

0

F

x

焦点 顶点 对称轴 离心率 准线 渐近线

(?c,0), c ? a 2 ? b2 (?c,0), c ? a 2 ? b 2

(

(?a,0), (0,?b)
x轴,y轴
e? c ? (0,1) a
x??

(? a,0)
e?
a2 c
y ? ? b x a

p ,0 ) 2

(0,0)
x轴

c ? (1,?? ) a

e ?1
x?? p 2

由双曲线求渐进线:

x2 y2 x2 y2 y2 x2 y x b ? 2 ?1? 2 ? 2 ? 0 ? 2 ? 2 ? ? ? ? y ? ? x 2 b a a a b a b b a
b y x y2 x2 x2 y2 x2 y2 x? ?? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?0? 2 ? 2 ?? a b a b a a b a b

由渐进线求双曲线: y ? ?

2、求离心率 e :方法一:用 e 的定义 e ?

c c ;法二:得到与 a、b、c 有关的方程,解方程,求 ; a a

(离心率 e 与 a、b、c 的关系可以互相表示:椭圆 e ? 1 ?

b2 b2 ,双曲线 e ? 1 ? 2 ) a2 a

3、直线和圆锥曲线的位臵关系: (1) 、判断直线与圆锥曲线的位臵关系的方法(基本思路) ?直线方程 →消元→一元二次方程→判别式 Δ 联立? ?圆锥曲线方程(方程的思想) (2) 、求弦长的方法: ①求交点,利用两点间距离公式求弦长; ②弦长公式 l ? 1 ? k 2 x ? x ? (1 ? k 2 )[(x ? x ) 2 ? 4 x x ]  (消y) 1 2 1 2 1 2

?

1?

1 | y1 ? y 2 |? k2

(1 ?

1 )[(y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ]    (消x) 2 k

(3) 、与弦的中点有关的问题常用“点差法” : 把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程,作差→弦的斜率与中点的关系; (弦的中点与弦的斜率可以相互表示) (4) 、与双曲线只有一个交点的直线:一相切,二与渐近线平行 与抛物线只有一个交点的直线:一相切,二与对称轴平行 4、圆锥曲线的最值问题:
17

(1) 、利用第二定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离求最值; (2) 、结合曲线上的点的坐标,利用点到直线的距离公式转化为二次函数求最值; 在 y 2 ? 2 px 上的点常设 (

y2 x2 , y) ,在 x 2 ? 2 py 上的点常设 ( x, ) 2p 2p

(3) 、利用数形结合求最值;基本思路:与直线平行,与曲线相切. (椭圆中,长轴是最长的弦;双曲线中,实轴是最短的弦。 ) 第九章 直线 平面 简单的几何体 1、 平面的性质: 公理 1:如果有一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 公理 2:如果两个平面有一个公共点, 那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是一条直线。 (两平面相交,只有一条交线) P ? ? ? ? ? ? ? ? ? l 且 P ? l
a

P

公理 3:不在同一直线上的三点确定一个平面。(强调“不共线”) (三个推论:1、直线和直线外一点,2、两条相交直线,3、两条平行直线,确定一个平面) 空间图形的平面表示方法:斜二测画法(水平长不变,竖直长减半) 2、 两条直线的位臵关系:平行,相交,异面:不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 (1) 、异面直线判断方法:①定义, ②判定:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面不经过此点的直线是异面直线. (两在两不 在) (2) 、两条直线垂直:两条异面直线所成的角是直角,这两条直线互相垂直. a 垂直相交(共面) 、异面垂直,都叫两条直线互相垂直. A (3) 、空间平行直线:公理 4:平行于同一直线的两条直线互相平行。 α 3、直线与平面的位臵关系: 直线在平面内 a∩α =A 直线在平面外 直线与平面相交,记作 a∩α=A a 直线与平面平行,记作 a//α 4、直线与平面平行:定义:直线和平面没有公共点。 α (1) 、判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行, a//α 那么这条直线和这个平面平行. (线线平行 ? 线面平行)

?

?

l ? ? , m ? ? , 且l // m ? l // ?

(2) 、性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么 这条直线和交线平行. (线面平行 ? 线线平行) l // ? , l ? ? , ? ? ? ? m ? l // m 5、两个平面平行:定义:两个平面没有公共点。 (1) 、判定定理:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面, β α l m

那么这两个平面平行。 (线面平行 ? 面面平行) 推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行与另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行。

(2) 、性质定理:①两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行 ? 线线平行) ②两个平面平行,其中一个平面内的直线,平行于另一个平面; (面面平行 ? 线面平行) ③夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。 平行间的相互转化关系:线线平行 线面平行 面面平行 6、直线和平面垂直:定义:如果一条直线和一个平面相交,且和这个平面内的任意一条直线都垂直,叫 直线和平面垂直。 (常用于证明线线垂直:线面垂直 ? 线线垂直) (1) 、判定定理:一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则直线和这个平面垂直。 (线线垂直 ? 线面垂
18

直) (2) 、性质定理:①过一点和已知平面垂直的直线只有一条,过一点和已知直线垂直的平面只有一条。 ②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面。 ③线段垂直平分面内的任意一点到线段两端点距离相等。 ‘ (3)正射影:自一点 P 向平面 ? 引垂线,垂足 P 叫点 P 在 ? 内的正射影(简称射影) 斜线在平面内的射影: 过斜线上斜足外一点, 作平面的垂线, 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的射影。 (4)三垂线定理:在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直,则它和这条斜线垂直。 逆定理:在平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直,则它和这条斜线的射影垂直。 P a O a A A

?
D E

?
C

B

7、两个平面垂直:定义:平面角是直角的二面角叫直二面角,相交成直二面角的两个平面垂直。 (1) 、判定定理:一个平面过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 (线面垂直 ? 面面垂直) (2) 、性质定理:两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线,垂直于另一个平面。 (面面垂直 ? 线面垂 直) 垂直间的相互转化关系:线线垂直 线面垂直 面面垂直 8、空间向量:在空间具有大小和方向的量,空间任意两个向量都可用同一平面内的有向线段表示。 (1) 、共线向量定理:空间任意两个向量 a , b ( b ? 0 ) a // b ? a ? ? b ( ? ? R ) , P 空间直线的向量参数表达式(P 在面 MAB 内的充要条件) :

B

a
A

OP ? OA ? t a 或 OP ? OA ? t AB ? (1 ? t )OA ? tOB
当t ?

( a 叫直线 AB 的方向向量) O

1 1 时,点 P 是线段 AB 的中点,则 OP ? (OA ? OB ) 2 2

(2) 、共面向量定理:两个向量 a , b 不共线,则向量 p 与 a , b 共面 ? p ? xa ? yb ( x, y ? R ) 平面的向量表达式(P 在面 MAB 内的充要条件) MP ? xMA ? y MB 或 OP ? OM ? xMA ? y MB : O 为空间任一点,当 OP ? xOA ? yOB ? zOC 且 x ? y ? z ? 1 时,P、A、B、C 四点共面。 (3) 、空间向量基本定理:如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个的唯一有 序实数组 x,y,z,使 p ? xa ? yb ? zc , { a , b , c }叫基底, a 、 b 、 c 叫基向量。 如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么空间向量组成的集合为 { p | p ? xa ? yb ? zc,  x , y, z ? R} 。 (4) 、两个向量的数量积: a ? b ?| a || b | cos ? a, b ? ,向量 a 的模| a |: | a | 2 ? a ? a 向量 a 在单位向量 e 方向的正射影是一个向量,即 a ? e ?| a | cos ? a, e ? , a ? b ? a ? b ? 0 (5) 共线向量或平行向量:所在的直线平行或重合的向量; 直线的方向向量:和直线平行的向量; 、 共面向量:平行于同一平面的向量; 平面的法向量:和平面垂直的向量。
19

法向量的求法:设是 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ) 平行于平面的两个不共线向量,

z

?a ? n ? 0 ? 。 n ? ( x, y, z) 是平面的法向量,则: ? ?b ? n ? 0 ?
9、 空间直角坐标系:单位正交基底常用 {i, j, k} 来表示。 (如图)
2
2

y x
2

i ? (1,0,0) j ? (0,1,0) k ? (0,0,1)其中: i ? 1 , j ? 1 , k ? 1 , i ? j ? 0 , i ? k ? 0 ,

j ? k ? 0,

1、空间向量的坐标运算:设 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则 (1) a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (2) a ? b ? ((a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3) ? a ? ? ? (a1 , a2 , a3 ) ? (?a1 , ?a2 , ?a3 ) ( ? ? R ) ; (4) a ∥ b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (即

a1 a2 a3 ; ? ? ??) b1 b2 b3

(5) a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? 0 . (6) a ? b ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ;∵

a 〃 b =| a || b |cos< a , b >
2 2 2 2 2 2

∴ a 〃 b = a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 = a1 ? a 2 ? a3 〃 b1 ? b2 ? b3 〃cos< a , b > 由此可以得出:两个向量的夹角公式 cos< a , b >=

a1b1 ? a 2 b2 ? a3 b3
2 2 2 a12 ? a 2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

当 cos<a、b>=1 时,a 与 b 同向;当 cos<a、b>=-1 时,a 与 b 反向;当 cos<a、b>=0 时,a⊥b. 在空间直角坐标系中,已知点 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z 2 ) , AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) A、B 两点间的距离公式: d A、B ? A、 B 中点 M 坐标公式: OM ?

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2

1 x ? x 2 y1 ? y 2 z1 ? z 2 (OA ? OB ) = ( 1 , , ) 2 2 2 2

10、角 (1) 、等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相同。 (2) 、最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的 角中最小的.公式: cos? ? cos?1 ? cos? 2 ; (3) 、角的范围: ①、异面直线所成的角的范围: 0 ? ? ? O

?
2

?1 ? A ?2

B
20

?

C

两条直线所成的角的范围: 0 ? ? ?

?
2

两个向量所成的角的范围: 0 ? ? ? ?

②、斜线与平面所成的角的范围: 0 ? ? ? 直线与平面所成的角的范围: 0 ? ? ?

?

?

2

③、二面角的范围: 0 ? ? ? ? (4) 、定义及求法: ①、异面直线所成的角:已知两条异面直线 a 、 b ,经过空间任一点 O 作 a ' ∥ a , b ' ∥ b , a ' 与 b ' 所成的 锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) .范围: ? ? (0,

2

?

2

].

求法一:作平行线;求法二: (向量)两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦。 ②、斜线和平面所成的角:一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角;斜线和平面不垂直,不平行。 。 如果直线和平面平行或在平面内,则直线和平面所成的角是 0 的角。 求法一:公式 cos? ? cos?1 ? cos? 2 ;求法二:解直角三角形,斜线、斜线的射影、垂线构成直角三角形; 求法三:向量法:已知 PA 为平面?的一条斜线,n 为平面?的一个法向量,过 P 作平面?的垂线 PO,连结 OA 则?PAO 为斜线 PA 和平面?所成的角为?,则

sin ? ?| sin(

?
2

? ? OP , AP ?) |
?

P n ? O A O B O’ B’

?

A A’

| n ? PA | ?| cos ? OP, AP ?|?| cos ? n, AP ?|? | n || PA |

③、二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角,直线叫二面角的棱; ? 二面角的平面角:垂直于二面角的棱,且与两个半平面的交线所成的角。 求法一:几何法:一作二证三计算.利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角,再解直角三角形; 求法一:向量法:二面角的两个半平面的法向量所成的角(或其补角)

?

n1 和 n2 分别为平面?和?的法向量,记二面角 ? ? l ? ? 的大小为?, A 则?

?? n1 ,n2 ? 或 ? ? ? ? ? n1 ,n2 ? (依据两平面法向量的方向而定)
n1

总有 | cos?

|?| cos ? n1 , n2 ?| =

| n1 ? n2 | | n1 || n 2 |



n2

O

A



B

?

?
A l

若该二面角为锐二面角 则 ? ? arccos

| n1 ? n 2 | ?

| n1 || n 2 |
若二面角 ? ? l ? ? 为钝二面角则 ? ? ? ? arccos

?
A


| n1 ? n2 |
n

O P

B

?

| n1 || n2 |
11、距离(满足最小值原理) (1) 、点到平面的距离:一点到它在平面内的正射影的距离; 求法一:解直角三角形;求法二:等积法,利用体积相等; 求法三:向量法:如图点 P 为平面外一点,点 A 为平面内的任一点,

?

O

? A

21

平面的法向量为 n,过点 P 作平面?的垂线 PO,记 PA 和平面?所成的角为?, 则点 P 到平面的距离 d

?| PO |?| PA | sin ? ?| PA |

| n ? PA | | n ? PA | ? | n || PA | |n|

(2) 、直线到平行平面的距离:直线上任一点到与它平行的平面的距离;求法:转化为点到平面的距离求。 (3) 、两个平行平面的距离:两个平行平面的共垂线段的长度;求法:转化为点到平面的距离来求。 (4) 、异面直线的距离:两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分; (公垂线是唯一的,必须垂直相 交) 求法一:解直角三角形;求法二:异面直线上任意两点的距离公式: l ? d ? m ? n ? 2mncos?
2 2 2 2

求法三:向量法:先求两条异面直线的一个公共法向量,再求两条异面直线上两点的连线在公共法向量上 的射影长。设 E、F 分别是两异面直线上的点, n 是公共法向量,则异面直线之间的距离 d ?

EF ? n n

12、棱柱 (1) 、定义:有两个面互相平行,其余相邻两个面的交线互相平行的多面体叫棱柱。 斜棱柱(侧棱不垂直底面)——直棱柱(侧棱垂直底面)——正棱柱(底面是正多边形的直棱柱) (2) 、性质:①、棱柱的侧面是平行四边形,所有侧棱都相等;过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; 直棱柱的各个侧面都是矩形;正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。 ②、棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形。 (3) 、平行六面体——直平行六面体——长方体——正方体,平行六面体 ? 四棱柱 c b ①、平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分; ②、长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和; l ? a ? b ? c
2 2 2 2

a

③、正方体的对角线长 l ? 3a ,正方体的面对角线可构成一个正四面体(如图) 。 13、棱锥 (1) 、定义:一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫棱锥; 底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥。 (2) 、性质:①、棱锥被平行于底面的平面所截,则

P C ‘ ′ C O B

S1 h1 V1 h1 ;中截面。 A ? , ? S 2 h2 2 V2 h2 3 ‘
A

2

3

O



②、正棱锥各侧棱相等,斜高相等,各侧面是全等的等腰三角形; ③、正棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成直角三角形, 高、侧棱和侧棱在底面的射影组成直角三角形。 14、正多面体:每个面都有相同边数的正多边形,每个顶点都有相同的棱数。 正多边形 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 顶点数 V 4 8 6 20 12 面 数F 4 6 8 12 20 棱 数E 6 12 12 30 20 欧拉公式:V+F-E=2 15、球: (1) 、定义:与顶点的距离等于或小于定长的点的集合叫球体; 四 八 六 二十 十二

′ B ‘ ′

以各面的中心为顶点的正多面体

O R d rO


22

与顶点的距离等于定长的点的集合叫球面; (2) 、性质:①、截圆:一个平面截一个球面,截面是一个圆面; 圆心是球心在圆面上的射影, r ?

R2 ? d 2

; B

N O


过球心的截圆叫大圆,过球面上任意两点的大圆有一个或无数个; 不过球心的截圆叫小圆。平行于赤道的小圆叫纬线或纬圆。 ②、纬度:纬线上一点的球半径与赤道面所成的线面角的度数; 图中: ?AOC, ?BOA 都是纬度;常用 ?O AO ? ?AOC
'

A O

T D

经度: 以南北轴 SN 为棱的二面角的度数; 图中: ?TOD, ?TOC 都是经度;常用经度差 ?COD ? ?AOB

C

S (3) 、两点的球面距离:经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度,是球面上两点的最短连线的长度。 求法:球心角的弧度数乘以球半径,即 l ? ? ? R 。 (4) 、球的体积公式:V ?

4 ? R 3 ,球的表面积公式: S ? 4? R 3

2

,柱体 V ? s ? h ,锥体 V ?

1 s?h 3

第十章 排列 组合 二项式定理 1、计数原理:分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? ? mn .(每步都能完成) 分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ??? mn . (多步才能完成) 2、 排列: (1)定义:从 n 个不同元素中取出 m(n≤m)个元素,按照一定的顺序排成一列,与顺序有关。
m (2) 、排列数公式: An = n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) =

n! * .( n , m ∈N ,且 m ? n ). (n ? m)!
n n n?1
n n?1 n ; nAn ? An?1 ? An

(3) 、全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列; An ? n!; An ? nAn?1

(4) 、价乘:正整数 1 到 n 的连乘积; n!? n(n ? 1)(n ? 2) ? ?? 3 ? 2 ? 1 ? n ? (n ? 1)! ;0!=1 3、组合: (1)定义:从 n 个不同元素中取出 m(n≤m)个元素,并成一组,与顺序无关; (组合完成了排列的第一步: An (2) 、组合数公式: C
m n =

m

m m 。 ? Cn ? Am )

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! 0 * = = ( n , m ∈N ,且 m ? n ); Cn ? 1; m 1? 2 ? ? ? m m!(n ? m)! ? Am

m n m m m r r ?1 (3)组合数的两个性质: C n = C n ?m ; C n + Cn ?1 = Cn?1 ;例如 Crr ? Crr?1 ? Crr?2 ? ? ? Cn ? Cn?1 .
0 1 2 r n 4、二项式定理 : 、定理: (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? Cn a n?2b 2 ? ? ? Cn a n?r b r ? ? ? Cn b n ; (1)

例: (1 ? x) n ? 1 ? Cn x ? Cn x 2 ? ? ? Cn x r ? ? ? Cn x n ;熟练公式的顺用和逆用。
1 2 r n

(2) 、二项展开式的通项公式(第 r+1 项) Tr ?1 ? Cn a :
r

n ?r

1, b r (r ? 0,2?,n) ,处理常数项等有关的问

题。 (3) 、二项式系数:①、定义:二项展开式中的系数 Cn (r ? 0,1,2,?, n) 叫二项式系数;
r

②、性质:对称性:Cn =Cn

m

n-m;

,直线 r ?

n r 是函数 f (r ) ? Cn (r ? 0,1,2,?, n) 的对称轴; 2
n n ?1 2

增减性与最大值: n 为偶数时, (当 中间一项最大:C n 2 ; n 为奇数时, 当 中间两项最大:C n
0 1 2 3 4 r n n

? Cn

n ?1 2 )

各二项式系数和:Cn +Cn +Cn + Cn + Cn +…+Cn +…+Cn =2 (表示含 n 个元素的集合的所有子集的个数) 。 0 2 4 6 1 3 5 7 n -1 奇数项二项式系数的和=偶数项二项式系数的和:Cn +Cn +Cn + Cn +…=Cn +Cn +Cn + Cn +…=2
23

(4) 多项式各项系数 、 (赋值法) f ( x) ? (ax ? b) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? ? ? an x n , a0 ? f (0) , : 则 各项系数和: a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? f (1) ,另外 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? (?1) n an ? f (?1) 偶数项系数和: a 0 ? a 2 ? a 4 ? ? ?

f (1) ? f (?1) f (1) ? f (?1) ,奇数项系数和: a1 ? a3 ? a 5 ? ? ? 2 2

第十一章:概率: 1、概率(范围) :必然事件: P(A)=1,不可能事件: P(A)=0,随机事件: 0<P(A)<1。 2、等可能性事件的概率: P ( A) ?

m . n

3、互斥事件有一个发生的概率:互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). n 个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). “ 至 少 有 一 个 发 生 ”: P( AB ? AB ? AB) ? 1 ? P( AB) , “ 至 多 有 一 个 发 生 ”

P( AB ? AB ? AB) ? 1 ? P( AB) 对立事件:事件 A、B 不可能同时发生,但 A、B 中必然有一个发生;即 A、
B 对立:P(A)+ P(B)=1 4、独立事件同时发生的概率:独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A〃B)= P(A)〃P(B). n 个独立事件同时发生的概率 P(A1〃 A2〃…〃 An)=P(A1)〃 P(A2)〃…〃 P(An).
k n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 P (k ) ? Cn Pk (1 ? P)n?k . n

24


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