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导数各类题型方法总结


首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2 变更主元;3 根分布;4 判别式法 5、二次函数区间最值求法: (1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问 题”以及“充分应用数形结合思想” ,创建不等关系求出取值范围。 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 f ' ( x) ? 0 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种:

第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元) ;
例 1:设函数 y ? f ( x) 在区间 D 上的导数为 f ?( x ) , f ?( x ) 在区间 D 上的导数为 g ( x) ,若在区间 D 上 , g ( x) ? 0 恒 成 立 , 则 称 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 D 上 为 “ 凸 函 数 ” ,已知实数 m 是常数,

x 4 mx3 3x 2 f ( x) ? ? ? 12 6 2 (1)若 y ? f ( x) 在区间 ?0,3? 上为“凸函数” ,求 m 的取值范围;
(2)若对满足 m ? 2 的任何一个实数 m ,函数 f ( x ) 在区间 ? a, b ? 上都为“凸函数” ,求 b ? a 的最大 值.

x 4 mx3 3x 2 x3 mx 2 ? ? ? ? 3x 得 f ?( x) ? 12 6 2 3 2 ? g ( x) ? x2 ? mx ? 3 y ? f ( x) 在区间 ?0,3? 上为“凸函数” (1) ,
解:由函数 f ( x) ? 则 ? g ( x) ? x2 ? mx ? 3 ? 0 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于 gmax ( x) ? 0

? 0 ?? ? 3 0 ?g( 0 ) ?? ?m?2 ? ? 0 ? ? 9 m3 ? ?3 0 ?g( 3 )

解法二:分离变量法:
2 ∵ 当 x ? 0 时, ? g ( x) ? x ? mx ? 3 ? ?3 ? 0 恒成立, 2 当 0 ? x ? 3 时, g ( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 恒成立

x2 ? 3 3 ? x ? 的最大值( 0 ? x ? 3 )恒成立, 等价于 m ? x x 3 而 h( x ) ? x ? ( 0 ? x ? 3 )是增函数,则 hmax ( x) ? h(3) ? 2 x ?m ? 2

(2)∵当 m ? 2 时 f ( x ) 在区间 ? a, b ? 上都为“凸函数” 则等价于当 m ? 2 时 g ( x) ? x2 ? mx ? 3 ? 0 恒成立

变更主元法
再等价于 F (m) ? mx ? x2 ? 3 ? 0 在 m ? 2 恒成立(视为关于

m 的一次函数最值问题)

?? x2? x 2 ? ?3 0 ? 0 ? ? F (? 2 ) ?? ?? ? ?1 ? x ? 1 2 2 x ? x ? 3 ? 0 ? ? F (2) ? 0 ? ?b ? a ? 2
-2 2

例 2:设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b(0 ? a ? 1, b ? R) 3

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], 不等式 f ?( x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围.

(二次函数区间最值的例子)
解: (Ⅰ) f ?( x) ? ?x2 ? 4ax ? 3a2 ? ? ? x ? 3a ?? x ? a ?

0 ? a ?1

f ?( x)
a 3a a 3a

令 f ?( x) ? 0, 得 f ( x) 的单调递增区间为(a,3a) 令 f ?( x) ? 0, 得 f ( x) 的单调递减区间为(- ? ,a)和(3a,+ ? ) ∴当 x=a 时, f ( x) 极小值= ?

3 3 a ? b; 4

当 x=3a 时, f ( x) 极大值=b.
2 2

(Ⅱ)由| f ?( x) |≤a,得:对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], ?a ? x ? 4ax ? 3a ? a 恒成立① 则 等 价 于 g ( x) 这 个 二 次 函 数 ?

? g max ( x) ? a ? g min ( x) ? ?a
(放缩法)

g ( x) ? x2 ? 4ax ? 3a2 的 对 称 轴 x ? 2a

0 ? a ? 1,

a ? 1 ? a ? a ? 2a

即定义域在对称轴的右边, g ( x) 这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。

g ( x) ? x2 ? 4ax ? 3a2 在[a ? 1, a ? 2] 上是增函数.


g ( x)max ? g (a ? 2) ? ?2a ? 1. g ( x)min ? g (a ? 1) ? ?4a ? 4.

?a ? 1,
x ? 2a

a ? 2?

于是,对任意 x ? [a ? 1, a ? 2] ,不等式①恒成立,等价于

? g (a ? 2) ? ?4a ? 4 ? a, 4 解得 ? a ? 1. ? 5 ? g (a ? 1) ? ?2a ? 1 ? ?a
又 0 ? a ? 1, ∴

4 ? a ? 1. 5

第三种:构造函数求最值 题型特征: f ( x) ? g ( x) 恒成立 ? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立;从而转化为第一、二种题型
例 3;已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 图象上一点 P(1, b) 处的切线斜率为 ?3 ,

t ?6 2 x ? (t ? 1) x ? 3 (t ? 0) 2 (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅲ)当 x ? [1, 4] 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。 g ( x) ? x 3 ?

?b ? 1 ? a t 2 x ? [1, 4] (Ⅲ)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? x ? (t ? 1) x ? 3 2 思路 1:要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立,只需 h( x) ? 0 ,即 t ( x2 ? 2x) ? 2 x ? 6 分离变量
思路 2:二次函数区间最值

解: (Ⅰ) f / ( x) ? 3x 2 ? 2ax ∴ ?

? f / (1) ? ?3



解得 ?

?a ? ?3 ?b ? ?2

二、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法 1:转化为 f ' ( x) ? 0或f ' ( x) ? 0 在给定区间上恒成立, 回归基础题型 解法 2:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增或减区间,然后让 所给区间是求的增或减区间的子集;
做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b) ” ,要弄清楚 两句话的区别:前者是后者的子集
例 4:已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

1 3 a ?1 2 x ? x ? (4a ? 1) x . 12 2

(Ⅰ)如果函数 g ( x) ? f ?( x) 是偶函数,求 f ( x) 的极大值和极小值; (Ⅱ)如果函数 f ( x) 是 (??,
解:

? ?) 上的单调函数,求 a 的取值范围.

f ?( x) ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? (4a ? 1) . 4

可知:

f ( x) 的极大值为 f (?2 3) ? 4 3 ,
f ( x) 是 (??, ? ?) 上的单调函数,

f ( x) 的极小值为 f (2 3) ? ?4 3 .

(Ⅱ)∵函数



f ?( x) ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? (4a ? 1) ? 0 ,在给定区间 R 上恒成立判别式法 4 1 2 2 则 ? ? ( a ? 1) ? 4 ? ? (4a ? 1) ? a ? 2a ? 0, 解得: 0 ? a ? 2 . 4

综上, a 的取值范围是 {a 0 ? a ? 2} .

例 5、已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (2 ? a) x 2 ? (1 ? a) x(a ? 0). 3 2

(I)求 f ( x ) 的单调区间; (II)若 f ( x ) 在[0,1]上单调递增,求 a 的取值范围。子集思想 (I) f ?( x) ? x2 ? (2 ? a) x ? 1 ? a ? ( x ? 1)( x ? 1 ? a). 1、 当a ? 0时, f ?( x) ? ( x ? 1)2 ? 0恒成立, 当且仅当 x ? ?1 时取“=”号, f ( x)在(??, ??) 单调递增。 2、 当a ? 0时,由f ?( x) ? 0, 得x1 ? ?1, x2 ? a ? 1, 且x1 ? x2 ,

f ?( x)
-1 a-1

, ( ? 1? ,? ) 单调增区间: (? ?, ?1 ) a , ? 1) 单调增区间: (? 1 a
( II )当

f ( x)在[0,1]上单调递增,

则 ?0,1? 是上述增区间的子

集: 1、 a ? 0 时, f ( x)在(??, ??) 单调递增 符合题意 2、 ?0,1? ? ? a ?1, ??? ,? a ? 1 ? 0 综上,a 的取值范围是[0,1]。 例 7、已知函数 f ( x) ? ax ?
3

?a ?1

1 2 x ? 2x ? c 2

(1)若 x ? ?1 是 f ( x ) 的极值点且 f ( x ) 的图像过原点,求 f ( x ) 的极值;

1 2 bx ? x ? d ,在(1)的条件下,是否存在实数 b ,使得函数 g ( x) 的图像与函数 f ( x) 的 2 图像恒有含 x ? ?1 的三个不同交点?若存在,求出实数 b 的取值范围;否则说明理由。
(2)若 g ( x) ?
高 1考1 资1 源2网

解: (1)∵ f ( x) 的图像过原点,则 f (0) ? 0 ? c ? 0

f ?( x) ? 3ax2 ? x ? 2 ,

又∵ x ? ?1 是 f ( x ) 的极值点,则 f ?(?1) ? 3a ? 1 ? 2 ? 0 ? a ? ?1

f ?( x)
-1

? f ?( x) ? 3x2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ? 1) ? 0
f 极大值 ( x) ? f (?1) ? 3 2 2 22 f 极小值 ( x )? f ( ? )? 3 7

2 3

题 2:切线的条数问题====以切点 x0 为未知数的方程的根的个数
例 7、已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极小值-4,使其导数 f '( x) ? 0 的 x 的取值范围 为 (1,3) ,求: (1) f ( x ) 的解析式; (2)若过点 P(?1, m) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取 值范围. (1)由题意得: f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 3a( x ?1)( x ? 3),(a ? 0) ∴ 在 (??,1) 上 f '( x) ? 0 ;在 (1,3) 上 f '( x) ? 0 ;在 (3, ??) 上 f '( x) ? 0 因此 f ( x ) 在 x0 ? 1 处取得极小值 ?4 ∴a ? b ? c ? ?4 ① , f '(1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ② , f '(3) ? 27a ? 6b ? c ? 0 ③

? a ? ?1 ? 由① ② ③ 联立得: ?b ? 6 ,∴ f ( x) ? ? x3 ? 6x2 ? 9x ? c ? ?9 ?
(2)设切点 Q (t , f (t )) , y ? f (t ) ? f , (t )( x ? t )

y ? (?3t 2 ? 12t ? 9)( x ? t ) ? (?t 3 ? 6t 2 ? 9t ) ? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (3t 2 ?12t ? 9) ? t (t 2 ? 6t ? 9) ? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (2t 2 ? 6t ) 过 (?1, m) m ? (?3t 2 ? 12t ? 9)(?1) ? 2t 3 ? 6t 2 g (t ) ? 2t 3 ? 2t 2 ?12t ? 9 ? m ? 0 令 g '(t ) ? 6t 2 ? 6t ?12 ? 6(t 2 ? t ? 2) ? 0 , 求得: t ? ?1, t ? 2 ,方程 g (t ) ? 0 有三个根。 ? g (?1) ? 0 ??2 ? 3 ? 12 ? 9 ? m ? 0 ?m ? 16 需: ? ?? ?? ? g (2) ? 0 ?16 ? 12 ? 24 ? 9 ? m ? 0 ?m ? ?11
故: ?11 ? m ? 16 ;因此所求实数 m 的范围为: (?11,16)

题 3:已知 f ( x) 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0 的根的个数
解法:根分布或判别式法 例 8、

解:函数的定义域为 R 可知函数 f(x)的单调递增区间为 ( ??, 2) 和(5,+∞) ,单调递减区间为 ? 2,5? . (Ⅱ) f ?( x ) =x2-(m+3)x+m+6, 要使函数 y=f (x)在(1,+∞)有两个极值点, ? f ?( x) =x2-(m+3)x +m+6=0 的根在(1,+∞) 1

根分布问题:
? ?? ? (m ? 3) 2 ? 4(m ? 6) ? 0; ? 则 ? f ?(1) ? 1 ? (m ? 3) ? m ? 6 ? 0; , 解得 m>3 ?m ? 3 ? ? 1. ? 2

其它例题:
(a ? 0) 1、 (最值问题与主元变更法的例子).已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b 在
区间 ? ?2,1? 上的最大值是 5,最小值是-11. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式;

? tx ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围. (Ⅱ)若 t ? [?1,1] 时, f ?( x)
解: (Ⅰ)

f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b,? f ' ( x) ? 3ax2 ? 4ax ? ax(3x ? 4) 4 ' 令 f ( x) =0,得 x1 ? 0, x2 ? ? ? ?2,1? 3 因为 a ? 0 ,所以可得下表:

x
f ' ( x)

??2,0?
+ ↗

0 0 极大

? 0,1?


f ( x)

因此 f (0) 必为最大值,∴ f(0) ? 5 因此 b ? 5 ,

f (?2) ? ?16a ? 5, f (1) ? ?a ? 5,? f (1) ? f (?2) ,
2

即 f (?2) ? ?16a ? 5 ? ?11,∴ a ? 1 ,∴ f ( x) ? x 3 ? 2x 2 ? 5.
2 ? tx ? 0 等价于 3x ? 4 x ? tx ? 0 , (Ⅱ)∵ f ?( x) ? 3x ? 4 x ,∴ f ?( x)

令 g (t ) ? xt ? 3x ? 4x ,则问题就是 g(t ) ? 0 在 t ? [?1,1] 上恒成立时,求实数 x 的取值范围,
2

?3x 2 ? 5x ? 0 ? g (?1) ? 0 ,即 ? 2 , 1) ? 0 ? g( ? x ? x?0 解得 0 ? x ? 1 ,所以所求实数 x 的取值范围是[0,1].
为此只需 ?


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