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3-2-1 古典概型_图文

成才之路·数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章

概率

第三章 概率

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第三章
3.2 古典概型
第三章 概率

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第三章
3.2.1 古典概型
第三章 概率

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课前自主预习 思路方法技巧 名师辨误做答

基础巩固训练 能力强化提升

第三章 3.2 3.2.1

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课前自主预习
第三章 3.2 3.2.1

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温故知新 1.(1)互斥事件:若A∩B为不可能事件,则称事件A与事 件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会 同时 发 生. (2)对立事件:若A∩B为 不可能事件,A∪B为 必然 事 件,那么称事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B 在任何一次试验中 有且仅有 一个发生.
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2.(1)概率的加法公式: 如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A) + P(B). 该结论可以推广到n个事件的情形: 如果事件A1,A2,…,An彼此互斥,则 P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1) + P(A2) + … + P(An). (2)若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)+P(B)= 1 , 也可以表示为P(A)= 1 -P(B).
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3.把标号为1,2,3,4的四个小球随机地分发给甲、乙、

丙、丁四个人,每人分得一个.事件“甲分得1号球”与事

件“乙分得1号球”是( )

A.互斥但非对立事件 B.对立事件

C.相互独立事件

D.以上都不对

[答案] A

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[解析] 甲分得1号球与乙分得1号球不可能同时发生, 加起来也不是必然事件.
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4.下列结论不正确的是( ) A.记事件A的对立事件为-A ,若P(A)=1,则P(-A )=0 B.若事件A与B对立,则P(A+B)=1 C.若事件A,B,C两两互斥,则事件A与B+C也互斥 D.若事件A与B互斥,则其对立事件也互斥 [答案] D
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[解析] 由对立事件、互斥事件的概率及概率计算公式 知,A,B,C均正确.
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5.如图,靶子由一个中心圆面I和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ 构成.若射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30, 0.25,则他不命中靶的概率是________.

[答案] 0.1

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[解析] 用对立事件的概率来求:不命中靶的概率为P= 1-(0.35-0.30+0.25)=0.1.
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新课引入 “三门问题”是美国一个经典的电视游戏节目,内容如 下:现有三扇门,其中一扇后面有一辆汽车,另外两扇门后 各有一只羊,参赛者选中车门就得车,选中羊门就得羊,首 先参赛者选一扇门,然.后主持人故意打开剩下两门中的一 扇羊门(主持人知道车在何处),接着主持人给参赛者选择机 会,是坚持原门还是换另一扇门?
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如果你是参赛选手,你应该如何做才最有可能赢得汽 车,也就是选中车门的概率最大呢?
由上一节的学习我们知道,要获得随机事件的概率,可 以进行大量的重复试验,利用频率的稳定性估计随机事件的 概率,但是这种方法费时、费力,这就要求我们寻找更简单 的求随机事件概率的方法,这就是我们本节学习的内容—— 古典概型.
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自主预习 阅读教材P125-130,回答下列问题: 1.基本事件 (1)定义:在一次试验中,所有可能出现的基本结果中不 能再分的最简单的 随机事件称为该次试验的基本事件,试验 中其他的事件(除不可能事件)都可以用 基本事件来表示. (2)特点:一是任何两个基本事件是 互斥的 ;二是任何事 件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的 和 .
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[破疑点] 一次试验中,只能出现一种结果,即产生一 个基本事件;所有基本事件的和事件是必然事件.
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抛掷一枚骰子,下列不是基本事件的是( )

A.向上的点数是奇数 B.向上的点数是3

C.向上的点数是4

D.向上的点数是6

[答案] A

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[解析] 向上的点数是奇数包含三个基本事件:向上的 点数是1,向上的点数是3,向上的点数是5,则A项不是基本 事件,B,C,D项均是基本事件.
第三章 3.2 3.2.1

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2.古典概型 (1)定义:如果一个概率模型满足: ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; ②每个基本事件出现的可能性 相等 . 那么这样的概率模型称为古典概率模型,简称古典概 型.
第三章 3.2 3.2.1

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(2)计算公式:对于古典概型,任何事件A的概率为 A包含的基本事件的个数
P(A)= 基本事件的总数 .
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[破疑点] 如果一次试验中可能出现的结果有n(n为确定 的数)个,而且所有结果出现的可能性相等,这就是古典概 型,并且每一个基本事件的概率都是1n.
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从1,2,3中任取两个数字,设取出的数字中含有3为事件 A,则P(A)=________.

[答案]

2 3

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[解析] 从1,2,3中任取两个数字有(1,2),(1,3),(2,3),共 3个基本事件;事件A包含(1,3),(2,3),共2个基本事件,则 P(A)=23.
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规纳总结:把从n个元素中任取出2个元素看成一次试

验,如果这2个元素没有顺序,那么这次试验共有

n?n-1? 2



基本事件;如果这2个元素有顺序,那么这次试验有n(n-1)

个基本事件.可以作为结论记住(不要求证明),在选择题或

填空题中可以直接应用.

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思路方法技巧
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计算基本事件个数的常用法 1.列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单,基本事件 个数不是很多的概率问题,计算时只需一一列举即可得出随 机事件所含的基本事件数.但列举时必须按一定顺序,做到 不重不漏.
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2.列表法 对于试验结果不是太多的情况,可以采用列表法.通常 把对问题的思考分析归结为“有序实数对”,以便更直接地 找出基本事件个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗 漏. 3.树形图法 树形图法是进行列举的一种常用方法,适合较复杂问题 中基本事件数的探究.
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将一枚骰子先后抛掷两次,则: (1)一共有几个基本事件? (2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件?
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[解析] 解法一(列举法): (1)用(x,y)表示结果,其中x表示第1枚骰子出现的点 数,y表示第2枚骰子出现的点数,则试验的所有结果为: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
第三章 3.2 3.2.1

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(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6). 共36个基本事件. (2)“现出的点数之和大于8”包含以下10个基本事件: (3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5), (6,6).
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解法二(列表法): 如下图所示,坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现 的点数的和,基本事件与所描点一一对应.
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(1)由图知,基本事件总数为36. (2)总数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出). 解法三(树形图法): 一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表 示.如下图所示:
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成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修3 第三章 3.2 3.2.1

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(1)由图知,共36个基本事件. (2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用“√”标出).
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规纳总结:要写出所有的基本事件可采用的方法较 多.例如,列举法、列表法、树形图法,但不论采用哪种方 法,都要按一定的顺序进行,做到不重漏.
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一只口袋内装有大小相同的5个球,其中3个白球,2个 黑球,从中一次摸出两个球.
(1)共有多少个基本事件? (2)两个都是白球包含几个基本事件?
第三章 3.2 3.2.1

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[分析] 由题目可获取以下主要信息: ①本摸球事件中共有5个球,其中3个白球,2个黑球. ②题目中摸球的方式为一次摸出两个球,每个球被摸取 是等可能的. 解答本题可先列出摸出两球的所有基本事件,再数出均 为白球的基本事件数.
第三章 3.2 3.2.1

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[解析] (1)方法一:采用列举法:分别记白球为1,2,3 号,黑球为4,5号,有以下基本事件:
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5)共10个(其中(1,2)表示摸到1号,2号球).
第三章 3.2 3.2.1

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方法二:采用列表法:

设5个球的编号为:a、b、c、d、e,其中a,b,c为白

球,d,e为黑球.

列表如下:

a

b

c

d

e

a

(a,b) (a,c) (a,d) (a,e)

b (b,a)

(b,c) (b,d) (b,e)

c (c,a) (c,b)

(c,d) (c,e)

d (d,a) (d,b) (d,c)

(d,e)

e (e,a) (e,b) (e,c) (e,d)

第三章 3.2 3.2.1

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由于每次取两个球,每次所取两个球不相同,而摸(b,a) 与(a,b)是相同的事件,故共有10个基本事件.
(2)方法一中“两个都是白球”包括(1,2),(1,3),(2,3)三 种.
方法二中包括(a,b),(b,c),(c,a)三种.
第三章 3.2 3.2.1

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古典概型的判定
学法指导 (1)一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特 征:有限性和等可能性. (2)并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都 不是古典概型; ①基本事件个数有限,但非等可能. ②基本事件个数无限,但等可能. ③基本事件个数无限,也不等可能.
第三章 3.2 3.2.1

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下列概率模型中,是古典概型的个数为( ) (1)从区间[1,10]内任取一个数,求取到1的概率; (2)从1~10中任意取一个整数,求取到1的概率; (3)在一个正方形ABCD内画一点P,求P刚好与点A重合 的概率;
第三章 3.2 3.2.1

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(4)向上抛掷一枚不均匀的硬币,求出现反面朝上的概

率.

A.1

B.2

C.3

D.4

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[分析] 判断一个概率模型是否是古典概型,关键是看 它是否满足两个条件:①有限性;②等可能性.
第三章 3.2 3.2.1

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[解析] 第1个概率模型不是古典概型,因为从区间[1,10] 内任意取出一个数,有无数个对象可取,所以不满足“有限 性”.
第2个概率模型是古典概型,因为试验结果只有10个, 而且每个数被抽到的可能性相等,即满足有限性和等可能 性;
第3个概率模型不是古典概型,而是以后将学的几何概 型;
第三章 3.2 3.2.1

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第4个概率模型也不是古典概型,因为硬币不均匀,因 此两面出现的可能性不相等.
故选A. [答案] A
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下列概率模型是否为古典概型. (1)袋中有大小相同的5个白球,3个黑球和3个红球,每 球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球,有多少种 不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个基本事件,是否 为古典概型?
第三章 3.2 3.2.1

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(2)将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上,将豆子所落 的位置看作一个基本事件,是否是古典概型?
(3)一名射击运动员射击,把击中的环数看成基本事件, 是否是古典概型?
第三章 3.2 3.2.1

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[分析] 判断一概率模型是否为古典概型,关键是看是 否满足古典概型的特点:有限性与等可能性.
第三章 3.2 3.2.1

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[解析] (1)由于共有11个球,且每个球有不同的编号, 故共有11种不同的摸法,又因为所有球大小相同,因此每个 球被摸到的可能性相等,故以球的编号为基本事件的概率模 型为古典概型.
(2)由豆子落在桌面上的位置有无数个,即有无数个基本 事件,所以以豆子所落的位置为基本事件的概率模型不是古 典概型.
第三章 3.2 3.2.1

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(3)由于运动员击中每一环的可能性不同,故以击中的环 数为基本事件的概率模型不是古典概型.
第三章 3.2 3.2.1

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建模应用引路
第三章 3.2 3.2.1

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古典概型概率的求法 学法指导 1.对于古典概型,任何事件A的概率为:
P(A)=A包含基的本基事本件事的件总的数个n 数m. 2.求古典概型概率的步骤为: (1)判断是否为古典概型; (2)算出基本事件的总数n; (3)算出事件A中包含的基本事件个数m;
第三章 3.2 3.2.1

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(4)算出事件A的概率,即P(A)=mn . 在运用公式计算时,关键在于求出m,n.在求n时,应注 意这n种结果必须是等可能的,在这一点上比较容易出错. 3.对于事件总数较多的情况,在解题时,没有必要一一 列举出来,只将我们解题需要的列举出来分析即可. 4.处理较复杂事件的概率时,往往结合互斥事件的概率 加法公式和对立事件的概率公式求解.
第三章 3.2 3.2.1

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幼儿园的小朋友用红、黄、蓝三种颜色的小凳子 布置联欢会的会场,每排三个小凳子,并且任何两排不能完 全相同.求:
(1)假设所需的小凳子足够多,那么,根据要求一共能布 置多少排小凳子?
(2)每排的小凳子颜色都相同的概率; (3)每排的小凳子颜色都不同的概率. [分析] 应用表格列出所有的基本事件,查出要求概率的 基本事件数,利用公式P(A)=mn .
第三章 3.2 3.2.1

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[解析] (1)所有可能的基本事件共有27个,如下表所示:
第三章 3.2 3.2.1

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(2)设“每排的小凳子颜色都相同”为事件A,由上表可 知,事件A的基本事件有1×3=3个,故P(A)=237=19.
(3)设“每排的小凳子颜色都不同”为事件B,由上表可 知,事件B的基本事件有2×3=6个,故P(B)=267=29.
第三章 3.2 3.2.1

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在本例中,每排的三个小凳子中只有两个小凳子颜色相 同的概率是多少?
[分析] 由例2的解析,分三种情况查出事件“三个小凳 子中只有两个小凳子颜色相同”所包含的基本事件数,利用 公式计算概率.或者利用对立事件的概率公式求解,
第三章 3.2 3.2.1

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[解析] 方法一:由例2的解析可知,三个小凳子中,有 两个小凳子的颜色都是红色的基本事件有6个,同理,有两个 小凳子的颜色都是黄色与蓝色的基本事件也各有6个.设事件 “每排的三个小凳子中只有两个小凳子颜色相同”为事件C, 则事件C的基本事件有6×3=18个,故P(C)=1287=23.
第三章 3.2 3.2.1

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方法二:设事件“每排的三个小凳子中只有两个小凳子 颜色相同”为事件C,由例2解析可知,事件C的对立事件为A +B,而事件A与B互斥,故P(A+B)=P(A)+P(B).
所以P(C)=1-[P(A)+P(B)]=1-(19+29)=23.
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探索延拓创新
第三章 3.2 3.2.1

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较复杂的古典概型概率计算问题 学法指导 求较复杂古典概型的概率方法揭秘: (1)解决古典概型问题的最基本方法是列举法,但对于 较复杂的古典概型问题,要更加注意采用合适的方法,按照 一定的规律来列举,以做到不重不漏.
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(2)解决古典概型问题时经常采用转化的数学思想:一是 将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先求对立事件 的概率,再求所求事件的概率.
“互斥”和“对立”事件容易搞混,互斥事件是指事件 不可能同时发生,对立事件是指互斥的两事件中必有一个发 生.
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现从A、B、C、D、E五人中选取三人参加一个 重要会议.五人被选中的机会相等.求:
(1)A被选中的概率; (2)A和B同时被选中的概率; (3)A或B被选中的概率. [分析] 先由古典概型的定义判断概型,然后由概率公式 求解.
第三章 3.2 3.2.1

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[解析] 从A、B、C、D、E五人中任选三人参加会议共有 以下10种方式:(A、B、C)、(A、B、D)、(A、B、E)、(A、 C、D)、(A、C、E)、(A、D、E)、(B、C、D)、(B、C、E)、 (B、D、E)、(C、D、E),且每种结果出现是等可能的.
(1)事件“A被选中”共有6种方式.故所求事件的概率P= 160=35=0.6.
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(2)A、B同时被选中共有3种方式,故所求事件的概为130= 0.3.
(3)法一:“A或B被选中”的对立事件为“A和B均未被选 中”,故所求事件的概率P=1-110=190=0.9.
法二:“A或B被选中”即A、B两人至少有一人被选中, 共有9种方式.
故所求事件的概率P=190=0.9.
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规纳总结:求较复杂的古典概型的概率通常有两种方 法:
(1)直接法,将所求事件转化为彼此互斥的事件和. (2)间接法,先求对立事件的概率,进而再求概率,即P(A) =1-P( A ).
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在大小相同的6个球中,2个是红球,4个是白球,若从 中任意选取3个,则所选的3个球中至少有1个红球的概率是 多少?
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[解析] 从6个球中任意选取3个,设事件A:取3个白 球;事件B:取到2个白球,1个红球;事件C:取到1个白 球,2个红球.则A,B,C是两两互斥的,因此可用互斥事件 的概率加法公式或对立事件的概率公式来求.
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设白球标号为1,2,3,4,红球标号为5,6,“从6个球中任 选3个球”包括:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4), (1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6),(2,3,4),(2,3,5), (2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6), (4,5,6),共20个基本事件.
第三章 3.2 3.2.1

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解法一(用对立事件):“选取的3个都是白球”包括 (1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共4个基本事件.
故所求概率为P=1-240=45. 解法二(古典概型):“至少有1个红球”的情形包括 (1,2,5),(1,2,6),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6), (2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6), (3,5,6),(4,5,6),共16种,所以所选3个球中至少有1个红球的 概率为1260=45.
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任意投掷两枚骰子,求“出现的点数之和为奇 数”的概率.
[错解] 任意投掷两枚骰子,点数之和可能是 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,共有11个基本事件,
设出现的点数之和为奇数为事件A,则事件A包含 3,5,7,9,11,共5个基本事件,
故P(A)=151,即出现的点数之和为奇数的概率为151.
第三章 3.2 3.2.1

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[错因分析] 出现点数之和为奇数与偶数的11种情况不 是等可能事件,如点数之和为2只出现一次,即(1,1);点数之 和为3则出现两次,即(2,1),(1,2).因此以点数之和为基本事 件不属于古典概型,不能应用古典概型概率公式计算.
第三章 3.2 3.2.1

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[正解] 任意投掷两枚骰子,可看成等可能事件,其结 果即基本事件可表示为数组(i,j)(i,j=1,2,…,6).其中两 个数i,j分别表示这两枚骰子出现的点数,则有
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).
第三章 3.2 3.2.1

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共有36个基本事件。 设出现的点数之和为奇数为事件A,则包含 (1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4), (3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4).(5,6),(6,1),(6,3), (6,5),共有18个基本事件. 故P(A)=1386=12. 即出现的点数之和为奇数的概率为12.
第三章 3.2 3.2.1

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基础巩固训练
第三章 3.2 3.2.1

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1.下列试验中是古典概型的是( ) A.在适宜的条件下,种下一粒大豆,观察它是否发芽 B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全 相同,从中任取一球 C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一 点都是等可能的 D.射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为命中10 环,命中9环,…,命中0环. [答案] B
第三章 3.2 3.2.1

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[解析] 根据古典概型的特点,A项中,种子发芽与否的 概率不相等;B项中,摸到每个球的概率相等,且只有4球;C 项中,点落在圆内的结果数量是无限的;D项中,射击命中环 数的概率也不一定相等.故只有B项是古典概型.
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2.从集合{1,2,3,4}中任取两个元素,可能的结果数为

() A.3

B.4

C.5

D.6

[答案] D

第三章 3.2 3.2.1

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3.若书架上放有中文书五本,英文书三本,日文书两

本,则抽出一本外文书的概率为( )

1

3

2

1

A.5

B.10

C.5

D.2

[答案] D

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[解析] 抽到的外文书,可能是英文书或日文书,所以P =130+120=12.
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4.有100张卡片(从1号到100号),从中任取1张,取到的

卡片号是7的倍数的概率为( )

7 A.50

7 B.100

7

15

C.48

D.100

[答案] A

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[解析] 令1≤7k≤100(k∈Z),则17≤k≤1427, ∴k=1,2,…,14.即在1~100中共有14个数是7的倍 数,故P=11040=570.
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5.从甲、乙、丙三人中选两名参加考试,则共有 ________个基本事件.
[答案] 3 [解析] 选出的两人有甲和乙、甲和丙、乙和丙,共有3 个基本事件.
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6.把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随 意排成一排,则能使卡片排成的顺序从左向右或从右向左可 以念为“灰太狼”的概率是________.(用分数表示)

[答案]

1 3

第三章 3.2 3.2.1

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[解析] 三张卡片随意排成一排的结果有:灰太狼,灰 狼太,太狼灰,太灰狼,狼太灰,狼灰太,共6种,则能使 卡片排成的顺序从左向右或从右向左可以念为“灰太狼”的 概率是26=13.
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7.盒中有规格相同的红、白、黑手套各两只,从中任意 摸出2只,求恰好同色的概率.有一位同学提供了以下解法: “从中任意摸出两只手套的所有基本事件有:(红,红), (红,白),(红,黑),(白,白),(白,红),(白,黑),(黑, 黑),(黑,白),(黑,红)共9种,而事件A:“恰好同色”中有 3个基本事件,所以所求的概率为P(A)=39=13”.
试问这位同学的解答正确吗?为什么?若不正确,请你 给出正确的解答.
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[解析] 不正确,理由如下: 其基本事件为: (红1,红2),(红1,白1),(红1,白2),(红1,黑1),(红 1,黑2),(红2,红1),(红2,白1)…… 共有30种,而“同色”这一事件中含有6种基本事件,故 所求概率为360=15.
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8.连续三次掷同一枚骰子,求: (1)共有多少个等可能基本事件; (2)三次掷得的点数都是偶数概率; (3)三次掷得的点数之和为16的概率.
第三章 3.2 3.2.1

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[分析] 抛掷一次骰子会出现点数1,2,3,4,5,6这6种可能的 结果,当连续抛掷三次时,事件所含基本事件数较多,枚举 法已不方便,可用分析法求n和m的值.
第三章 3.2 3.2.1

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[解析] (1)将骰子抛掷一次,会出现点数为1,2,3,4,5,6这6种 可能的结果,第二次又有6种可能的结果,则连续抛掷两次骰子 共有6×6=36(种)可能的结果,第三次又有6种可能的结果,于是 连续三次抛掷骰子一共有36×6=216(种)可能的结果,即共有216 个等可能基本事件.
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(2)设事件A表示“三次掷出的点数都是偶数”,而每一次抛 掷出的点数为偶数都有3种结果:点数为2,点数为4,点数为6, 所以事件A包含的不同结果有3×3×3=27(种).
所以“三次掷得的点数都是偶数”的概率P(A)=mn =22176=18.
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(3)设事件B表示“三次掷得的点数之和为16”,连续三次抛

掷同一枚骰子的点数之和共有6×6×6=216(种)不同结果,而事

件B“三次掷得的点数之和为16”包含6种不同的结果,分别为

(6,6,4),(6,5,5),(6,4,6),(5,6,5),(5,5,6),(4,6,6).

所以“三次掷得的点数之和为16”的概率为P(B)=

6 6×6×6

=316.

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