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浙江专用2018版高考数学大一轮复习第十一章概率随机变量及其分布11.1随机事件的概率


(浙江专用)2018 版高考数学大一轮复习 第十一章 概率、随机变量 及其分布 11.1 随机事件的概率教师用书

1.概率和频率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验, 观察某一事件 A 是否出现, 称 n 次试验中事件 A 出现的 次数 nA 为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)= 为事件 A 出现的频率. (2)对于给定的随机事件 A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率会在某 个常数附近摆动并趋于稳定,我们可以用这个常数来刻画随机事件 A 发生的可能性大小,并 把这个常数称为随机事件 A 的概率,记作 P(A). 2.事件的关系与运算

nA n

定义 如果事件 A 发生, 则事件 B 一定发生, 这时称事 包含关系 件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) 相等关系 并事件 生,称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和 (和事件) 事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发 交事件 生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或 (积事件) 积事件) 若 A∩B 为不可能事件(A∩B=?),那么称事件 A 互斥事件 与事件 B 互斥 若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么 对立事件 称事件 A 与事件 B 互为对立事件 若 B? A 且 A? B 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发

符号表示

B? A(或 A? B) A=B

A∪B(或 A+B)

A∩B(或 AB)

A∩B=?

P(A)+P(B)=1

1

3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率 P(E)=1. (3)不可能事件的概率 P(F)=0. (4)概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B). (5)对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 P(A)=1-P(B). 【知识拓展】 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立 事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是 互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生频率与概率是相同的.( × ) (2)随机事件和随机试验是一回事.( × ) (3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( √ ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( × ) (5)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.( √ ) (6)两互斥事件的概率和为 1.( × )

1. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数 a, 从{1,2,3}中随机选取一个数 b, 则 b>a 的概率是( A. 4 3 B. 5 5 2 C. 5 1 D. 5

)

答案 D 3 1 解析 基本事件的个数有 5×3=15,其中满足 b>a 的有 3 种,所以 b>a 的概率为 = . 15 5 2.(教材改编)将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中“正面向上恰有 5 次”是( A.必然事件 B.随机事件
2

)

C.不可能事件 答案 B

D.无法确定

解析 抛掷 10 次硬币正面向上的次数可能为 0~10,都有可能发生,正面向上 5 次是随机事 件. 3.某射手在一次射击中,射中 10 环,9 环,8 环的概率分别为 0.2,0.3,0.1,则此射手在一 次射击中不超过 8 环的概率为( A.0.5 B.0.3 C.0.6 D.0.9 答案 A 解析 依题设知,此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为 1-(0.2+0.3)=0.5. 4.(教材改编)袋中装有 9 个白球,2 个红球,从中任取 3 个球,则①恰有 1 个红球和全是白 球;②至少有 1 个红球和全是白球;③至少有 1 个红球和至少有 2 个白球;④至少有 1 个白 球和至少有 1 个红球.在上述事件中,是对立事件的为________. 答案 ② 解析 ①是互斥不对立的事件,②是对立事件,③④不是互斥事件. )

题型一 事件关系的判断 例 1 (1)从 1,2,3,?,7 这 7 个数中任取两个数,其中: ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数; ②至少有一个是奇数和两个都是奇数; ③至少有一个是奇数和两个都是偶数; ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中,是对立事件的是( A.① B.②④ C.③ D.①③ (2)设条件甲:“事件 A 与事件 B 是对立事件”,结论乙:“概率满足 P(A)+P(B)=1”,则 甲是乙的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充分不必要条件 C.充要条件

(3)在 5 张电话卡中, 有 3 张移动卡和 2 张联通卡, 从中任取 2 张, 若事件“2 张全是移动卡”
3

3 7 的概率是 ,那么概率是 的事件是( 10 10 A.至多有一张移动卡 C.都不是移动卡 答案 (1)C (2)A (3)A

)

B.恰有一张移动卡 D.至少有一张移动卡

解析 (1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”,而从 1~7 中任取两个数 根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件:“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是 偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件,易知其余都不是对立事 件. (2)若事件 A 与事件 B 是对立事件,则 A∪B 为必然事件,再由概率的加法公式得 P(A)+P(B) =1.设掷一枚硬币 3 次, 事件 A: “至少出现一次正面”, 事件 B: “3 次出现正面”, 则 P(A) 7 1 = ,P(B)= ,满足 P(A)+P(B)=1,但 A,B 不是对立事件. 8 8 (3)至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”,“两张全是联通卡”两个事件,它 是“2 张全是移动卡”的对立事件. 思维升华 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 ①互斥事件是不可能同时发生的事件,但可以同时不发生. ②对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发 生. (2)判别互斥、对立事件的方法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事 件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件. 从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取 2 个球,以下给出了四组事件: ①至少有 1 个白球与至少有 1 个黄球; ②至少有 1 个黄球与都是黄球; ③恰有 1 个白球与恰有 1 个黄球; ④恰有 1 个白球与都是黄球. 其中互斥而不对立的事件共有( A.0 组 答案 B 解析 ①中“至少有 1 个白球”与“至少有 1 个黄球”可以同时发生,如恰好 1 个白球和 1
4

)

B.1 组

C.2 组

D.3 组

个黄球,①中的两个事件不是互斥事件.②中“至少有 1 个黄球”说明可以是 1 个白球和 1 个黄球或 2 个黄球,则两个事件不互斥.③中“恰有 1 个白球”与“恰有 1 个黄球”,都是 指有 1 个白球和 1 个黄球,因此两个事件是同一事件.④中两事件不能同时发生,也可能都 不发生,因此两事件是互斥事件,但不是对立事件,故选 B. 题型二 随机事件的频率与概率 例 2 (2016·全国甲卷)某险种的基本保费为 a(单位: 元), 继续购买该险种的投保人称为续 保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:

上年度出险次数 保费

0 0.85a

1

2 1.25

3 1.5a

4 1.75a

≥5 2a

a a

随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

出险次数 频数

0 60

1 50

2 30

3 30

4 20

≥5 10

(1)记 A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求 P(A)的估计值; (2)记 B 为事件: “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”, 求 P(B) 的估计值; (3)求续保人本年度的平均保费的估计值. 解 (1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知,一年内出险次数小于 2 60+50 的频率为 =0.55,故 P(A)的估计值为 0.55. 200 (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数据知,一年内出险次数大 30+30 于 1 且小于 4 的频率为 =0.3,故 P(B)的估计值为 0.3. 200 (3)由所给数据得 保费 频率 0.85a 0.30

a
0.25

1.25a 0.15

1.5a 0.15

1.75a 0.10

2a 0.05

5

调查的 200 名续保人的平均保费为 0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+ 1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a. 思维升华 (1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用 概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作为随机事件概率的估计值. (2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于 某一个常数,这个常数就是概率. (2015·北京)某超市随机选取 1 000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁 四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.

商品 甲 顾客人数 100 217 200 300 85 98 √ × √ √ √ × × √ √ × × √ √ × √ √ × × √ √ × × × × 乙 丙 丁

(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 解 (1)从统计表可以看出,在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙, 200 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 =0.2. 1 000 (2)从统计表可以看出,在这 1 000 位顾客中,有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了 2 种商品.

6

100+200 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 =0.3. 1 000 (3)与(1)同理,可得: 200 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 =0.2, 1 000 100+200+300 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 =0.6, 1 000 100 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 =0.1. 1 000 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大. 题型三 互斥事件、对立事件的概率 命题点 1 互斥事件的概率 例 3 袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率 1 5 5 是 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到黑球、黄球和绿 3 12 12 球的概率各是多少? 解 方法一 从袋中选取一个球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿 球”分别为 A,B,C,D,则有

P(A)= ,P(B∪C)=P(B)+P(C)= , P(C∪D)=P(C)+P(D)= , P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1- = , 解得 P(B)
1 1 1 1 1 1 = ,P(C)= ,P(D)= ,因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 , , . 4 6 4 4 6 4 方法二 设红球有 n 个,则 又得到黑球或黄球的概率是 5 12 1 2 3 3

1 3

5 12

n 1 = ,所以 n=4,即红球有 4 个. 12 3
5 ,所以黑球和黄球共 5 个. 12

又总球数是 12,所以绿球有 12-4-5=3(个). 5 又得到黄球或绿球的概率也是 ,所以黄球和绿球共 5 个,而绿球有 3 个,所以黄球有 5-3 12 =2(个). 所以黑球有 12-4-3-2=3(个). 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 3 1 2 1 3 1 = , = , = . 12 4 12 6 12 4 命题点 2 对立事件的概率 例 4 某商场有奖销售中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购多得.1 000 张奖券为一个开奖
7

单位,设特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖,一等奖,二等奖 的事件分别为 A,B,C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1 张奖券的中奖概率; (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 1 10 1 解 (1)P(A)= ,P(B)= = , 1 000 1 000 100

P(C)=

50 1 = . 1 000 20 1 1 1 , , . 1 000 100 20

故事件 A,B,C 的概率分别为

(2)1 张奖券中奖包含中特等奖,一等奖,二等奖. 设“1 张奖券中奖”这个事件为 M,则 M=A∪B∪C. ∵A,B,C 两两互斥, ∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) = 1+10+50 61 = . 1 000 1 000 61 . 1 000

故 1 张奖券的中奖概率为

(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N,则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中 一等奖”为对立事件, ∴P(N)=1-P(A∪B)=1-?

? 1 + 1 ?= 989 . ? ?1 000 100? 1 000

989 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 . 1 000 思维升华 求复杂事件的概率的两种方法 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的,求解时通常有两种方法: (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件,利用概率加法公式求解概率; (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时, 需要分类太多, 而其对立面的分 类较少, 可考虑利用对立事件的概率公式, 即“正难则反”. 它常用来求“至少”或“至多” 型事件的概率. 经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:

排队人数

0

1

2

3

4

5 人及 5 人以上
8

概率

0.1

0.16

0.3

0.3

0.1

0.04

求:(1)至多 2 人排队等候的概率; (2)至少 3 人排队等候的概率. 解 记“无人排队等候”为事件 A,“1 人排队等候”为事件 B,“2 人排队等候”为事件 C, “3 人排队等候”为事件 D,“4 人排队等候”为事件 E,“5 人及 5 人以上排队等候”为事 件 F,则事件 A、B、C、D、E、F 彼此互斥. (1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G,则 G=A+B+C, 所以 P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) =0.1+0.16+0.3=0.56. (2)方法一 记“至少 3 人排队等候”为事件 H, 则 H=D+E+F, 所以 P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44. 方法二 记“至少 3 人排队等候”为事件 H, 则其对立事件为事件 G, 所以 P(H)=1-P(G)=0.44.

26.用正难则反思想求互斥事件的概率

典例 (15 分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息, 安排一名员工随机收集了在 该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间 1 (分钟/人) 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 ...2 分钟的概率.(将频率视为概率) 1.5 2 2.5 3 1至4件 5至8件 30 9 至 12 件 25 13 至 16 件 17 件及以上 10

x

y

9

思想方法指导 若某一事件包含的基本事件多,而它的对立事件包含的基本事件少,则可用 “正难则反”思想求解. 规范解答 解 (1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45, 所以 x=15,y=20.[2 分] 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时 间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样 本平均数估计,其估计值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 100 =1.9(分钟).[7 分] (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”,A1,A2 分别表示事件“该顾 客一次购物的结算时间为 2.5 分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟”,将频率视 20 1 10 1 为概率得 P(A1)= = ,P(A2)= = .[10 分] 100 5 100 10

P(A)=1-P(A1)-P(A2)=1- - = .[12 分]
7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 .[15 分] 10

1 1 5 10

7 10

1 1 1.(2016·天津)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 ,甲获胜的概率是 ,则甲不输的 2 3 概率为( A. C. 5 6 1 6 ) B. D. 2 5 1 3

答案 A 1 解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件, 所以甲不输的概率为 + 2 1 5 = . 3 6 2.(教材改编)袋中装有 3 个白球,4 个黑球,从中任取 3 个球,则①恰有 1 个白球和全是白 球;②至少有 1 个白球和全是黑球;③至少有 1 个白球和至少有 2 个白球;④至少有 1 个白
10

球和至少有 1 个黑球. 在上述事件中,是对立事件的为( A.① B.② C.③ 答案 B 解析 至少有 1 个白球和全是黑球不同时发生,且一定有一个发生. ∴②中两事件是对立事件. 3.(2016·临安中学模拟)从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A={抽到一等品},事件 B ={抽到二等品},事件 C={抽到三等品},且已知 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则 事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( A.0.7 B.0.65 答案 C 解析 ∵“抽到的产品不是一等品”与事件 A 是对立事件, ∴所求概率 P=1-P(A)=0.35. 4.(2016·杭州模拟)有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、 南、西、北四个方向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是( A.互斥但非对立事件 C.相互独立事件 答案 A 解析 由于每人一个方向,故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的,故是互斥事件,但 不是对立事件,故选 A. 5.(2016·蚌埠模拟)从一篮子鸡蛋中任取 1 个,如果其重量小于 30 克的概率为 0.3,重量 在[30,40]克的概率为 0.5,那么重量不小于 30 克的概率为( A.0.8 B.0.5 C.0.7 D.0.3 答案 C 解析 由互斥事件概率公式知重量大于 40 克的概率为 1-0.3-0.5=0.2, 又∵0.5+0.2=0.7,∴重量不小于 30 克的概率为 0.7. 6.从存放的号码分别为 1,2,3,?,10 的卡片的盒子中,有放回地取 100 次,每次取一张卡 片并记下号码,统计结果如下: ) B.对立事件 D.以上都不对 ) C.0.35 D.0.5 ) D.④ )

11

卡片号码 取到次数

1 13

2 8

3 5

4 7

5 6

6 13

7 18

8 10

9 11

10 9

则取到号码为奇数的卡片的频率是( A.0.53 答案 A B.0.5 C.0.47 D.0.37

)

53 解析 取到号码为奇数的卡片的次数为 13+5+6+18+11=53, 则所求的频率为 =0.53. 100 故选 A. 7.在 200 件产品中,有 192 件一级品,8 件二级品,则下列事件: ①在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是一级品; ②在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是二级品; ③在这 200 件产品中任意选出 9 件,不全是二级品. 其中________是必然事件;________是不可能事件;________是随机事件. 答案 ③ ② ① 8.若随机事件 A,B 互斥,A,B 发生的概率均不等于 0,且 P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则 实数 a 的取值范围是________________. 5 4 答案 ( , ] 4 3

?0<P?A?<1,
解析 由题意可知?0<P?B?<1,

?

?0<2-a<1,
? ?0<4a-5<1

?

? ?P?A?+P?B?≤1

? ?3a-3≤1

? 5 3 ? <a< , ,? ?4 2 4 ? ?a≤3

1<a<2, ? 5 4

4 <a≤ . 3 9.在 5 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的 数能被 2 或 5 整除的概率是________. 答案 3 5

解析 个位数字共有 5 种情况,只有当个位数字取 2,4,5 时,得到的数才能被 2 或 5 整除, 3 所以概率为 . 5 10.(2016·江苏苏州五中期中)一个口袋内装有大小相同的红球,白球和黑球,从中摸出一
12

个球,摸出红球或白球的概率为 0.58,摸出红球或黑球的概率为 0.62,那么摸出红球的概率 为________. 答案 0.2 解析 记事件 A,B,C 分别是摸出红球,白球和黑球,则 A,B,C 互为互斥事件且 P(A+B) =0.58,P(A+C)=0.62,所以 P(C)=1-P(A+B)=0.42,P(B)=1-P(A+C)=0.38,P(A) =1-P(C)-P(B)=1-0.38-0.42=0.2. 11.某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结 果统计如下:

赔付金额(元) 车辆数(辆)

0 500

1 000 130

2 000 100

3 000 150

4 000 120

(1)若每辆车的投保金额均为 2 800 元,估计赔付金额大于投保金额的概率; (2)在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中,车主是新 司机的占 20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4 000 元的概率. 解 (1)设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元”,B 表示事件“赔付金额为 4 000 元”,以频 率估计概率得

P(A)=

150 120 =0.15,P(B)= =0.12. 1 000 1 000

由于投保金额为 2 800 元,赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为 3 000 元和 4 000 元,所以其概率为 P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. (2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4 000 元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的 有 0.1×1 000=100(辆),而赔付金额为 4 000 元的车辆中,车主为新司机的有 0.2×120= 24 24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为 =0.24,由频率估计概 100 率得 P(C)=0.24. 12.国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩,正在加紧备战,经过近期训练,某 队员射击一次命中 7~10 环的概率如下表所示:

命中环数 概率

10 环 0.32

9环 0.28

8环 0.18

7环 0.12
13

求该射击队员射击一次: (1)射中 9 环或 10 环的概率; (2)命中不足 8 环的概率. 解 记事件“射击一次,命中 k 环”为 Ak(k∈N,k≤10),则事件 Ak 之间彼此互斥. (1)记“射击一次,射中 9 环或 10 环”为事件 A,那么当 A9,A10 之一发生时,事件 A 发生, 由互斥事件的加法公式得 P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.6. (2)设“射击一次, 至少命中 8 环”的事件为 B, 则 B 表示事件“射击一次, 命中不足 8 环”. 又 B=A8∪A9∪A10,由互斥事件概率的加法公式得

P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)
=0.18+0.28+0.32=0.78. 故 P( B )=1-P(B)=1-0.78=0.22. 因此,射击一次,命中不足 8 环的概率为 0.22. *13.一盒中装有 12 个球,其中 5 个红球,4 个黑球,2 个白球,1 个绿球.从中随机取出 1 球,求: (1)取出 1 球是红球或黑球的概率; (2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率. 解 方法一 (利用互斥事件求概率) 记事件 A1={任取 1 球为红球},

A2={任取 1 球为黑球},A3={任取 1 球为白球},A4={任取 1 球为绿球},
5 4 1 2 1 则 P(A1)= ,P(A2)= = ,P(A3)= = , 12 12 3 12 6

P(A4)= .
根据题意知,事件 A1,A2,A3,A4 彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得 (1)取出 1 球为红球或黑球的概率为

1 12

P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)
5 4 3 = + = . 12 12 4 (2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)
14

5 4 2 11 = + + = . 12 12 12 12 方法二 (利用对立事件求概率) (1)由方法一知, 取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球, 即 A1∪A2 的对 立事件为 A3∪A4,所以取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3) 2 1 3 -P(A4)=1- - = . 12 12 4 (2)因为 A1∪A2∪A3 的对立事件为 A4, 1 11 所以 P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1- = . 12 12

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