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(文数)珠海市2009届高三第二次调研


绝密★启用前

试卷类型:A

珠海市 2009 年高三第二次调研考试
文科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟,所有的试 题的答案都填写在答题卡的相应位置.

1 Sh (S 为底面面积,h 为高) 3 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
参考公式:锥体积公式: V ? 1.函数 y ?

2?x 的定义域是 lg x A. { |0 x 2 x ? ?} C. { |0 x 2 x ? ?}

B. { |0 ? 或 1 ?x ?2 x ?x 1 } D. { |0 ? 或 1 ?x ?2 x ?x 1 }

2.若复数 A. 6

? 6 ? ai 是纯虚数(i 是虚数单位) ,则实数 a 的值为 1 ? 2i B. -6 C. 3 D.

-3

3.函数 y ? ? x 的大致形状是

A

B

C

D

4.已知等差数列 { a n } 中, a ? 9 ? ,则数列 { a n } 的前 15 项和是 4 7 a A.28 B.30 C.32 D. 35

? 5.如图,在△ABC 中,已知 BD 2DC ,则 AD =
A. ? C.

1 3 AB ? AC 2 2

B. D.

1 3 AB ? AC 2 2 1 2 AB ? AC 3 3

1 2 AB ? AC 3 3

?x ? y ? 1 ? 0 ? 6.如果实数 x,y 满足: ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z=2x+y 的最大值 ?x ? 1 ? 0 ?


7 2 7.右边流程图中,语句“s=s×n”将被执行的次数是 A.4 B.5
A.2 B.3 C.
1

D.4

C.6

D.7

8.将函数 y=2sinx 图象上的所有点的横坐标缩小到原来的 再将图象 C1 沿 x 轴向左平移

1 (纵坐标不变) ,得到图象 C1, 2

? 个单位,得到图象 C2,则图象 C2 的解析式可以是 6 1 ? ? A. y ? 2sin( x ? ) B. y ? 2sin( 2 x ? ) 2 3 3 1 ? ? C. y ? 2sin( x ? ) D. y ? 2sin( 2 x ? ) 2 6 6

9.点 P 在圆 x2 ? y2 ?4x ? y? ? 上,则点 P 到直线 x+y-1=0 的最短距离是 2 4 0 A. 2 ? 1 10.有下列四种说法: ①.命题“ ? R, x2 ?x?0”的否定是“ ? R, x2 ?x?0” ; x? x? ②. “命题 p∨ q 为真”是“命题 p ∧ q 为真”的必要不充分条件; ③. “若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为真: ④.若实数 x,y∈[0,1],则满足: x2 ? y2 ?1的概率为
2 2

B.

2 ?1

C.

2

D.0

? . 4

其中错误的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只 能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. 11.以(-1,0)为顶点且离心率为 2 的双曲线的标准方程是________. 12.宏景居民小区由 A、B、C、D 四个片组成,其中 A 片有 340 人,B 片有 620 人,C 片有 460 人,D 片有 500 人.现准备对居民进行问卷调查,采用分层抽样的方法,从四个片区中 随机抽取若干名进行调查,现知从 A 片抽取的人数为 17 人,则从 C 片抽取的人数应为 ____________. 13.一个五面体的三视图如下,正视图与侧视图是等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,部 分边长如图所示,则此五面体的体积为_________.

14. (几何证明选讲选做题) ? 如右图,AB 是圆 O 的直径,直线 CE 和圆 O 相切于点 C, AD CE

ABC 0,则圆 O 的面积是____. ? 30 于 D,若 AD=1, ?
15. (坐标系与参数方程选做题)

2

在极坐标系中, A 和点 B 的极坐标分别为 ( 2 , 点

? 0), 则△OAB 的面积=_____. ) 和(3, 0 为极点, 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知直角坐标平面上四点 O(0, A(1, B(0, C(2cosθ , 0), 0), 1), sinθ ), 满足 OC ? . ?AB 0

(1)求 tanθ 的值;

? ??) 3 (2)求 的值. 2 ? 1 ? 2 sin 2
2 cos(

17. (本小题满分 12 分) 一个袋子中有蓝色球 10 个,红、白两种颜色的球若干个,这些球除颜色外其余完全相同. (1)甲从袋子中随机取出 1 个球,取到红球的概率是 的概率是

1 ,放回后乙取出一个球,取到白球 4

1 ,求红球的个数: 3 (2)从袋子中取出 4 个红球,分别编号为 1 号、2 号、3 号、4 号.将这四个球装入一个盒子 中,甲和乙从盒子中各取一个球(甲先取,取出的球不放回) ,求两球的编号之和不大于 5 的概率.

3

18. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点. (1)求证: AC BC ? 1; (2)求证: AC // 平面 CDB1; 1 (3)求多面体 ADC-A1B1C1 的体积.

19.(本小题满分 14 分) 已知 F1,F2 是椭圆 C :

y2 x2 ? ? 1 的左右焦点. 4 12

(1)若 Q 为椭圆上动点,求 cosF 2的最小值; ?1 QF (2)若 A1、2 分别是椭圆长轴左右端点, 为椭圆上动点, A Q 设直线 A1Q 斜率为 k, k ? ( ? 且 求直线以 A2Q 斜率的取值范围. 20. (本小题满分 14 分) 已知正数数列 { a n } 满足 a ?1, S n ? 1 ?

1 1 ,? ) , 2 3

1 1 (a n ? ) ,其中 Sn 为数列 { a n } 的前 n 项和, an 2

(1)求数列 { a n } 的通项 an; (2)求

1 1 1 的整数部分. ? ??? S1 S2 S100

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f (x) ?x (1 ? x) 2 , x ( ,0 , ???] (1)求 f(x)的极值点; (2)对任意的 a<0,以 F(a)记 f(x)在[a,0]上的最小值,求 k ?

F (a) 的最小值. a

4

参考答案
1.D
2

2.C

3.A

4.B 12.23

5.C 13.2

6.C

7.B

8.B 15.

9.A

10.C

11. x ?

y2 ?1 3

14. 4?

3 3 2

16.(1) OC ? (2 cos? , sin ? )

??????1 分 ??????2 分 ??????4 分 ??????6 分

AB ? (?1,1)
由已知有 ? 2 cos ? ? sin ? ? ?

? tan ? ? 2

2 cos( ? ? ) cos? ? 3 sin ? 3 (2) ? ? cos? 1 ? 2 cos2 2

?

??????10 分

? 1? 3 t a n ? ? 1? 2 3

??????11 分 ??????12 分

17.解:(1)设红球有 x 个,白球 y 个,依题意得 ???1 分

1 1 y x ? , ? , x ? y ? 10 4 x ? y ? 10 3

????3 分

解得 x=6 故红球有 6 个. ???5 分 (2)记“甲取出的球的编号大”为事件 A, 所有的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3), 共 12 个基本事件 ???8 分 事件 A 包含的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4)(2,1), (2,3),(3,1),(3,2)(4,1), 共 8 个基本事件 ???11 分

8 2 ? ???12 分 12 3 18.解:(1)底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5,
) 所以, P(A ?
? ? ?,? ? , (2 分) ACB 90 ACBC

? CC 又在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, CC ?底面 ABC, AC 底面 ABC,? 1 ?AC(3 分) , 1
BC、 CC ?平面 BCC1,且 BC 与 CC1 相交 1

5

? ? AC 平面 BCC1; (5 分)
而 BC ?平面 BCC1 1

? ? 1 AC BC

(6 分)

(2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE,∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点, ∴DE//AC1, (8 分) 平面 ? ? CDB1, AC ?平面 CDB1, DE 1 ∴AC1//平面 CDB1; (10 分) (3) V ? 1BC ? ABCA 1 1 ?VB1?BCD ?1 C B ADC A 1 1 V (11 分)

1 1 (13 分) ? 3 ? 4 ? 4 ? ? 4?3 2 3 =20 (14 分) 19.解:(1)设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为 a,b,c,则有 ?

a ? 2 3 , b ? 2, c ? 2 2 , | F 2 |? c? 4 2 F 2 1
由椭圆定义,有 | QF1 | ?| QF| ?2 ?4 3 a 2
2 2 |QF |QF |F 2| | ? 2| ? 1 2 F cosFQF ?1 2 ? 1 2 1QF | || 2 QF |

????1 分

????2 分

(| |? 2 2 |F | ?QF2 QF |) 1 22 2 1 QF | QF F ? | || | ? 2 1 QF | QF2 || |

????3 分

2b2 ?1 | QF| ?| QF | 2 2 ( 1 ) 2 2 b 1 ? 2 ? 2 ?1 ? ? a 3 1 ? ?1 2的最小值为 ? 。 cosF QF 3 ?

???5 分

??6 分

( 当 且 仅 当 | QF |? | QF2 | 时 , 即 Q 取 椭 圆 上 下 顶 点 时 , cosF 2 取 得 最 小 ?1 QF 1 值)??????7 分 (2)设以 A2Q 的斜率为 k',Q(x0,y0)

y0 则 k ? x ?a , 0 y0 k ' ? x ?a 0

???8 分 ????9 分

? '? .kk

y 02 x2 y2 及 02 ? 0 ? 1 x 02 ? a 2 a b2

???10 分

6

则 kk ' ? ?

b2 1 1 1 ? ? 又 ? ?k ?? a2 3 2 3

???12 分 ????13 分 ????14 分

2 ? ? k ?1 3 2 故 A2Q 斜率的取值范围为 ( ,1 ) 3
20.解:(1)? S n ?

1 2

? 1 ? an ? ? an ?

? 1 1 ? ? [( S n ?Sn? ) ? ], 1 ? 2 S n ? S n ?1 ?

???1 分

即 S ?S ? ? n n1
2

1 , S n ? S n?1
???2 分 ???3 分 ????4 分 ?????5 分

即 S2 ?S ? ? , n 2, ? , 3 1 ? 4 , n n1
2 ?{S n } 为等差数列,

又 S2 ?a2 ?1, 1 1
2 ?Sn ? n ,? n ? n , S

1 , n1 ? ? ?an ? ? ? ?, ? , 4 3 ? ?n n 1 n 2, ,
(2)

?????7 分

1 S
n

?

1 n

?

2 2 n

???8 分

当 n≥2 时,

2( n ? 1 ? n ) ?

2 n ?1 ? n

?

1 2 ? ? Sn 2 n

2 n ?1 ? n

? ( n? n 1 2 ?)
???11 分

? ?2( 101 1 ? 18 ?)

1 1 1 2 ( ? ) 19 ? ??? ? ? 2 100 1 ? , S1 S 2 S 100 2 1

???13 分

1 S1

?

1 1 的整数部分为 18。 ??? S2 S100

?????14 分

2 ( ? ) ( x1 x 1 ?) 21.解:(1) f ' (x) ? (1 ? x) 2 ? x1 x ? ?)( 3
由 f'(x)=0 解得: x1 ? ?1, x 2 ? ? 当 x<-1 或 x ? ?

???(1 分)

1 3

???(2 分)

1 时,f'(x)>0 3

???(3 分)

7

1 时,f'(x)<0 3 所以,有两个极值点:
当 ? ? ?? 1 x

???(4 分)

x1 ? ?1是极大值点,f(-1)=0;

?(5 分)

1 1 4 。?????(6 分) x 2 ? ? 是极小值点, f (? ) ? ? 3 3 27 1 4 4 4 (2)过点 (? ,? ) 做直线 y ? ? ,与 y=f(x)的图象的另一个交点为 A( x,? ) ,则 3 27 27 27 4 ??(8 分) ? x ? ? ? x(x ?1 2 ,即 27x3 ? 54x2 ? 27 4 0 ) 27 1 已知有解 x ? ? ,则 3
(3x ?1 ( x ? x 4? ) 9 2 15 ) 0 ?

4 4 解得 A(? ,? ) ???(10 分) 3 27 f (a) 4 1 当 a ? ? 时, Fa ?f( ); k ? () a ? (1 ? a)2 ? a 3 9

??(11 分)

4 1 4 当 ? ? a ? ? 时, F(a) ? ? ,k ? 3 3 27
其中当 a ? ? 当?

?

4 4 ? 27 ? 27 ? 1 , 4 a 9 ? 3

4 1 时, k ? ; 3 9

???(12 分)

f (a) 1 1 ??(13 分) () a ? a ? 0 时, Fa ?f( ), k ? ? (1 ? a)2 ? a 3 9 1 4 1 所以,对任意的 a<0,k 的最小值为 (其中当 a ? ? 时, k ? ).??(14 分) 9 3 9 (以上答案和评分标准仅供参考,其它答案,请参照给分)

8


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