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2015年江苏高考南通密卷三(南通市数学学科基地命题)


2015 年江苏高考全真模拟试卷三
一、填空题 1.函数 y ? sin( ?x ? ) 的最小正周期为 2. 在平面直角坐标系中,设向量 a ? (1,2),b ? (?3,2) ,则 a ? (a ? b) = 3.复数 .

1 3

2?i ( i 为虚数单位)的模 1? i

.

4. 在标号为 0,1,2 的三张卡片中随机抽取两张卡片,则这两张卡片上的标号之和为奇数 的概率是 5.下表是某同学五次数学附加题测试的得分,则该组数据的方差为 . 星期 分数 一 36 二 21 三 30 四 28 五 35

6.某圆锥的侧面展开图是半径为 1 cm 的半圆,则该圆锥的体积是 7.若函数 f ( x) ?
x x

cm 3
.

e ( e ? m) ( e 为自然对数的底数)是奇函数,则实数 m 的值为 ex ? 1
.

8.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a2 ? 7, S7 ? ?7 ,则 a7 的值为 9.给出下列等式:

2 ? 2 cos

?
4



2 ? 2 ? 2 cos

?
8



2 ? 2 ? 2 ? 2 cos
??

?
16



请从中归纳出第 n 个等式

2 ? 2 ??? 2 ? 2 = ???? ? ????? ?
n个 2

(n ? N ?)

10.在锐角三角形 ABC 中,若 tan A, tan B, tanC 依次成等差数列,则 tan A tan B tan C 的值 为 11.在平面直角坐标系 xoy 中,若直线 l:x ? 2 y ? 0 与圆 C: ( x ? a) ? ( y ? b) ? 5 相切,
2 2

且圆心 C 在直线 l 的上方,则 ab 最大值为

.

? ? ? ) ? 1, tan( ? ? ? ) ? 2 ,则 12.已知 tan(

sin 2? 的值为 cos2?

.

?x ? 2 ? 0 ? 3x ? y,4 x ? 2 y} ,则 z 的取值范围是 13.已知实数 x , y 满足 ? y ? 0 ,设 z ? max{ ?x ? y ? 2 ?
1

a, b} 表示 a , b 两数中的较大数) ( max{
14.若幂函数 f ( x) ? x 及其导函数 f ?( x ) 在区间( 0,?? )上的单调性一致(同为增函数或
?

同为减函数) ,则实数 a 的取值范围 二.解答题 15. 在平面直角坐标系中, 设向量 m ? ( 3 cos A, sin A) , 其中 A, B n ? (cosB,? 3 sin B) , 为 ?ABC 的两个内角. (1)若 m ? n ,求证: C 为直角; (2)若 m // n ,求证: B 为锐角。

16.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ?PAB 为二面角 P ? AD ? B 的平面角。 (1)求证: 平面PAB ? 平面ABCD ; (2)若 BC ? 平面PAB ,求证: AD // 平面PBC .

2

17.如图,在平面直角坐标系 xoy 中, A, B 是圆 O:x ? y ? 1 与 x 轴的两个交点(点 B 在
2 2

点 A 右侧) ,点 Q(?2,0) , x 轴上方的动点 P 使直线 PA, PQ, PB 的斜率存在且依次成等差 数列。 (1)求证:动点 P 的横坐标为定值; (2)设直线 PA, PB 与圆 O 的另一个交点为 S , T ,求证:点 Q, S , T 三点共线. y P

T S Q A O B x

18.如图甲,一个正方体魔方由 27 个单位(长度为 1 个单位长度)小立方体组成,把魔方中 间一层 EFGH ? E1 F1G1 H1 转动 ? ,如图乙,设 ? 的对边长为 x (1)试用 ? 表示 x ; (2)求魔方增加的表面积的最大值

3

n n n ?1 19.设正整数 a, b, c 满足:对任意的正整数 n , a ? b ? c

(1)求证: a ? b ? c (2)求出所有满足题设的 a, b, c 的值.

20.定义:若数列 {an } 满足对任意的 n ? N , 2an?1 ? an ? an?2 ,且存在最小的上界 S ,使得
?

an ? S ,则称 {an } 为“ S 型”数列。
(1)若正项等比数列 {an } 的前 n 项和为 Tn ,且 a3 ? 型”数列,并说明理由。 (2)若 {an } 为“ S 型”数列,且任意一项均不为 S ,求证:对任意的 n ? N , an?1 ? an 。
?

1 7 , T3 ? ,试判断数列 {Tn } 是否为“2 4 4

4

附加题
21.选做题(本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作答. ...... 若多做,则按前两题评分) A.选修 4-1:几何证明选讲(10 分) 如图,已知 ?ABC 的两条内角平分线 AD, BE 交于点

F ,且 ?C ? 60? 。
求证: C , D, E, F 四点共圆。

B.选修 4-2:矩阵与变换(10 分) 已知矩阵 A ? ?

? 1 ? 2? ? 5 ? ,B ? ? ? ? 满足 AX ? B ,求矩阵 X ?? 2 ? 1 ? ?? 15?

C.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在极坐标系中,设点 A 为曲线 C:? ? 2 cos? 在极轴 Ox 上方的一点,且 0 ? ?AOx ?

?
4



以 A 为直角顶点, AO 为一条直角边作等腰直角三角形 OAB ( B 在 A 的右下方) ,求点 B 的轨迹方程.

D.选修 4-5:不等式选讲(10 分) 已知 a, b, c, d 满足 a ? b ? cd ? 1 ,求证: (ac ? bd)(ad ? bc) ? 1 .
5

必做题(第 22、23 题,每题 10 分,共 20 分) 22.(10 分) 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 p(0 ? p ? 1) 。现有 3 次投篮机会,并规定连续两次 投篮均不不中即终止投篮。 已知该运动员不放弃任何一次投篮机会, 且恰用完 3 次投篮机会

21 25 (1) 求 p 的值;
的概率是 (2) 设该运动员投篮命中次数为 ? ,求 ? 的概率分布及数学期望 E (? ) 。

23.设函数 f n (? ) ? sin 数。

n

? ? cos ? , n ? N ,且 f (? ) ? a ,其中常数 a 为区间 (0,1) 内的有理
n ?
1

(1)求 f n (? ) 的表达式(用 a 和 n 表示) (2)求证:对任意的正整数 n , f n (? ) 为有理数。

6

7

]

8

9

10

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