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山东省德州市2017届高三上学期期中考试文数试题Word版含解析

山东省德州市 2017 届高三上学期期中考试 文数试题 第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? ?x ? N x ? 3? , B ? x x2 ? 6 x ? 16 ? 0 ,则 A A. ?x ?8 ? x ? 2? 【答案】C B. ?1? C. ?0 , 1?

?

?

B ?(



D. ?0 , 1 ,2?

考点:1.集合的表示与运算;2.二次不等式的解法.

1 ? 2. 已知命题 p : sin x ? ,命题 q : x ? ? 2k? ,k ? Z ,则 p 是 q 的( 2 6
A.充分不必要条件 不必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析:由 sin x ? B.必要不充分条件 C.充要条件

) D.既不充分也

1 ? 5? ? 1 可得 x ? ? 2k? 或x ? ? 2k?,k ? Z ;当 x ? ? 2k? 时, sin x ? , 2 6 6 6 2

所以 p 是 q 的必要不充分条件,故选 B. 考点:1.三角函数的图象与性质;2.充分条件与必要条件. 3. 已知 sin x ? cos x ? A. ?
3 3
3 ?1 , x ? ? 0 ,? ? ,则 tan x ? ( 2 3 3



B.

C. 3

D. ? 3

【答案】D 【解析】 试题分析:因为 x ? ? 0 ,? ? ,且 0 ? sin x ? cos x ?
3 ?1 3? ?? ? 1 ,所以 x ? ? , 2 4 ?2

? ? ,由 ?

sin x ? cos x ?

3 4? 2? 3 ?1 3 两边平方得 2sin x cos x ? ? ,即 sin 2 x ? ? , , 2x ? ,x ? 2 2 2 3 3

tan x ? ? 3 ,故选 D.
考点:1.同角三角函数基本关系;2.三角恒等变换. 4. 已知等差数列 ?an ? , Sn 为其前 n 项和,若 a1 ? 9 , a3 ? a5 ? 0 ,则 S6 的值为( A.6 【答案】B B.9 C.15 D. 0 )

考点:等差数列的性质与求和. 5. 已知向量 a ? (1, m), b ? (3, ?2) ,且 (a ? b) ? b ,则 m ? A. ?8 【答案】D 【解析】 试题分析: a ? b ? (4, m ? 2) , (a ? b) ? b ? (a ? b) ? b ? 0 ,即 4 ? 3 ? (m ? 2) ? (?2) ? 0 , 解之得 m ? 8 ,故选 D. 考点:1.向量的坐标运算;2.向量垂直与向量的数量积. B. ?6 C.6 D.8

?? ? 6. 为了得到 y ? 3sin ? 2 x ? ? 函数的图象,只需 把 y ? 3sin x 上所有的点( 3? ?
A.先把横坐标缩短到原来的



1 ? 倍,然后向左平移 个单位 2 6

? 个单位 6 ? C. 先把横坐标缩短到原来的 2 倍,然后向左右移 个单 位 3 1 ? D.先把横坐标缩短到原来的 倍,然后向右平移 个单位 2 3
B.先把横坐标缩短到原来的 2 倍,然后向左平移 【答案】A 【解析】 试题分析:把 y ? 3sin x 上所有的点横坐标缩短到原来的

1 倍可得到函数 y ? 3sin 2 x 的图象, 2

再把 y ? 3sin 2 x 的图象向左平移

? ? ? 个单位得到函数 y ? 3sin 2( x ? ) ? 3sin(2 x ? ) ,故选 A. 6 6 3

考点:函数图象的平移变换与伸缩变换.
?1? 7. 已知函数 f ? x ? ? ? ? ? 1 ? log 2 x ,若 x0 是方程 f ? x ? ? 0 的根,则 x0 ? ( ?2?
1? ? A. ? 0 , ? 2? ? ?1 ? B. ? ,1? 2 ? ? 3? ? C. ? 1 , ? 2? ? ?3 ? D. ? ,2 ? 2 ? ?
x



【答案】B

考点:零点存在定理.
?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 8. 已知 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,目标函数 z ? x2 ? y 2 的最大值为( ?3x ? y ? 3 ? 0 ?



A.

2 5 5

B.

4 5

C. 13

D.13

【答案】B 【解析】
?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 试题分析:在直角坐标系内作出不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 所表示的平面区域,如下图所示,目 ?3x ? y ? 3 ? 0 ?

标函数 z ? x2 ? y 2 中 z 的几何意义为坐标原点与可行域内点连线距离的平方,由图可知,其最 小值为原点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 距离的平方,所以 zmin

? ? 2 4 ?? ? ,故 选 B. ? 2 2 5 ? 1 ?2 ?

2

考点:线性规划. 【名师点睛】本题考查线性规划,属基础题;线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等 式组所表示的平面区域,然后确定目标函数的几何意义,通过数形结合确定目标函数何时取 得最值.解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值” ,否则很容易出现错误;画不等式 组所表示的平面区域时要通 过特殊点验证,防止出现错误. 9. 设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ? R ,都有 f ? x ? 4? ? f ? x ? ,且当 x ? ? ?2 ,0 ?
?1? 时, f ? x ? ? 2 ? ? ? ,若在区间 (?2 ,6] 内关于 x 的方程 f ? x ? ? loga ? x ? 2? ? 0 ? 0 ? a ? 1? 恰有 ?2?
x

三个不同的实数根,则 a 的取值范围是(
1? ? A. ? 0 , ? 2? ?


? 2 1? C. ? , ? ? 4 2? ? ?
?1 ? D. ? ,1? 2 ? ?

? 2? B. ? 0 , ? ? 4 ? ? ?

【答案】C

考点:1.函数的奇偶性与周期性;2.函数与方程. 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、函数与方程,属中档题;函数的性质问题以 及函数零点问题是高考的高频考点,考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、 奇偶性、 周期性以及对称性非常熟悉; 另外,函数零点的几种等价形式: 函数 y ? f ( x) ? g ( x) 零点的个数 ? 函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x 轴交点的个数 ? 方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 根的个数

? 函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 交点的个数.
10. 已知 f ? x ? 的定义域是 ? 0 ,? ?? , f ' ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,且满足 f ? x ? ? f ' ? x ? ,则不等 式 e? x f x2 ? x ? ex A . ? ?? ,2? D. ? ?1 ,2? 【答案】A

?

?

2

?2

f ? 2? 的解集是(

) C. ? ?? ,? 1?

?1 , ? ??

1? B. ? ?2 ,

? 2 ,? ? ?

考点:1.导数与函数的单调性;2.函数与不等式. 【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数与不等式,属难题;联系已知条件和结论, 构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问

题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题, 常可使问题变得明了.

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11.已知 f ? x ? 的定义域为 ? ?1 , 1? ,则函数 g ? x ? ? ln ? x ? 1? ? f ?2x ? 的定义域为 【答案】 ? ? 【解析】 试题分析:由 ? .

? 1 1? , ? 2 2? ?

?x ?1 ? 0 1 1 ? 1 1? 得 ? ? x ? ,所以函数 g ( x) 的定义域为 ? ? , ? . 2 2 ? 2 2? ??1 ? 2 x ? 1

考点:1.对数函数的性质;2.函数的定义域.

2 12. 在 Rt△ ABC 中, ?A ? 90? , AB ? AC ? 1 ,点 E 是 AB 的中点,点 D 满足 CD ? CB ,则 3
CE ? AD ?



【答案】 0

考点:向量线性运算、数量积的几何运算. 【名师点睛】本题考查向量线性运算、数量积的几何运算,属中档题;平面向量问题中,向 量的线性运算和数量积是高频考点,涉及图形的向量运算问题,一般应选两个向量作为基底, 选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素. 13. 已知数列 ?an ? 是等比数列, Sn 为其前 n 项和,且 an?1 ? 3Sn ? 2 n ? N * ,则
a5 ?

?

?



【答案】 512 【解析】 试题分析:由 an?1 ? 3Sn ? 2 得,当 n ? 2 时, an ? 3Sn?1 ? 2 ,两式相减得 an?1 ? an ? 3an , 即 an?1 ? 4an ,即数列的公比 q ? 4 ,令 n ? 1 得, a2 ? 4a1 ? 3S1 ? 2 ? 3a1 ? 2 ,解得 a1 ? 2 , 所以 a5 ? a1q ? 2 ? 4 ? 512 .
4 4

考点:1.等比数列的定义与性质;2. an 与 Sn 关系.

14. 若正数 a ,b 满足 【答案】 2

1 2 2 1 的最小值为 ? ? 1 ,则 ? a b a ?1 b ? 2



考点:基本不等式. 15. 定义: f1 ? x ? ? f ? x ? ,当 n ? 2 且 x ? N * 时, fn ? x ? ? f ? fn?1 ? x ? ? ,对于函数 f ? x ? 定义域内 的 x0 , 若正在正整数 n 是使得 f n ? x0 ? ? x0 成立的最小正整 数, 则称 n 是点 x0 的最小正周期,x0 称为 f ? x ? 的 n ~周期点,已知定义在 ?0 , 1? 上的函数 f ? x ? 的图象如图,对于函数 f ? x ? ,下 列说法正确的是 (写出所有正确命题的编号.

①1 是 f ? x ? 的一个 3~周期点; ②3 是点

1 的最小正周期; 2

?2? 2 ③对于任意正整数 n ,都有 f n ? ? ? ; ?3? 3

④若 x0 ? (

1 , 1] ,则 x0 是 f ? x ? 的一个 2~周期点. 2

【答案】①②③

考点:1.新定义问题;2.函数综合. 【名师点睛】本题考查新定义问题与函数性质的综合应用问题,属难题;新定义问题已成为 最近高考的热点内容,主要考查学生学习新知识的能力与阅读能力、应用新知识的能力、逻 辑思维能力与运算能力,体现数学的应用价值. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ?
3 ? 3 cos 2 ? x ?? ? 0 ? 的最小正周期为 ? . 2

(Ⅰ) 求 f ? x ? 的单调递增区间;
a ? 1, (Ⅱ)若 a ,b ,c 分别为 △ ABC 的三内角 A ,B ,C 的对边,角 A 是锐角, f ? A? ? 0 ,
b ? c ? 2 ,求 △ ABC 的面积.

3 5? ?? ? ,k? ? ? ? k ? Z ? ; 【答案】 (Ⅰ) ? k? ? (Ⅱ) . 12 12 ? ? 4
【解析】

?? ? 试题分析: (Ⅰ)利用三角恒等变换公式化简函数式 可得 f ( x) ? sin ? 2? x ? ? ,由周期为 ? 可 3? ? ?? ? ? ? ? 求得 ? ? 1 ,从而得到 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ,由 2k? ? ?2 x ? ?2k ? ? k Z ? 可求函数的单 ? ? 3 2 3 2 ? ?
调递增区间; (Ⅱ)由 f ? A? ? 0 先求出角 A= 形面积公式求之即可. 试题解析: (Ⅰ) f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ?
3 ? 3 cos 2 ? x 2

?
3

,由余弦定理整理化简可得 bc ? 1 ,代入三角

1 3 1 ? cos 2? x ?? ? ? sin 2? x ? ? 3? ? sin ? 2? x ? ? …………………………2 分 2 2 2 3? ?

2? ? ? ,从而得到 ? ? 1 ………………………………………………3 分 2? ?? ? ∴ f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? .…………………………………………………………4 分 3? ?
∴T ? 由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

? k ? Z ? 可得:

k? ?

5? ? ? x ? k? ? ? k ? Z ? , 12 12

5? ?? ? ,k? ? ? ? k ? Z ? .………………6 分 所以 f ? x ? 的单调递增区间为 ? k? ? 12 12 ? ?

考点:1.三角恒等变换;2.三角函数的图象和性质;3.余弦定理; 【名师点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质与余弦定理,属中档题;三角 函数的图象与性质是高考考查的热点之一,经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶 性、单调性、最值等,其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题 中进行体现,在复习时要注意 基础知识的理解与落实.

17. (本小题满分 12 分) 已知命题 p : 函数f ? x ? ? lg ax2 ? ax ? 1 的定义域是 R ; 命题 q : 幂函数y ? x

?

?

?1?a ? 在第一象限为增
2

函数,若“ p ? q ”为假,“ p ? q ”为真,求 a 的取值范围. 【答案】 a ?1 ? a ? 0或1 ? a ? 4

?

?

考点:1.逻辑联结词与命题;2.对数函数与幂函数的性质. 18. (本小题满分 12 分)

1 已知函数 f ? x ? ? x3 ? ? 2m ? 1? x2 ? 3m ? m ? 2? x ? 1 ,其中 m 为实数. 3
(Ⅰ)当 m ? ?1 时,求函数 f ? x ? 在 ? ?4 ,4? 上的最大值和最小值; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间.

【答案】 (Ⅰ)最大值为

79 2 ,最小值为 ? ; (Ⅱ)当 m ? 1 时, f ? x ? 的增区间为 ? ?? , ? ? ? ; 3 3

当 m ? 1 时, f ? x ? 的增区间为 ? ?? ,m ? 2 ? , ? 3m , ? ? ? ;当 m ? 1 时, f ? x ? 的增区间为

? ?? ,3m? , ? m ? 2 ,? ?? .
【解析】

1 试题分析: (Ⅰ) )当 m ? ?1 时, f ? x ? ? x2 ? x2 ? 3x ? 1 , f ' ? x ? ? ? x ? 3?? x ? 1? ,解不等式 3
f ' ? x ? ? 0 与 f ' ? x ? ? 0 可求出函数的单调区间,从而求得函数的极值及区间 ? ?4, 4? 两端点处的

函数值,比较大小即可得到函数的最大值与最小值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的导数得
f ' ? x ? ? ? x ? 3m?? x ? m ? 2? ,分 m ? 1 、 m ? 1 、 m ? 1 三种情况分别讨论 f ?( x) ? 0 的两根的大

小,由导数与单调性关系写出递增区间即可.

(Ⅱ) f ' ? x ? ? x2 ? 2 ? 2m ? 1? x ? 3m ? m ? 2? ? ? x ? 3m?? x ? m ? 2? ,……………………6 分 当 3m ? m ? 2 即 m ? 1 时, f ' ? x ? ? ? x ? 3? ? 0 ,所以 f ? x ? 单调递增;………………7 分
2

当 3m ? m ? 2 即 m ? 1 时,由 f ' ? x ? ? ? x ? 3m ?? x ? m ? 2? ? 0 可得 x ? m ? 2 或 x ? 3m ; 所以此时 f ? x ? 的增区间为 ? ?? ,m ? 2 ? , ? 3m , ? ? ? ………………………………9 分 当 3m ? m ? 2 即 m ? 1 时,由 f ' ? x ? ? ? x ? 3m ?? x ? m ? 2? ? 0 可得 x ? 3m 或 x ? m ? 2 ; 所以此时 f ? x ? 的增区间为 ? ?? ,3m? , ? m ? 2 ,? ? ? ………………………………11 分 综上所述:当 m ? 1 时, f ? x ? 的增区间为 ? ?? , ? ? ? ;

当 m ? 1 时, f ? x ? 的增区间为 ? ?? ,m ? 2 ? , ? 3m , ? ? ? ; 当 m ? 1 时, f ? x ? 的增区间为 ? ?? ,3m? , ? m ? 2 ,? ? ? .…………………………12 分 考点:导数与函数的单调性、极值、最值. 19. (本小题满分 12 分 ) 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn 满足:
2 2Sn ? ?3n2 ? 3n ? 2? Sn ? 3? n2 ? n? ? 0 , n ? N* .

(Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)设 bn ?

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 3n?1 3 2n ? 3 . ? 4 4 ? 3n

【答案】 (Ⅰ) a1 ? 3 ; (Ⅱ) an ? 3n ; (Ⅲ) Tn ?

2 试题解析: (Ⅰ)由 2Sn ? 3n2 ? 3n ? 2 Sn ? 3 n2 ? n ? 0 , n ? N * 可得:

?

?

?

?

2S12 ? ?3 ?12 ? 3 ?1 ? 2? S1 ? 3?12 ? 1? ? 0 ,又 S1 ? a1 ,所以 a1 ? 3 . ………………3 分
2 (Ⅱ)由 2Sn ? 3n2 ? 3n ? 2 Sn ? 3 n2 ? n ? 0 , n ? N * 可得:

?

?

?

?

2 ? , n ? N * ,又 an ? 0 ,所以 Sn ? 0 , ? Sn ? 1? ? ? ? 2Sn ? 3 ? n ? n ? ? ? 0

∴ Sn ?

3 2 ? n ? n? ……………………………………… ……………5 分 2

3 2 ∴当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ?n2 ? n ? ? n ? 1? ? ? n ? 1?? ? 3n ,……6 分 ? ? 2

由(Ⅰ)可知, 此式对 n ? 1 也成立, ∴ an ? 3n ……………………………………………………7 分

考点:1. an 与 Sn 关系;2.错位相减法求和. 20. (本小题满分 13 分) 某地自来水苯超标,当地自来水公司对水质检测后,决定在水中投放一种药剂来净化水质, 已知每投放质量为 m 的药剂后,经过 x 天该药剂在水中释放的浓度 y (毫克/升)满足
? x2 ? 2 ,?0 ? x ? 5 ? ? ? 25 y ? mf ? x ? ,其中 f ? x ? ? ? ,当药剂在水中的浓度不低于 5(毫克/升)时称 ? x ? 19 ,? x ? 5 ? ? ? 2x ? 2

为有效净化;当药剂在水中的浓度不低于 5(毫克/升)且不高于 10(毫克/升)时称为最佳 净化. (Ⅰ)如果投放的药剂质量为 m ? 5 ,试问自来水达到有效净化一共可持续几天? (Ⅱ)如果投放 的药剂质量为 m ,为了使在 9 天(从投放药剂算起包括 9 天)之内的自来水 达到最佳净化,试确定应 该投放的药剂质量 m 的最小值.

【答案】 (Ⅰ) 21 天; (Ⅱ) 【解析】

20 . 7

? x2 ? 10 ,? 0 ? x ? 5 ? ? x2 ?5 m ? 5 试题分析: (Ⅰ)当 时, y ? ? ,这时 0 ? x ? 5 时, ? 10 ? 5 显然符 5 ? 5 x ? 95 ,? x ? 5? ? 2 x ? 2 ?

合题意,当 x ? 5 时,由

5x ? 95 (Ⅱ)当投放的 ? 5 可得 5 ? x ? 21 ,由此可得到受益人天数; 2x ? 2

? mx 2 ? 2m ,? 0 ? x ? 5 ? ? mx2 ? 25 ?2m 在区间 药剂质量为 m 时, y ? mf ? x ? ? ? ,当 0 ? x ? 5 时, y ? 25 ? m ? x ? 19 ? ,? x ? 5 ? ? ? 2x ? 2
(0 ,5] 上单调递增,当 x ? 5 时,由导数知识可知函数在 (5 ,9] 上单调递减,为使 5 ? y ? 10 ,

? 7m ?5 ? 解不等式 ? 4 可求 m 的取值范围,从而求出其最小值. ? ?3m ? 0

? mx 2 ? 2m ,?0 ? x ? 5 ? ? ? 25 (Ⅱ)由 y ? mf ? x ? ? ? ……………………………………7 分 ? m ? x ? 19 ? ,? x ? 5 ? ? ? 2x ? 2

当 0 ? x ? 5 时, y ? 分 当 x ? 5 时, y ' ?

mx2 ?2m 在区间 (0 ,5] 上单调递增,所以 2m ? y ? 3m ;………………2 25

?40m

? 2x ? 2?

2

? 0 ,所以函数在 (5 ,9] 上单调递减,从而得到

7m ? y ? 3m , 4

综上可知:

7m ? y ? 3m ,…………………………………………11 分 4

? 7m ?5 ? 为使 5 ? y ? 10 恒成立,只要 ? 4 即可, ? ?3m ? 0
所以

20 10 ? y ? ,……………… ……………………………………12 分 7 3 20 .…………………………13 分 7

所以应该投放的药剂质量 m 的最小值为

考点:1.函数建模问题;2.导数与函数的单调性、最值. 21. (本小题满分 14 分)

1 已知函数 f ? x ? ? x ln x ? ax2 ? 1 ,且 f ' ?1? ? ?1 . 2
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)若对任意 x ? ? 0 , ? ? ? ,都有 f ? x ? ? 2mx ? 1 ? 0 ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)证明函数 y ? f ? x ? ? 2 x 的图象在 g ? x ? ? xex ? x2 ? 1 图象的下方. 【答案】 (Ⅰ) f ? x ? ? x ln x ? x2 ? 1 ; (Ⅱ) [?

1 (Ⅲ)见解析. , ? ?) ; 2

试题解析: (Ⅰ)易知 f ' ? x ? ? ln x ? 1 ? ax ,所以 f ' ?1? ? 1 ? a ,又 f ' ?1? ? ?1 ………………1 分 ∴ a ? ?2 ………………………………………………………………2 分 ∴ f ? x ? ? x ln x ? x2 ? 1 .………………………………………………3 分 (Ⅱ)若对任意的 x ? ? 0 , ? ? ? ,都有 f ? x ? ? 2mx ? 1 ? 0 ,

1 1 即 x ln x ? x 2 ? 2mx ? 0 恒成立,即: m ? ln x ? x 恒成立………………4 分 2 2

1 1 1 1 1? x 令 h ? x ? ? ln x ? x ,则 h ' ? x ? ? ,…………………………6 分 ? ? 2 2 2x 2 2x
当 0 ? x ? 1时, h ' ? x ? ? 当 x ? 1 时, h ' ? x ? ?

1? x ? 0 ,所以 h ? x ? 单调递增; 2x

1? x ? 0 ,所以 h ? x ? 单调递减;……………………8 分 2x

1 ∴ x ? 1 时, h ? x ? 有最大值 h ?1? ? ? , 2 1 1 ∴ m ? ? ,即 m 的取值范围为 [? , ? ?) .……………… …………10 分 2 2
(Ⅲ)要证明函数 y ? f ? x ? ? 2 x 的图象在 g ? x ? ? xex ? x2 ? 1 图象的下方, 即证: f ? x ? ? 2x ? xex ? x2 ? 1恒成立, 即: ln x ? e x ? 2 ………… …………………………………………11 分

1 1 1 由(Ⅱ)可得: h ? x ? ? ln x ? x ? ? ,所以 ln x ? x ? 1 , 2 2 2
要证明 ln x ? e x ? 2 ,只要证明 x ? 1 ? e x ? 2 ,即证: e x ? x ? 1 ? 0 ………………12 分 令 ? ? x ? ? ex ? x ? 1 ,则 ? ' ? x ? ? e x ? 1, 当 x ? 0 时, ? ' ? x ? ? 0 ,所以 ? ? x ? 单调递增, ∴ ? ? x ? ? ? ? 0? ? 0 , 即 e x ? x ? 1 ? 0 ,…………………………………………13 分 所以 x ? 1 ? e x ? 2 ,从而得到 ln x ? x ? 1 ? e x ? 2 , 所以函数 y ? f ? x ? ? 2 x 的图象在 g ? x ? ? xex ? x2 ? 1 图象的下方.…………14 分 考点:1.导数与函数的单调性、极值、最值;2.函数与不等式. 【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值以及函数与不等式,属难题;近来 高考在逐年加大对导数问题的考查力度,不仅题型在变化,而且问题的难度、深度与广度也 在不断加大,本部分的要求一定有三个层次:第一层次主要考查求导公式,求导法则与导数 的几何意义;第二层次是导数的简单应用,包括求函数的单调区间、极值、最值等;第三层 次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单 调性有机结合,设计综合题.