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新人教B版必修2高中数学课堂设计1.1.7柱、锥、台和球的体积(1)学案


1.1.7 柱、锥、台和球的体积(1) 自主学习 学习目标 1.了解柱、锥、台的体积计算公式,并学会运用这些公式解决 一些简单问题. 2.结合祖暅原理等内容的学习,了解我国古代数学家在数学发 展上做出的杰出贡献, 培养爱国主义思想, 逐步培养热爱科学的态度. 自学导引 1.祖暅原理 (1)祖暅原理:____________,则积不容异,这就是说,夹在两 个 ________ 平 面 间 的 两 个 几 何 体 , 被 __________ 这 两 个 平 面 的 ________平面所截,如果截得的两个截面的面积总________,那么这 两个几何体的体积相等. (2)应用祖暅原理可以说明:等__________、等______的两个柱 体或锥体的体积相等. 2.柱、锥、台、球的体积 (1)柱体的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积, 即 V 柱体=______. 底 面 半 径 是 r ,高 是 h 的圆 柱 体的 体 积 的计 算公式 是 V __________. (2)如果一个锥体的底面积是 S,高是 h,那么它的体积是 V 锥体 圆柱 = =__________.如果圆锥的底面半径是 r,高是 h,则它的体积是 V 圆 1 锥 =__________. (3)如果一个台体的上、下底面面积分别为 S′、S,高为 h,那 么它的体积是 V 台体=__________________. 如果圆台的上、下底面半径分别是 r′、r,高是 h,则它的体积 是 V 圆台=________________. 对点讲练 知识点一 求台体的体积 例1 已知正三棱台(上、下底是正三角形,上底面的中心在下 底面的投影是下底面中心)的上、下底面边长分别是 2 cm 与 4 cm, 侧棱长是 6 cm,试求该三棱台的体积与表面积. 点评 在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将 已知条件归结到一个直角三角形中求解,为此在解此类问题时,要注 意直角三角形的应用. 变式训练 1 一个正四棱台的斜高为 12 cm,侧棱长为 13 cm, 侧面积为 720 cm2,求它的体积. 2 知识点二 求锥体的体积 例2 三棱锥的顶点为 P,已知三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相 垂直,若 PA=2,PB=3,PC=4.求三棱锥 P-ABC 的体积. 点评 三棱锥又称四面体, 由于它的每一个面均可作为棱锥的底 面,因此,灵活性较大,通过变换底面与对应的顶点,找出较易求出 面积的底面和对应的高,从而求出体积,这种方法又称等体积变换. 3 变式训练 2 已知正三棱锥 P-ABC(如图所示),侧棱 PA、PB、 PC 两两互相垂直,AB= 2,求此三棱锥的体积. 知识点三 综合应用 例3 已知正三棱锥 V—ABC(底面是等边三角形,顶点在底面的 射影是底面的中心)的主视图,俯视图如图所示,其中 VA=4,AC= 2 3,求该三棱锥的表面积与体积. 4 点评 把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合考查是高 考的一个热点,解决此类问题的关键是正确地观察三视图,把它还原 为直观图,特别要注意从三视图中得到几何体的度量,再结合表面积 或体积公式解题. 变式训练 3 积为( ) 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 A.2π +2 3 2 3 C.2π + 3 B.4π +2 3 2 3 D.4π + 3 1.在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已 知条件归结到一个直角三角形中

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