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从近三年高考理科数学试题谈高中统计与概率的教学


第 15 卷 第 3 期 2013 第 15年 卷6 月 第3期

遵义师范学院学报 Journal遵义师范学院学报 of Zunyi Normal College

Vol.15,No.3 Jun.2013 2013 年6月

从近三年高考理科数学试题谈高中统计与概率的教学
赵兴杰, 蒋路琴
(遵义师范学院 数学与计算科学学院, 贵州 遵义 563002) 摘 要: 通过对 2010 ~ 2012 年全国各省 (市、 区) 高考理科统计与概率试题的统计分析, 总结出高中统计与概率命题所设计的主 要知识点与学生解题能力要求, 提出高中统计与概率教学应该注重对概念的理解, 重视概率与其他知识点的联系, 注意让学生 联系生产和生活实际体会用样本估计总体及其数值特征的思想。 关键词: 高考; 统计; 概率; 特点; 教学 中图分类号: G420 文献标识码: A 文章编号: 1009-3583 (2013) -0106-04

On the teaching of the Course“Statistics and Probability”of High School
ZHAO Xing-jie, JIANG Lu-qin
(School of Mathematics and Computing Science, Zunyi Normal College, Zunyi 563002, China) Abstract: After making an analysis of the test questions about “statistics and probability” from the science paper for university entrance exam from 2010 to 2012, the author of this paper draws the conclusion as follows: the main knowledge points about “statistics and probability” agree with the students’ability of solving questions; the understanding of the concepts should be stressed; the relation of probability to other knowledge should be attached importance to, and etc. Key words: university entrance exam; statistics; probability; features; teaching

高中统计与概率教学内容分布在《普通高中数 学课程标准 (实验) 》 (简称 《课标》 以下同) 教科书数 学 2 第三章和选修 2-2, 在高考中所占的分值通常为 20 分左右, 并且随着社会的发展, 统计与概率知识已 被广泛应用。因此,统计与概率是高中数学教学的 重要内容之一。以研究高考试题来认识统计与概率 教学内容、把握教学重点和教学要求是提高教学水 平的重要途径之一。 近年来有不少研究高考统计与概率的文献。如 文 [4] 通过对教材内容以及高考考点进行分析, 得到 高考考查的知识点, 并提出了相应的复习建议; 文[5] 通过对 2010 年全国及各省 (市、 区) 高考理科统计与 概率试题的统计分析,得到主要的知识点与学生能 力要求, 并据此提出相应的教学建议; 文[6]通过对比

分析 2009 ~ 2010 年概率与统计试题在新课标下的 考查特点、 题型的演化趋势, 预计高考概率统计的命 题会在继续保持稳定的前提下有所创新;文 [7] 对 2009 ~ 2011 年的高考概率统计试题进行了详细分 析,并为高三复习提出了建议;文 [8] 选取 2000 ~ 2004 年高考数学理科概率统计试题进行分析, 总结 出高考中有关概率统计试题的解题方法。上述文献 虽然从不同的角度对概率统计作了相应的探讨和研 究,但从连续三年全国所有高考试题的研究来认识 概率统计教学内容的文献尚未见发表。 本文以 2010 ~ 2012 年高考理科概率统计试题为基本材料, 在分 析试题的知识点及能力要求的基础上,提出对高中 统计与概率教学要求的认识和教学参考意见。 1 试题分析

收稿日期: 2013-03-04 基金项目: 贵州省教育厅资助项目 (黔教科(2011)050) ; 贵州省基础教育科研教育教学实验课题 (2012B275) 作者简介: 赵兴杰, 男, 贵州遵义人, 遵义师范学院数学与计算科学学院教授, 主要从事数学教学研究。

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赵兴杰等?从近三年高考理科数学试题谈高中统计与概率的教学 1.1 主要知识点 1.1.1 统计部分 从近三年 51 套高考数学试题来看, 统计部分试 题都以离散型随机变量分布列、期望的求为主要知 识点, 一般出现在解答题中。有不少地区 (如: 2010 年陕西、 新课标、 湖南、 江西; 2011 年的广东、 北京; 2012 年的江苏等) 的命题考察了三大抽样方法 (随机 抽样、 分层抽样、 系统抽样) 以及频率分布直方图。 有 部分地区还考察了正态分布 (如: 2010 年的浙江、 山 东、 广东、 天津; 2011 年的湖北; 2012 年的新课标等) 、 均值与方差 (如: 2011 年的北京; 2012 年的湖北、 安 徽) 。有少数地区还考察了线性回归 (如: 2011 年的 陕西、 山东、 广东; 2012 年的湖南等) 与茎叶图 (2010 年的天津; 2011 年的北京等) 。 1.1.2 概率部分 概率部分在高考中的主要考点有:独立事件的 概率乘法公式、 互斥事件的概率加法公式 (2010 年的 上海、 重庆; 2012 年的天津、 陕西) 、 n 次独立重复试 验中恰好 (或至少、 或至多) 发生 k 次的概率 (2010 年 湖北、 重庆、 四川、 新课标、 陕西; 2011 年重庆、 湖北; 2012 年的江西、 陕西等) 、 等可能性事件的概率 (2010 年的湖北、 江苏、 江西; 2011 年的湖南、 江西; 2012 年 的湖南、 北京等) 。 其中重点是上述四种事件的概率, 难点是如何在实际问题中区分独立事件、互斥事件 与对立事件。 1.2 主要能力要求 通过对近三年统计与概率试题的统计来看,大 多数试题的主要能力要求为:掌握频率与概率的关 系、 会求等可能性事件、 对立事件、 互斥事件、 独立事 件、 n 次独立重复事件恰好 (至少、 至多) 发生 k 次的 概率, 并掌握他们之间的联系与区别, 能根据所给条 件选择正确的概率计算方法,构造离散型随机变量 的分布列, 并求数学期望; 能根据简单随机抽样的统 计图表计算某个频数、某一部分的样本容量以及相 应的概率, 运用概率知识解决实际问题; 能根据样本 的频率分布估计总体,会用样本的基本数字特征估 计总体的数值特征;会根据实际情况选择适当的简 单随机抽样方法,其中重点掌握分层抽样与系统抽 样的方法;具有获取信息并对其进行分析和筛选的 能力, 能够从大量信息中筛选出与问题有关的信息。 2 高考统计与概率命题特点 近三年的高考试题,关于概率与统计的题型在 传统中见创新, 在题目的立意上一年比一年灵活、 新 颖, 一般以中等难度或中等偏易题为主, 其中统计约 占 5 分左右, 命题具有以下特点。 2.1 高考考查的重点 从 51 套试题的统计来看, 对随机事件概率的考 查主要体现在对概念的理解和公式的运用上,其中 互斥事件、 对立事件、 独立重复试验、 相互独立事件、 等可能事件是高考考查的重点,一般会将这五种概 率问题与离散型随机变量的分布列、 数学期望、 方差、 独立性检验、 抽样图表有机融合, 以考察学生处理概 率问题的方法、 思维能力和运算能力。 2.2 离散型随机变量的分布列和期望是必考内容 从近三年的试题可以看出,离散型随机变量的 分布列及其期望是全国卷、 所有省 (区、 市) 每年必考 的内容, 并且每年的要求都有所加强, 几乎每年都会 有一个大题, 其中分类思想在其中的运用甚为广泛, 同时也会与排列组合综合起来考察。 2.3 概率与其他知识综合 随着新课改的实施,高考概率试题出现了与其 他知识点综合起来考察的现象: 概率与数列、 概率与 排列组合、 概率与函数、 概率与方程、 概率与线性规 划化、 概率与不等式等综合问题在高考中时有出现。 如: 2010 年的福建卷将概率与不等式联系; 2011 年 的海南卷将概率与函数联系起来考, 尤其是 2012 年 这种趋向表现得更加明显; 2012 年的广东卷将概率 与方程联系起来, 新课标卷主要考查分段函数模型, 湖北卷将概率与方程综合,江苏卷考了概率与集合 的综合问题。 2.4 统计与概率的融合也是近些年考查的热点 通过对近三年高考试题的研究发现,高考中频 繁出现统计与概率的综合题, 一般以通过统计图、 表, 将抽样方法与概率问题有机的结合起来考察,往往 出现在解答题中,主要考察学生运用统计知识解决 实际问题的能力、抽象概括和处理数据的能力以及 知识点之间相互衔接的能力。 3 对统计与概率教学的几点启示 研究高考试题不是仅仅为了应对高考。其实高 考的命题源于课程教学标准,高考的命题内容很大 程度上反映了课程标准的教学要求,并且能够引导 教育者加深对教学内容和教学方式的认识。据此, 对高中数学统计与概率的教学有以下启示。 3.1 注重对概念的理解 ? 107 ?

第 15 卷

第3期

遵义师范学院学报

2013 年 6 月

从上述高考命题特点分析以及高考题型可以看 出,统计与概率中的离散型随机变量的分布列及其 期望是历年所有试卷的必考内容,而这一部分内容 是以对立事件的概率、 互斥事件的概率、 在 n 次独立 重复试验中恰好 (或至少、 或至多) 发生 k 次的概率 等常见的概率的计算、 古典概型、 几何概型的概率计 算为基础, 要想真正理解这部分的内容, 就必须理解 概率的概念、 互斥事件、 独立事件、 古典概型、 几何概 型的概念, 掌握互斥事件、 独立事件、 对立事件之间 的联系与区别。 3.2 使学生体会用样本估计总体及其特征的思想 《课标》 要求: “让学生体会分布的意义和作用, 在表示样本数据的过程中, 学会列分布表、 画直方图、 [1] 折线图、 茎叶图等 ” , “以数据进行推断的思考方式 已成为现代社会普遍应用的思维模式,以样本估计 总体是统计学最核心的思想方法。样本频率分布直 方图不仅可以根据原始数据估计总体分布,而且在 没有原始数据而仅有频率分布的情况下,也可以估 计总体的分布特征 [5]” 。因此, 用样本估计总体解决 生产生活中的实际问题被高考广泛采纳,在近三年 高考试题中, 北京、 陕西、 辽宁等大多数省 (区、 市) 都 将样本频率分布直方图作为试题的重要部分。 所以,

在教学中要让学生掌握样本频率分布的列表和画直 方图的方法, 体会用样本估计总体的思想。 3.3 应重视概率与其他知识融合 从上述高考统计与概率命题来看,概率问题会 与其他知识点综合起来考察。在 2012 年的课标卷 中, 对统计与概率主要考查分段函数, 用频率估计概 率, 离散型随机变量的分布列、 期望、 方差, 并要求对 购进不同数量时所获利润的比较。 该题将分段函数、 概率与实际应用有机地融合构成综合题。此类题型 在湖北、 江西、 江苏等地的试题中也有。由于课标卷 对课标教科书的实施具有引领作用,所以在今后的 教学中应当重视。 3.4 教学应注意联系生产和生活实际 从近三年高考统计与概率解答题来看,统计与 概率试题一般以联系生产、生活实践来设计(见表 1) 。统计与概率教学的主要目的是使学生体会统计 与概率的基本思想,并且将这种思想与生活实际相 联系,能够收集数据、 处理数据, 并根据数据提取有 价值的信息, 作出合理的决策, 从而培养学生 “用数 据说话” 的理性思维和解决问题的方法。所以, 统计 与概率教学应当重视问题的背景及其在生产、生活 实践中的应用。

表 1 2010 ~ 2012 年各省解答题背景 试卷 重庆 浙江 四川 陕西 山东 课标 全国 湖南 江西 广东 北京 安徽 辽宁 天津 福建 2010 年试题背景 演出活动。 促销活动。 有奖购物。 以学生身高为背景。 以知识竞赛为背景。 老年人是否需要志愿者帮助背景。 某杂志对稿件的评审。 城市居民用水量。 工厂生产两种产品。 食品检验。 学生身高。 酒师的酒味鉴别功能。 药物实验。 以射手射击为背景。 以知识竞赛为背景。 植树棵数。 核电站完成某项任务。 农场计划种植某种新作物。 箱子随机摸球为背景。 工厂产品的等级。 2011 年试题背景 某市公租房的房源。 毕业生参加人才招聘会。 自行车租车点的收费标准。 到火车站共有两条路径。 围棋比赛为。 产品的质量。 车主购买保险为背景。 商店销售商品。 饮料公司招聘员工为背景。 学生考试成绩为背景。 工程施工期间降水量对工程的影响。 招聘面试抽取试题。 电视传媒公司对某类体育节目的收视情况调查。 参加某娱乐活动。 轿车在保修期内维修。 射击为背景。 某花店每天购进玫瑰花为背景。 乒乓球比赛规则为背景。 顾客一次购物的结算时间。 2012 年试题背景 两人轮流投篮。 箱中摸球。 居民小区相互独立的安全防范系统。

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赵兴杰等?从近三年高考理科数学试题谈高中统计与概率的教学 3.5 教学中应注意分类思想的教学 分类思想在数学中的运用随处可见,在统计与 概率中的运用也很广泛。分类思想在选择题中的体 现不明显, 但是在后面解答题中的体现尤为突出。 例 如, 在构造分布列时, 首先必须对各种情况进行分类, 才能进行计算。同时分类的思想有助于培养学生严 谨的逻辑思维能力, 而要培养这种能力, 就需要大量 相适的素材 , 而统计与概率正好提供给学生运用分 类思想的材料, 因此, 教师应该好好把握在统计与概 率中培养学生运用分类思想解决问题的能力。 4 结束语 本文只是在分析 2010 ~ 2012 年高考理科统计 与概率试题的基础上得到的一些认识。要真正准确 把握 《课标》 对统计与概率的教学要求, 还需要对文 科统计与概率试题进行深入的分析, 并在此基础上, 认真研读教材和课程标准,从教材的编排中领会教 材编写意图, 并结合学生实际情况制定教学策略。
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(上接 102 页) 无拘无束地倾吐心事而又不公开身份, 这种虚拟的又是现实的网络特点,不仅与大学生的 心理发展特点相契合, 也满足了当代大学生好奇、 善 疑、 易争论的心理需要。喜欢展示自我, 不愿意别人 指手画脚的他们,愿意在争论和碰撞中形成自己的 观点, 希望成为一个独特的 “我” , 在这个网络世界中, 不仅促进了个性的张扬,同时也在一定程度上减轻 了成长过程中的一些压力, 因此, 网络成为他们心理 寄托与心理解救的最佳场所。但虚拟社会中的各种 问题是需要人这个主体兼中介来完成或化解的,虚 拟社会中目标达成是建立在有效互动与沟通上的, 因此, 了解虚拟社会的特性, 关注特定心理阶段的大 学生, 拉近虚拟社会与现实社会的距离, 理解他们追 求新异, 渴望倾诉和交流的欲求, 鼓动他们追求新知 识的热情, 鉴赏他们的开阔视野, 是思想政治教育的 一个重要环节,引导他们不仅满足于虚拟社会的交 流与倾诉, 成功与欢乐, 更鼓励他们在现实社会中建 功立业, 将在虚拟生存空间中引导、 疏通、 交流, 用之 激发积极因素, 在现实社会中关注其成长与发展, 遏 制不良影响, 双管齐下, 把思想教育落到实处。 新兴媒体对大学生的影响是多层次、 全方位的,

新兴媒体的全域传播使思想政治教育环境变得越来 越复杂, 但只要我们思想政治教育工作者转变观念, 以人为本, 改变方法, 参与其中, 将学生视为朋友, 把 教育内化为讨论与对话,使学生在内心深处真诚地 接受教师所传达的社会主义核心价值观。 仅此而言, 新兴媒体语境下的大学生思想政治教育,更需要思 想政治教育工作者在思想上提升自己,加强马克思 主义核心价值体系修养,在技术方法和技术路线上 下功夫,只有当每一个思想政治教育工作者都能熟 练地使用新兴媒体传播先进文化观念,遵循新兴媒 体的交流规律,就一定能将大学生思想政治教育工 作做得更好。
参考文献: [1] 司马云杰.文化价值论[M].西安: 陕西人民出版社, 2003.206. [2]国际 21 世纪教育委员会.教育: 财富蕴藏之中[M].北京: 教 育科学出版社, 1998.4- 5. [3]徐德明, 黄会健, 陈晓.建构进步人类共享的价值体系[J].浙 江工业大学学报, 2002, 30, (3) . [4]嘉格伦.网络教育——21 世纪的教育革命[M] .北京: 高等教 育出版社, 2000.7. (责任编辑: 魏登云)

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