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新人教B版必修2高中数学课堂设计1.1.7柱、锥、台和球的体积(1)学案

1.1.7 柱、锥、台和球的体积(1) 自主学习 学习目标 1.了解柱、锥、台的体积计算公式,并学会运用这些公式解决 一些简单问题. 2.结合祖暅原理等内容的学习,了解我国古代数学家在数学发 展上做出的杰出贡献, 培养爱国主义思想, 逐步培养热爱科学的态度. 自学导引 1.祖暅原理 (1)祖暅原理:____________,则积不容异,这就是说,夹在两 个 ________ 平 面 间 的 两 个 几 何 体 , 被 __________ 这 两 个 平 面 的 ________平面所截,如果截得的两个截面的面积总________,那么这 两个几何体的体积相等. (2)应用祖暅原理可以说明:等__________、等______的两个柱 体或锥体的体积相等. 2.柱、锥、台、球的体积 (1)柱体的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积, 即 V 柱体=______. 底 面 半 径 是 r ,高 是 h 的圆 柱 体的 体 积 的计 算公式 是 V __________. (2)如果一个锥体的底面积是 S,高是 h,那么它的体积是 V 锥体 圆柱 = =__________.如果圆锥的底面半径是 r,高是 h,则它的体积是 V 圆 1 锥 =__________. (3)如果一个台体的上、下底面面积分别为 S′、S,高为 h,那 么它的体积是 V 台体=__________________. 如果圆台的上、下底面半径分别是 r′、r,高是 h,则它的体积 是 V 圆台=________________. 对点讲练 知识点一 求台体的体积 例1 已知正三棱台(上、下底是正三角形,上底面的中心在下 底面的投影是下底面中心)的上、下底面边长分别是 2 cm 与 4 cm, 侧棱长是 6 cm,试求该三棱台的体积与表面积. 点评 在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将 已知条件归结到一个直角三角形中求解,为此在解此类问题时,要注 意直角三角形的应用. 变式训练 1 一个正四棱台的斜高为 12 cm,侧棱长为 13 cm, 侧面积为 720 cm2,求它的体积. 2 知识点二 求锥体的体积 例2 三棱锥的顶点为 P,已知三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相 垂直,若 PA=2,PB=3,PC=4.求三棱锥 P-ABC 的体积. 点评 三棱锥又称四面体, 由于它的每一个面均可作为棱锥的底 面,因此,灵活性较大,通过变换底面与对应的顶点,找出较易求出 面积的底面和对应的高,从而求出体积,这种方法又称等体积变换. 3 变式训练 2 已知正三棱锥 P-ABC(如图所示),侧棱 PA、PB、 PC 两两互相垂直,AB= 2,求此三棱锥的体积. 知识点三 综合应用 例3 已知正三棱锥 V—ABC(底面是等边三角形,顶点在底面的 射影是底面的中心)的主视图,俯视图如图所示,其中 VA=4,AC= 2 3,求该三棱锥的表面积与体积. 4 点评 把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合考查是高 考的一个热点,解决此类问题的关键是正确地观察三视图,把它还原 为直观图,特别要注意从三视图中得到几何体的度量,再结合表面积 或体积公式解题. 变式训练 3 积为( ) 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 A.2π +2 3 2 3 C.2π + 3 B.4π +2 3 2 3 D.4π + 3 1.在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已 知条件归结到一个直角三角形中求解,为此在解此类问题时,要注意 直角三角形的应用. 2.有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面,就 5 是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解. 而对于圆台有时需要将它 还原成圆锥,再借助相似的相关知识求解. 3.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 SV =1h(S+ SS′+S′)S′= 0V =1Sh. V 柱体=ShS′= ――→ ――→ 台体 锥体 3 3 课时作业 一、选择题 1.圆台上、下底面面积分别是 π ,4π ,侧面积是 6π ,这个圆 台的体积是( 2 3 A. π 3 ) B.2 3π 7 3 C. π 6 7 3 D. π 3 2.圆柱的侧面展开图是长 12 cm,宽 8 cm 的矩形,则这个圆柱 的体积为( 288 A. cm3 π 288 3 192 3 C. cm 或 cm π π ) 192 B. cm3 π D.192π cm3 3.如图,某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形, 1 且体积为 ,则该几何体的俯视图可以是( 2 ) 6 4.一个水平放置的圆柱形储油桶,桶内有油部分所在圆弧占底 1 面圆周长的 ,则油桶直立时,油的高度与桶的高度的比值是( 4 1 A. 4 1 1 B. - 4 2π 1 C. 8 1 1 D. - 2π 8 ) ) 5. 一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( A.2π +2 3 2 3 C.2π + 3 题 答 号 案 1 2 B.4π +2 3 2 3 D.4π + 3 3 4 5 二、填空题 6.圆台的上、下底面半径和高的比为 1∶4∶4,母线长为 10, 则圆台的体积为________. 7.如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=6,AD=4,AA1 =3.分别过 BC,A1D1 的两个平行截面将长方体分成三部分,其体积分 别记为 V1=VAEA1—DFD1,V2=VEBE1A—FCF1D1,V3=VB1E1B—C1F1C,若 7 V1∶V2∶V3=1∶4∶1,则截面 A1EFD1 的面积为________. 三、解答题 8.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m): (1)试画出它的直观图; (2)求它的表面积和体积. 9.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,主视图是一个底 边长为 8、高为

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