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2012年高考真题汇编——文科数学(解析版)11:不等式


2012 高考试题分类汇编:11:不等式
一、选择题
? x ? 2 y ? 2, ? 1.【2012 高考山东文 6】设变量 x, y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 4, 则目标函数 z ? 3x ? y 的取值范 ?4 x ? y ? ?1, ?

围是

3 (A) [? ,6] 2
【答案】A

3 (B) [? , ?1] 2

(C) [ ?1, 6]

3 (D) [?6, ] 2

【解析】做出不等式所表示的区域如图

,由 z ? 3x ? y 得

y ? 3x ? z ,平移直线 y ? 3x ,由图象可知当直线经过点 E (2,0) 时,直线 y ? 3x ? z 的截距
最小,此时 z 最大为 z ? 3x ? y ? 6 ,当直线经过 C 点时,直线截距最大,此时 z 最小,由

1 ? ?4 x ? y ? ?1 3 3 ?x ? ,解得 ? 2 ,此时 z ? 3x ? y ? ? 3 ? ? ,所以 z ? 3x ? y 的取值范围是 ? 2 2 ?2 x ? y ? 4 ? ?y ? 3
3 [ ? ,6] ,选 A. 2

?x ? 0 ? 2.【2012 高考安徽文 8】若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ?2 x ? y ? 3 ?
(A)-3 【答案】A (B)0 (C)

,则 z ? x ? y 的最小值是

3 2

(D)3

), 【 解 析 】 约 束 条 件 对 应 ?ABC 边 际 及 内 的 区 域 : A( 0 , 3 B

3 (0C , ), 2

(则 1, 1)

t ? x ? y ?[?3,0] 。

3.【2012 高考新课标文 5】已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若 点(x,y)在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是 (A)(1- 3,2) 【答案】A (B)(0,2) (C)( 3-1,2) (D)(0,1+ 3)

【解析】

做出三角形的区域如图

,由图象可知当直线

y ? x ? z 经过点 B 时,截距最大,此时 z ? ?1 ? 3 ? 2 ,当直线经过点 C 时,直线截距最小.
因 为 AB ? x 轴 , 所 以 y C ?

1? 3 ? 2 , 三 角 形 的 边 长 为 2 , 设 C ( x,2) , 则 2

AC ? ( x ? 1) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 2 ,解得 ( x ? 1) 2 ? 3 , x ? 1 ? 3 ,因为顶点 C 在第一象限,
所以 x ? 1 ? 3 , 即 (1 ? 3,2) 代入直线 z ? ? x ? y 得 z ? ?(1 ? 3) ? 2 ? 1 ? 3 , 所以 z 的 取值范围是 1 ? 3 ? z ? 2 ,选 A. 4.【2012 高考重庆文 2】不等式 (A) (1, ??) 【答案】C 【解析】原不等式等价于 ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 即 ? 2 ? x ? 1 ,所以不等式的解为 (?2,1) ,选 C. 5.【2012 高考浙江文 9】若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是 A. (B)

x ?1 ? 0 的解集是为 x?2
(C) (-2,1) (D) (??, ?2) ∪ (1, ??)

(??, ?2)

24 5

B.

28 5

C.5

D.6

【答案】C 【解析】 x+3y=5xy,

1 3 1 1 3 1 3x 12 y 13 ? ? 5 , (3x ? 4 y ) ? ( ? ) ? ( ? )? ? 5 y x 5 y x 5 y x

1 13 ? 2 ? 36 ? ? 5 . 5 5

? x ? y ? ?3, ? x ? 2 y ? 12, ? ? 6.【2012 高考四川文 8】若变量 x , y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 12 ,则 z ? 3x ? 4 y 的最大值是 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0
( ) A、12 【答案】C B、26 C、28 D、33

【解析】如图可行域为 经过点 M 时 z 有最大值,联立方程组 ? 选 C.

图中阴影部分,当目标函数直线

? x ? 2 y ? 12 得 M (4,4) ,代入目标函数得 z ? 28 ,故 ?2 x ? y ? 12

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 7.【2012 高考天津文科 2】设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z=3x-2y 的最 ?x ? 1 ? 0 ?
小值为 (A)-5 【答案】B (B)-4 (C)-2 (D)3

【解析】做出不等式对应的可行域如图

,由 z ? 3x ? 2 y 得

y?

3 z 3 z 3 z x? , 由图象可知当直线 y ? x ? 经过点 C (0,2) 时, 直线 y ? x ? 的截距最大, 2 2 2 2 2 2

而此时 z ? 3x ? 2 y 最小为 z ? 3x ? 2 y ? ?4 ,选 B. 8.【2012 高考陕西文 10】小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(a<b) ,其全程的平均时速 为 v,则 ( A.a<v< ab C. ) B.v= ab

ab <v<

a?b 2

D.v=

a?b 2
s s 2s 2ab ? ,所以 v ? ,? 0 ? a ? b , ? s s a?b a b ? a b

【答案】A. 【解析】设甲乙两地相距 s ,则小王用时为

? ab ?

a?b 2ab 2ab 2 1 ? ? a .? ? 、 ,? a ? v ? ab .故选 A. 2 a ? b 2b a?b ab

? 10, ? x? y ? ? ? x ? y ? 20, 则 2x+3y 的最大值为 9.【2012 高考辽宁文 9】设变量 x,y 满足 ?0 剟 ? 0剟 ? y ? 15, ?
(A) 20 【答案】D 【解析】画出可行域,根据图形可知当 x=5,y=15 时 2x+3y 最大,最大值为 55,故选 D 【点评】本题主要考查简单线性规划问题,难度适中。该类题通常可以先作图,找到最优解 求出最值,也可以直接求出可行域的顶点坐标,代入目标函数进行验证确定出最值。 10.【2012 高考湖南文 7】设 a>b>1, c ? 0 ,给出下列三个结论: ①
[www.z#zste&* p~.c@om]

(B) 35

(C) 45

(D) 55

c c > a b

;② a < b

c

c

; ③ logb (a ? c) ? log a (b ? c) ,
[中*国 教育 @^出~ 版网# ]

其中所有的正确结论的序号是 __ . A.① B.① ② 【答案】D C.② ③

D.① ②③

1 1 c c ? ,又 c ? 0 ,所以 > ,①正确;由指数函数的图像 a b a b 与性质知②正确;由 a>b>1, c ? 0 知 a ? c ? b ? c ? 1 ? c ? 1 ,由对数函数的图像与性质知
【解析】由不等式及 a>b>1 知 ③正确. 【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像 与性质,不等关系,考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点.

?x ? y ? 1 ? 11.【2012 高考广东文 5】已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值 ?x ?1 ? 0 ?
为 A. 3 【答案】C B. 1 C. ?5 D. ?6

【 解析】 不等式 组表示的 平面区 域为如 图所示的 阴影部 分, z ? x ? 2y 可 化为直线

1 1 y ? ? x ? z ,则当该直线过点 A(?1, ?2) 时, z 取得最小值, zmin ? ?1 ? 2 ? (?2) ? ?5 . 2 2

? x ? y ?3? 0 ? 12.【2102 高考福建文 10】若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 则实 ? x?m ?
数 m 的最大值为 A.-1 10.【答案】B. B.1 C.

3 2

D.2

【解析】如图

当 直 线 x ? m 经 过 函 数 y ? 2x 的 图 像 与 直 线

? y ? 2x x ? y ? 3 ? 0 的交点时,函数 y ? 2 x 的图像仅有一个点 P 在可行域内,由 ? 得 ?x ? y ? 3 ? 0
P(1,2) ,所以 m ? 1 .故选 B.
13.【2012 高考上海文 10】满足约束条件 x ? 2 y ? 2 的目标函数 z ? y ? x 的最小值是 【答案】-2. 【解析】作出约束条件表示的平面区域可知,当 x ? 2 , y ? 0 时,目标函数取最小值,为-

2. 14.【2012 高考湖南文 12】不等式 x2-5x+6≤0 的解集为______. 【答案】 x 2 ? x ? 3

?

?
从而的不等式 x2-5x+6≤0 的解集为 ? x 2 ? x ? 3? . ? ,

【解析】 由 x2-5x+6≤0, 得 (x ? ( 3 ) 2 )x ? 0

【点评】本题考查一元二次不等式的解法,考查简单的运算能力.

? x ? y ?1 ? 0 ? 15.【2012 高考全国文 14】若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
____________. 【答案】 - 1

【解析】做出做出不等式所表示的区域如图

,由 z ? 3x ? y 得

y ? 3x ? z ,平移直线 y ? 3x ,由图象可知当直线经过点 C (0,1) 时,直线 y ? 3x ? z 的截距
最 大,此时 z 最小,最小值为 z ? 3x ? y ? -1 .

?x ? y ?1 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 16.【2012 高考浙江文 14】 设 z=x+2y,其中实数 x,y 满足 ? , 则 z 的取值范围 x ? 0 ? ? ?y ? 0
是_________。 【答案】

7 2

【解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示的四边形,但目标函数过点(0,0)时, 目标函数最小,当目标函数过点 ?

7 ?1 3? , ? 时最大值为 . 2 ?2 2?
的解集是___________。

17.【2012 高考江西文 11】不等式 【答案】 (?3,2) ? (3, ? ?)

【解析】原不等式等价为 ?

?x2 ? 9 ? 0 ?x ? 2 ? 0

或?

?x2 ? 9 ? 0 ?x ? 2 ? 0

,即 ?

? x ? 3或x ? ?3 ?? 3 ? x ? 3 或? ,解 ?x ? 2 ?x ? 2

得 x ? 3 或 ? 3 ? x ? 2 ,所以原不等式的解集为 (?3,2) ? (3, ? ?) 。 18.【2102 高考福建文 15】已知关于 x 的不等式 x -ax+2a>0 在 R 上恒成立,则实数
2

a 的取值范围是_________.
【答案】 (0,8) .
2 2 【解析】 x ? ax ? 2a ? 0 恒成立 ? ? ? 0 ,即 a ? 4 ? 2a ? 0 ,易得 0 ? a ? 8 .

19.【2012 高考四川文 16】设 a , b 为正实数,现有下列命题: ①若 a ? b ? 1,则 a ? b ? 1 ;
2 2

②若

1 1 ? ? 1 ,则 a ? b ? 1 ; b a

③若 | a ? b |? 1 ,则 | a ? b |? 1 ; ④若 | a3 ? b3 |? 1 ,则 | a ? b |? 1 。 其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号) 【答案】①④ 【解析】① a ? b ? 1 ? (a ? b)(a ? b) ? 1 ,? a ? b ? a ? b , a ? b ? 1 所以是真命题;②
2 2

1 1 ? ? 1 时无法确定 a ? b ? 1 ,是假命题;③ a ? 9, b ? 4 时 | a ? b |? 1 ,| a ? b |? 5 ? 1 , b a
是假命题;④同①可证,为真命题.故选①④.

? ?) ,若 20.【2012 高考江苏 13】 (5 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, b ? R) 的值域为 [0 , m ? 6) ,则实数 c 的值为 ▲ . 关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m ,
【答案】9。 【考点】函数的值域,不等式的解集。

? ?) ,当 x 2 ? ax ? b =0 时有 V? a 2 ? 4b ? 0 ,即 b ? 【解析】由值域为 [0 ,

a2 , 4

a2 ? a? ??x? ? 。 ∴ f ( x) ? x ? ax ? b ? x ? ax ? 4 ? 2?
2 2

2

a? a a a ? ∴ f ( x) ? ? x ? ? ? c 解得 ? c ? x ? ? c , ? c ? ? x ? c ? 。 2 2 2 2 ? ?
m ? 6) ,∴ ( c ? ) ? (? c ? ) ? 2 c ? 6 ,解得 ∵不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m ,
c?9。

2

a 2

a 2

21.【2012 高考湖北文 14】若变量 x,y 满足约束条件 是________. 【答案】2

则目标函数 z=2x+3y 的最小值

? x ? y ? ?1, ? 【解析】 (解法一)作出不等式组 ? x ? y ? 1, 所表示的可行域(如下图的 ?ABM 及其内部). ?3 x ? y ? 3 ?

可知当直线 z ? 2 x ? 3 y 经过 ?

? x ? y ? 1, 的交点 M ?1, 0? 时, z ? 2 x ? 3 y 取得最小值,且 ?3x ? y ? 3

zmin ? 2 .
? x ? y ? ?1, ? (解法二)作出不等式组 ? x ? y ? 1, 所表示的可行域(如下图的 ?ABM 及其内部).目标函 ?3 x ? y ? 3 ?
数 z ? 2 x ? 3 y 在 ?ABM 的三个端点 A? 2,3? , B ? 0,1? , M ?1,0? 处取的值分别为 13,3,2,比较 可得目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为 2.

【点评】本题考查线性规划求解最值的应用.运用线性规划求解最值时,关键是要搞清楚目标 函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系,以好确定在哪个端点, 目标函数取得最大值;在哪个端点,目标函数取得最小值 . 来年需注意线性规划在生活中的 实际应用.

c ln b ≥ a ? c ln c , b, c 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , 22.【2012 高考江苏 14】 (5 分)已知正数 a ,


b 的取值范围是 ▲ . a

【答案】 ? e, 7? 。 【考点】可行域。

? a b ?3 ? ? ? 5 ? c c ?a b c ln b ≥a ?c lnc 可化为: ? ? ? 4 。 【解析】条件 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ?c c a ?b ? ? ec ?c



a b =x,y = ,则题目转化为: c c

?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 y ? 已知 x ,求 的取值范围。 ,y 满足 ? x x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ?
作出( x 。求出 y =e x 的切 ,y )所在平面区域(如图) 线的斜率 e ,设过切点 P ? x0,y0 ? 的切线为 y =ex ? m ? m ? 0? , 则

y0 ex0 ? m m = =e ? ,要使它最小,须 m =0 。 x0 x0 x0



y 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处,为 e 。此时,点 P ? x0,y0 ? 在 y =e x 上 A, B 之间。 x

? y =4 ? x ?5 y =20 ? 5 x y 当( x ?? ? y =7 x ? =7 , ,y )对应点 C 时, ? x ? y =5 ? 3x ?4 y =20 ? 12 x
∴ ∴

y 的最大值在 C 处,为 7。 x

b y 的取值范围为 ? e, 7 ? ,即 的取值范围是 ? e, 7? 。 a x


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