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(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件:2-1-4_图文

第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.4 数乘向量 课前预习目标 课堂互动探究 课前预习目标 梳理知识 夯实基础 学 习 目 标 掌握数乘向量的运算,并理解其几何意义. 自 学 导 航 1.数乘向量的定义 实数 λ 和向量 a 的乘积是一个 向量 ,记作 λa . (1)|λa|= |λ||a| . (2)当 λ>0 时,λa 的方向与 a 同方向 ;当 λ<0 时,λa 的方 向与 a 反方向 ;当 λ=0 时,λa=0. 2.数乘向量运算的运算律 设 λ,u 为实数,则(λ+u)a=λa+ua,λ(μa)=(λu)a,λ(a+ b)=λa+λb. 3.向量的线性运算 向量的 加法、减法和数乘向量 的综合运算,通常叫做向量 的线性运算. 思 考 探 究 1.数乘向量与实数的乘积等同吗? 提示 不等同.数乘向量的结果仍然是一个向量,有大小, 有方向.实数运算的结果是一个实数,只有大小没有方向. 2.λ=0 时,λa=0;a=0 时,λa=0,这两种说法正确吗? 提示 不对,λa=0 中的“0”应写为“0”. 自 测 自 评 3 1 1. (a+2b)- (4a-3b)可化简为( 4 2 5 A. a 4 5 C.-4a+3b 5 B.- a 4 5 D.4a-3b ) 解析 3 3 3 5 原式=4a+2b-2a+2b=-4a+3b. C 答案 2.点 C 是线段 AB 靠近点 A 的一个三等分点,则下列不正 确的是( ) → 3→ B.AB=2BC → → D.|AB|=3|AC| → 1→ A.AC=2CB → → C.|BC|=2|AC| 解析 → 1→ → 2→ 由题意可知,AC=3AB,CB=3AB, → 3→ ∴AB=2CB,故 B 错. 答案 B → 3.在△ABC 中,E、F 分别是 AB、AC 的中点,若AB=a, → → AC=b,则EF等于( ) 1 1 A. (a+b) B. (a-b) 2 2 1 1 C. (b-a) D.- (a+b) 2 2 解析 → 1→ 由题意可知,EF=2BC, → → → → → 1 ∵BC=AC-AB,∴BC=b-a,∴EF=2(b-a). 答案 C → → → 4. 已知△ABC 中, D 是 BC 边上的中点, 则 3AB+2BC+CA 等于( → A.AD → C.2AD ) → B.3AD D.0 解析 → → → ∵D 是 BC 边中点,∴AB+AC=2AD. → → → → → → → 3AB+2BC+CA=3AB+2(AC-AB)+CA → → → =AB+AC=2AD. 答案 C 名 师 点 拨 1.数乘向量运算的注意问题 (1)关于实数与向量的积 λa 的理解: 我们可以把向量 a 的模 扩大(当|λ|>1 时),也可以缩小(当|λ|<1 时),同时,我们可以不改 变向量 a 的方向(当 λ>0 时),也可以改变向量 a 的方向(当 λ<0 时). (2)注意实数与向量的积的特殊情况,当 λ=0 时,λa=0; 而 λ≠0,若 a=0 时,有 λa=0. (3)注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算.比 如 λ+a,λ-a 无法运算. 2.几个重要结论 → → → (1)设 G 是△ABC 的重心,则有GA+GB+GC=0,反之也 成立. → (2)设 G 是△ABC 的重心, 对于平面上任意一点 O, 则有OG 1 → → → =3(OA+OB+OC). (3)△ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 中点, → 1 → → → 1 → → 则有AE= (AB+AC),BF= (BA+BC), 2 2 → 1 → → CD= (CA+CB). 2 课堂互动探究 剖析归纳 触类旁通 典例剖析 例1 化简下列各式: 2 1 1 (1) [(4a-3b)+ b- (6a-7b)]; 3 3 4 1 1 1 (2) [(3a+2b)- b+ (2a+5b)]-b. 2 2 4 剖析 考查向量的线性运算. 解析 2 1 1 (1)3[(4a-3b)+3b-4(6a-7b)] 2 1 3 7 =3(4a-3b+3b-2a+4b) 2 3 1 7 =3[(4-2)a+(-3+3+4)b] 25 11 =3(2a-12b) 5 11 =3a-18b. 1 1 1 5 (2)原式=2(3a+2b-2b+2a+4b)-b 17 11 7 3 =2(2a+ 4 b)-b=4a+8b. 规律技巧 向量的线性运算与代数中多项式的运算类似, 都是利用运算律对式中的同类项进行合并. 变式训练 1 化简下列各式: (1)4(2a-b+c)-3(a-2b+c)-2(a+4b-3c); 3 1 1 5 (2)4(a+2b)-2(-a+3b)+2(4a-8b). 解析 (1)原式=(8-3-2)a+(-4+6-8)b+(4-3+6)c= 3a-6b+7c. ?3 1 1? ? 3 3 5? 7 5 (2)原式=?4+2+2?a+?2-2-4?b=4a-4b. ? ? ? ? 例2 设 x 为未知向量,解关于 x 的方程. 1 2 (1) x+3a- b=0; 3 15 (2)2(x-3a)+3(x+4b)=0. 剖析 求 x 和解关于 x 的一元一次方程类似. 解析 1 2 (1)原方程化为3x+(3a-15b)=0 1 2 1 2 ∴3x=-(3a-15b),3x=15b-3a. 2 ∴x=5b-9a. (2)原方程化为 5x-6a+12b=0, 6 12 ∴5x=6a-12b,x=5a- 5 b. 规律技巧 这是一个关于求未知量的向量方程,由于向量 具有许多与数完全相同的运算性质,我们可以按照解关于实数 方程的方法来解. 变式训练 2 设 x,y

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