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2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编3:三角函数(附答案)


2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 3:三角函数
一、选择题 1 . (2013 年高考大纲卷(文) )已知 a 是第二象限角, sin a ?

A. ?

12 13

B. ?

5 13

C.

5 13

5 , 则cosa ? 13 12 D. 13





2 . (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) )函数 f ( x) ? (1 ? cos x) sin x 在 [ ?? , ? ] 的图像大致为

3 . (2013 年高考四川卷(文) )函数

f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则 ? , ? 的

值分别是(



A. 2, ?

?
3

B. 2, ?

?
6

C. 4, ?

?
6

D. 4,

? 3
3 b,则角 A 等于______
( )

4 . (2013 年高考湖南(文) )在锐角 ? ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2sinB=

A.

?
3

B.

?
4

C.

?
6

D.

?
12 ) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位长度后
( )

5 . (2013 年高考福建卷(文) )将函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )(?

?
2

?? ?

?
2

得到函数 g ( x) 的图象,若 f ( x), g ( x) 的图象都经过点 P (0, A.

3 ) ,则 ? 的值可以是 2
D.

5? 3

B.

5? 6

C.

?
2

?
6

6 . (2013 年高考陕西卷(文) )设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则

△ABC 的形状为 A.直角三角形
7 . ( 2013

( B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定



年 高 考 辽 宁 卷 ( 文 )) 在

?ABC , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 长 分 别 为
( D. )

1 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 且a ? b, 则?B ? 2 2? ? ? A. B. C. 3 6 3

5? 6

8 . (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= ,C= ,则△ABC 的面积

为 A.2 +2 B. +1 C .2 -2 D. -1





9 . (2013 年高考江西卷(文) ) 若 sin

?
2

?

3 ,则 cos ? ? 3
C.





A. ?
10.

2 3

B. ?

1 3

1 3

D.

2 3
( )

?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若 B ? 2 A , a ? 1 , b ? 3 ,则 c ?
A. 2 3 B.2 C. 2 D.1

11. (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )已知 sin2α = ,则 cos (α + )=

2





A.

B.

C.

D. ( )

12. (2013 年高考广东卷(文) )已知 sin(

A. ?

2 5

B. ?

1 5

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? 2 5 1 2 C. D. 5 5

13. (2013 年高考湖北卷(文) )将函数 y ? 3 cos x ? sin x ( x ? R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后,所得到

的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A.
π 12

( C.
π 3



B.

π 6

D.

5π 6

14. (2013 年高考大纲卷(文) )若函数 y ? sin ?? x ? ? ??? ? 0 ?的部分图像如图,则? =





A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

?? ? ? ?? 15. (2013 年高考天津卷(文) )函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? 在区间 ?0, ? 上的最小值是 4? ? ? 2?
A. ?1 B. ?
2 2





C.

2 2

D.0

16. (2013 年高考安徽(文) )设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,若 b ? c ? 2a,3sin A ? 5sin B ,

则角 C = A.





?
3

2? B. 3

3? C. 4

5? D. 6

17 .( 2013

年 高 考 课 标 Ⅰ 卷 ( 文 )) 已 知 锐 角

?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为
( D. 5 )

a, b, c , 23cos 2 A ? cos 2 A ? 0 , a ? 7 , c ? 6 ,则 b ?
A. 10 B. 9 C. 8

18. (2013 年高考浙江卷(文) )函数 f(x)=sin xcos x+

3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 ( 2
D.2π ,2



A.π ,1

B.π ,2

C.2π ,1

19. (2013 年高考北京卷(文) )在△ABC 中, a ? 3, b ? 5 , sin A ?

1 ,则 sin B ? 3
D.1





A.

1 5

B.

5 9

C.

5 3

20. (2013 年高考山东卷(文) )函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为

二、填空题 21. (2013 年高考四川卷(文) )设 sin 2?

? ? sin ? , ? ? ( , ? ) , 则 tan 2? 的值是________. 2 ? 22 . ( 2013 年高考课标 Ⅱ 卷(文) ) 函数 y ? cos(2 的图像向右平移 个单位后 , 与函数 x ? ? )( ?? ? ? ? ? ) 2
y ? sin(2 x?

?

?

23 . ( 2013 年 上 海 高 考 数 学 试 题 ( 文 科 ) ) 已 知 ?ABC 的 内 角

3

的图像重合,则 | ? |? ___________. )

A 、 B 、 C 所对的边分别是 a , b , c .若

a 2 ? ab ? b2 ? c 2 ? 0 ,则角 C 的大小是________(结果用反三角函数值表示).
24. (2013 年上海高考数学试题(文科) )若 cos x cos y ? sin x sin

1 y ? ,则 cos ? 2 x ? 2 y ? ? ________. 3

25. (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) )设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则 cos ? 26. (2013 年高考江西卷(文) )设 f(x)=

? ______.

sin3x+cos3x,若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的取值范围是

__________.

三、解答题 27. (2013 年高考大纲卷(文) )设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac .

(I)求 B

(II)若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求 C . 4

28. (2013 年高考湖南(文) )已知函数 f(x)=

(1) 求 f (

2? ) 的值;(2) 3

求使 f ( x) ?

1 成立的 x 的取值集合 4

29. (2013 年高考天津卷(文) )在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 b sin A ? 3c sin B , a = 3,

cos B ?

2 . 3

?? ? (Ⅰ) 求 b 的值; (Ⅱ) 求 sin ? 2 B ? ? 的值. 3? ?

30. (2013 年高考广东卷(文) )已知函数 f ( x) ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?

(1) 求 f ?

3 ?? ?? ? ? 3? ? ? ? 的值;(2) 若 cos ? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 f ? ? ? ? . 5 6? ?3? ? 2 ? ?

31. (2013 年高考山东卷(文) )设函数 f ( x) ?

3 ? 3 sin 2 ? x ? sin ? x cos ? x (? ? 0) ,且 y ? f ( x) 的图象的 2
,

一个对称中心到最近的对称轴的距离为 (Ⅰ)求 ? 的值(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [? ,

?
4

3? ] 上的最大值和最小值 2

32. (2013 年高考浙江卷(文) )在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,

且 2asinB= 3b . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.

33( .2013 年高考福建卷 (文) ) 如图,在等腰直角三角形 ?OPQ 中, ?OPQ ? 90 , OP ? 2
?

2 ,点 M 在线段 PQ 上.

(1)若 OM ?

3 ,求 PM 的长;

(2)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30? ,问:当 ?POM 取何值时, ?OMN 的面积最小?并求出面积的最 小值.

1 34. (2013 年高考陕西卷(文) )已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· b. 2

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

35. (2013 年高考重庆卷(文) )(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 4 分,(Ⅱ)小问 9 分)

在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? c ? 3ab .
2 2 2

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)设 a ? 3 , S 为△ ABC 的面积,求 S ? 3cos B cos C 的最大值,并指出此时 B 的值.

36. (2013 年高考四川卷(文) )在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

3 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B)sin( A ? c) ? ? . 5

(Ⅰ)求 sin A 的值;(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

??? ?

??? ?

37. (2013 年高考江西卷(文) )在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.

(1) 求证:a,b,c 成等差数列;(2) 若 C=

2? 3

,求

a 的值. b

38. (2013 年高考湖北卷(文) )在△ ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c . 已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C) ? 1 .

(Ⅰ)求角 A 的大小;

(Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

39. (2013 年高考安徽(文) )设函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
3

).

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值,并求使 f ( x) 取得最小值的 x 的集合; (Ⅱ)不画图,说 明函数 y ? f ( x ) 的图像可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变化得到.

40. (2013年高考北京卷(文) )已知函数

1 ( f x) ? (2cos 2 x ? 1)sin 2 x ? cos 4 x . 2
(II)若 ? ? (

(I)求 ( 的最小正周期及最大值; f x)

?
2

f ?) ? , ? ) ,且 (

2 ,求 ? 的值. 2

41. (2013 年上海高考数学试题(文科) )本题共有 2 个小题.第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 . (1)令 ? ? 1 ,判断函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ?

?
2

) 的奇偶性并说明理由;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再往上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像. 6

对任意的 a ? R ,求 y ? g ( x) 在区间 [a, a ? 10? ] 上零点个数的所有可能值.

42. (2013 年高考辽宁卷(文) )设向量 a ?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(I)若 a ? b .求x的值;

b, 求f ? x ?的最大值. (II)设函数 f ? x ? ? a ?

2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 3:三角函数
一、选择题 1、A 11、A 二、填空题 21、 3 22、 三、解答题 27、 【答案】(Ⅰ)因为 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac , 所以 a ? c ? b ? ?ac .
2 2 2

2、C; 3、A 4、A 12、C 13、B

5、B

6、A 15、B

7、A 16、B

8、B 17、D

9、C 18、A

10、B 19、B 20、D

14、B

5? 6

23、

2? 3

24、 ?

7 9

25、 ?

2 5 ;26、 a ? 2 5

由余弦定理得, cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? ? , 因此, B ? 1200 . 2ac 2
0

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A ? C ? 60 ,所以

cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ? cos A cos C ? sin Asin C ? 2sin Asin C ? cos( A ? C ) ? 2sin A sin C ?
0 0

1 3 ?1 3 ? 2? ? , 2 4 2
0
0

故 A ? C ? 30 或 A ? C ? ?30 , 因此, C ? 15 或 C ? 45 .
28、 【答案】解: (1) f ( x) ? cos x ? (cos x ? cos

?

? 1 3 1 1 ? sin x ? sin ) ? (sin 2 x ? ? cos 2 x ? ) ? 3 3 2 2 2 4

?

1 ? 1 2? 1 3? 1 1 2? 1 sin( 2 x ? ) ? ? f ( ) ? sin ? ? ? .所以f ( ) ?? ? . 2 6 4 3 2 2 4 4 3 4

(2)由(1)知,

1 ? 1 1 ? ? sin( 2 x ? ) ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 0 ? (2 x ? ) ? (2k? ? ? ,2k? ) 2 6 4 4 6 6 7? ? 7? ? ? x ? (k? ? , k? ? ), k ? Z .所以不等式的解集是: (k? ? , k? ? ), k ? Z . 12 12 12 12 f ( x) ?
29、 【答案】

?? ? ?? ? ? ?? ? f ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? ? ? 1 ? 3 12 ? ?4? 30、 【答案】(1) ? 3 ?
(2)? cos ? ?

3 4 ? 3? ? , ? ? ? , 2? ? , sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

?? ?? ? ?? 1 ? ? ? ? f ? ? ? ? = 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? . 6? 4? 4 4? 5 ? ? ?
31、 【答案】

32、 【答案】解:(Ⅰ)由已知得到: 2sin

? 3 A sin B ? 3 sin B ,且 B ? (0, ) ? sin B ? 0 ? sin A ? ,且 2 2

A ? (0, ) ? A ? ; 2 3
(Ⅱ)由(1)知 cos A ?

?

?

1 ,由已知得到: 2
1 28 ? (b ? c)2 ? 3bc ? 36 ? 64 ? 3bc ? 36 ? bc ? , 2 3

36 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ?
所以 S? ABC

?

1 28 3 7 ? ? ? 3; 2 3 2 3

33、 【答案】解:(Ⅰ)在 ?OMP 中, ?OPM

? 45? , OM ? 5 , OP ? 2 2 ,

由余弦定理得, OM 2 ? OP 2 ? MP 2 ? 2 ? OP ? MP ? cos 45? , 得 MP 2 ? 4 MP ? 3 ? 0 , 解得 MP ? 1 或 MP ? 3 . (Ⅱ)设 ?POM ? ? , 0? ? ? ? 60? , 在 ?OMP 中,由正弦定理,得 所以 OM ?

OM OP , ? sin ?OPM sin ?OMP

OP sin 45? OP sin 45? , 同理 ON ? sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ?

故 S ?OMN

1 OP 2 sin 2 45? 1 ? ? OM ? ON ? sin ?MON ? ? 4 sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ? 2

?

1 ? sin ? 45? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? 30? ?

1 ? 3 ? 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? ? 2 ? 2 ?

?

1 3 2 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? 2 2 1 3 3 1 ? sin 2? ? cos 2? 4 4 4 ? 1

?

1 3 1 1 ? cos ? 90? ? 2? ? ? ? sin ? 90? ? 2? ? ? ? ? 4 4

?

3 1 ? sin ? 2? ? 30? ? 4 2

因为 0? ? ? ? 60? , 30? ? 2? ? 30? ? 150? , 所以当 ? ? 30? 时 , sin ? 2? ? 30? ? 的最大值为 1 , 此时 ?OMN 的面积取到最小值.即 2 ?POM ? 30? 时, ?OMN 的面积的最小值为 8 ? 4 3 .
34、 【答案】(Ⅰ) f ( x) ? a· b = cos x ?

1 3 1 ? 3 sin x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) . 2 2 2 6

最小正周期 T ?

2? ?? . 2

所以 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

), 最小正周期为 ? .

(Ⅱ) 当x ? [0,

?

? ? 5? ? 5? ]时, (2 x ? ) ? [- , ],由标准函数y ? sin x在[- , ]上的图像知, . 2 6 6 6 6 6

? ? ? 1 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2
1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1,? . ? 2? 2

35、 【答案】

36、 【答案】解:(Ⅰ)由 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B)sin( A ? c) ? ?

3 得 5

3 3 3 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B) sin B ? ? , 则 cos( A ? B ? B) ? ? ,即 cos A ? ? 5 5 5 4 又 0 ? A ? ? ,则 sin A ? 5 b sin A 2 a b ? (Ⅱ)由正弦定理,有 ,所以 sin B ? , 由题知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ? . ? ? a 2 sin A sin B 4 3 根据余弦定理,有 (4 2 ) 2 ? 5 2 ? c 2 ? 2 ? 5c ? (? ) , 解得 c ? 1 或 c ? ?7 ( 负值舍去), 5 ? ??? ? ??? 2 向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ? 2 2 2 37、 【答案】解:(1)由已知得 sinAsinB+sinBsinC+1-2sin B=1.故 sinAsinB+sinBsinC=2sin B 因为 sinB 不为 0 ,所以 sinA+sinC=2sinB 再由正弦定理得 a+c=2b,所以 a,b,c 成等差数列
(2)由余弦定理知 c ? a ? b ? 2ac cos C 得 (2b ? a) ? a ? b ? 2ac cos
2 2 2

2

2

2

2? a 3 化简得 ? 3 b 5

38、 【答案】(Ⅰ)由 cos 2 A ? 3cos( B ? C) ? 1 ,得 2cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,

即 (2cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 ,解得 cos A ? 因为 0 ? A ? π ,所以 A ?
π . 3

1 或 cos A ? ?2 (舍 去). 2

1 1 3 3 (Ⅱ)由 S ? bc sin A ? bc ? ? bc ? 5 3, 得 bc ? 20 . 又 b ? 5 ,知 c ? 4 . 2 2 2 4

由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 25 ? 16 ? 20 ? 21, 故 a ? 21 .
b c bc 20 3 5 又由正弦定理得 sin B sin C ? sin A ? sin A ? 2 sin 2 A ? ? ? . a a a 21 4 7

39、 【答案】解:(1) f ( x) ? sin x ? sin x cos

?
3

? cos x sin

?
3

3 3 ? ? 1 3 3 3 ? sin x ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x ? ( ) 2 ? ( ) 2 sin( x ? ) ? 3 sin( x ? ) 2 2 6 6 2 2 2 2

3? 4? ? 2k? ,? x ? ? 2k? , (k ? Z ) 6 6 2 3 4? 所以, f ( x) 的最小值为 ? 3 ,此时 x 的集合 {x | x ? ? 2k? , k ? Z } . 3
当 sin( x ?

?

) ? ?1 时, f ( x) min ? ? 3 ,此时 x ?

?

?

(2) y ? sin x 横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍,得 y ? 3 sin x ;

? ? 个单位,得 f ( x) ? 3 sin( x ? ) 6 6 1 1 40、 【答案】解:(I)因为 ( f x) ? (2cos 2 x ? 1)sin 2 x ? cos 4 x = cos 2 x sin 2 x ? cos 4 x 2 2
然后 y ? 3 sin x 向左平移 =

2 ? 2 1 ? sin(4 x ? ) ,所以 f ( x) 的最小正周期为 ,最大值为 . (sin 4 x ? cos 4 x) = 2 4 2 2 2

f ?) ? (II) 因 为 (

2 ? , 所 以 s i n (? 4? ? ) . 1 2 4

因 为 ? ?(

?
2

,? ), 所 以 4? ?

?

9 ? 1 7? ?( , ), 所 以 4 4 4

4? ?

?
4

?

5? 9? ,故 ? ? . 2 16

41、 【答案】法一:解:(1) F ( x) ? 2sin x ? 2sin( x ?

?

) ? 2sin x ? 2cos x ? 2 2 sin( x ? ) 2 4

?

F ( x) 是非奇函数非偶函数.
∵ F (?

?

) ? 0, F ( ) ? 2 2 ,∴ F (? ) ? F ( ), F (? ) ? ? F ( ) 4 4 4 4 4 4

?

?

?

?

?

∴函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ?

?

2

) 是既不是奇函数也不是偶函数. ) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 , 其最小正周期 T ? ? 6 3 ? 1 ? k ? ,∴ 2 x ? ? k? ? (?1) ? , k ? Z sin(2 x ? ) ? ? 3 2 3 6

(2) ? ? 2 时, f ( x) ? 2sin 2 x , g ( x) ? 2sin 2( x ? 由

?

?

2sin(2 x ? ) ? 1 ? 0 , 得 3 k? ? ? x? ? (?1) k ? ? , k ? Z 区间 ? a, a ? 10? ? 的长度为 10 个周期, 2 12 6

?

,



若零点不在区间的端点,则每个周期有 2 个零点; 若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含 3 个零点,其它区间仍是 2 个零点; 故当 a ?

k? ? ? ? (?1)k ? ? , k ? Z 时,21 个,否则 20 个. 2 12 6

法二:

42、 【答案】


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